1.2-1.3 定义与命题 证明 讲义 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“定义与命题、证明”核心内容，系统梳理定义、命题（含真/假命题、条件与结论）、基本事实、定理的概念，构建从概念认知到逻辑推理的学习支架，结合三角形外角性质实例，衔接证明的步骤与格式，形成完整知识脉络。 资料通过多样化题型（单选、填空、解答）培养核心素养，如填空题改写命题句式强化数学语言表达，解答题让学生自选条件结论构造命题并证明，提升推理意识，密码锁推断等实际问题渗透模型意识，课中适配分层教学需求，课后助力学生查漏补缺，深化对逻辑推理的理解与应用。

1.2-1.3 定义与命题 证明 一、定义、命题、基本事实与定理 1.定义 一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 2.命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 要点： 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 3.基本事实 人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 4.定理 用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据. 要点： 满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 二、证明 1.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式 证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 要点： 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线. 3、 三角形外角的性质 三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。 一、单选题 1．下列语句中，不是命题的是（   ） A．直角都等于 B．对顶角相等 C．互补的两个角不相等 D．作线段AB 2．下列四个选项中不是命题的是（       ） A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 3．下列命题是假命题的是（       ） A．方程的解是 B． C．经过同一平面内的任意三点中的两点一定能画三条直线 D．是非负数 4．命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的题设是（       ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 5．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c 6．下列命题中，真命题的个数为（       ）个． ①一个角的补角可以是锐角； ②两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离； ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（       ） A． B． C． D． 8．如图，下列推理不正确的是(          ) A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD 9．下列命题中共有几个真命题（       ） ①各边相等的两个多边形一定全等； ②三角形的三个内角中至少有两个锐角； ③三角形的内角大于它的外角； ④同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列命题：①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．是真命题的有（       ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_________________________________． 12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： （1）内错角相等，两直线平行．_________． （2）同角的补角相等．_____． 13．下列语句： ①整数一定是有理数； ②画直线AB； ③直角都相等； ④如果，那么； ⑤我下次考试能得满分吗？ 其中是命题的是________．（填序号） 14．“同角的余角相等”是一个________命题；“两个锐角之和是钝角”是一个________命题（填“真”或“假”） 15．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的题设是____________，结论是_____________．该命题是__________命题（填“真”或“假”）． 16．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD，是根据___________________________． 17．一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分．那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的．其中真命题是______．（用序号填写） 18．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是__________． ①只有一个号码正确且位置正确 ②只有两个号码正确且位置都不正确 ③三个号码都不正确 三、解答题 19．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的? ①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角． 20．判断下列语句是否是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论，同时判断其真假 （1）作直线AB的垂线． （2）相等的角是对顶角． （3）你喜欢数学吗？ （4）OC平分∠AOB． （5）两直线平行，内错角相等． （6）同角的补角相等． 21．如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分． (1)上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来； (2)选择（1）中的一个真命题加以说明． 22．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 已知： ．结论： ． 理由： 23．已知，和中，，．试探究： （1）如图1，与的关系是______； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题． 24．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件： ①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题． (1)请按照：“∵ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题； 例如命题1：∵ABCD，AMEN；∴∠BAM＝∠CEN． (2)在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 25．【证明】如图，已知∠A＝∠C，若ABCD，则BCAD．请补全证明过程． (1)证明：∵ABCD（已知）， ∴∠ABE＝∠C（ 　 　）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝　 　（等量代换）， ∴BCAD（ 　 　）． (2)【延伸】若前提“∠A＝∠C”不变，将题设“ABCD”与结论“BCAD”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例； (3)【拓展】如图，已知有三个条件①∠A＝∠C；②ABCD；③BCAD，三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个命题，能组成多少个真命题？ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2-1.3 定义与命题 证明 一、定义、命题、基本事实与定理 1.定义 一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 2.命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 要点： 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 3.基本事实 人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 4.定理 用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据. 要点： 满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 二、证明 1.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式 证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 要点： 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线. 3、 三角形外角的性质 三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。 一、单选题 1．下列语句中，不是命题的是（   ） A．直角都等于 B．对顶角相等 C．互补的两个角不相等 D．作线段AB 【答案】D 【解答】 试题解析：直角都等于90°是一个真命题， 对顶角相等是一个真命题， 互补的两个角不相等是一个假命题， 作线段AB不是命题， 故选D． 2．下列四个选项中不是命题的是（       ） A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 【答案】B 【解答】 【提示】 判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可． 解：由题意可知， A、对顶角相等，故选项是命题； B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题； C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题； D、如果，那么，故选项是命题； 故选：B． 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题． 3．下列命题是假命题的是（       ） A．方程的解是 B． C．经过同一平面内的任意三点中的两点一定能画三条直线 D．是非负数 【答案】C 【解答】 【提示】 根据一元一次方程的解法可判断A，根据不等式的知识可判断B，利用举反例的方法可判断C，根据绝对值的意义可判断D，进而可得答案． 解：A、方程的解是，是真命题，本选项不符合题意； B、，是真命题，本选项不符合题意； C、若同一平面内的三点在一条直线上，则经过这点中的任意两点画不出三条直线，所以原命题是假命题，本选项符合题意； D、是非负数，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查了命题与定理之真假命题，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 4．命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的题设是（       ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【答案】B 【解答】 【提示】 将原命题改写为如果…那么…的形式即得答案． 解：原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”，“如果”后面的部分是题设，即两个数只有符号不同是原命题的题设． 故选：B． 【点睛】 本题考查了命题的定义，属于基本题型，熟知命题的构成是解答的关键． 5．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c 【答案】B 【解答】 【提示】 根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解． 解：A、，是真命题，故本选项不符合题意； B、，应为a∥c，故本选项是假命题，故本选项符合题意； C、，是真命题，故本选项不符合题意； D、，是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．下列命题中，真命题的个数为（       ）个． ①一个角的补角可以是锐角； ②两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离； ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】 【提示】 根据补角的定义、平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义、垂线的性质定理判断即可， ①一个角的补角可以是锐角，理由：钝角的补角是锐角，故①正确. ②两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离，理由：两条平行直线之间距离的定义，故②正确. ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，理由：垂线的性质定理，故③正确. ④平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误. 故选：C. 【点睛】 本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7．在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】 【提示】 要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 解：A. ∵当a＝﹣3，b＝2时，，但是， ∴a＝﹣3，b＝2是假命题的反例．符合题意； B. ∵当a＝3，b＝2时，，则， ∴a＝3，b＝2不是假命题的反例．不符合题意； C. ∵当a＝2，b＝﹣1时，，则， ∴a＝2，b＝﹣1不是假命题的反例．不符合题意； D. ∵当a＝3，b＝﹣2时，，则， ∴a＝3，b＝﹣2不是假命题的反例．不符合题意； 故选：A． 【点睛】 此题考查了证明命题，举例满足题设，只需证明结论的成立与否，正确掌握命题的证明方法是解题的关键． 8．如图，下列推理不正确的是(          ) A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD 【答案】C 【解答】 【提示】 本题主要利用平行线的性质以及平行线的判定，采用逐一检验法进行做题． 解：A、∵AB∥CD∴∠ABC+∠C=180°，正确，两直线平行，同旁内角互补； B、∵∠1=∠2∴AD∥BC，正确，内错角相等，两直线平行； C、∵AD∥BC，∴∠1=∠2，错误； D、∵∠A+∠ADC=180°∴AB∥CD，正确，同旁内角互补，两直线平行； 故选：C． 【点睛】 本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角． 9．下列命题中共有几个真命题（       ） ①各边相等的两个多边形一定全等； ②三角形的三个内角中至少有两个锐角； ③三角形的内角大于它的外角； ④同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】 【提示】 利用全等的定义，三角形内角和定理，外角的定义，平行线的性质逐项判断即可求解． 解：对应边相等且对应角相等的两个多边形一定全等，仅各边相等不能判定全等， 比如边长相等的菱形和正方形，因此①错误； 三角形由三个内角组成，内角和为180度，因此至少有两个锐角，②正确； 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角不一定大于它的外角，③错误； 仅有两直线平行时，才能得出同旁内角互补，④错误； 综上，正确的仅有②， 故选：A． 【点睛】 本题考查全等图形的判定，三角形的内角、外角，平行线的性质等知识点，熟练掌握每项基本知识是解题的关键． 10．下列命题：①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．是真命题的有（       ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】 【提示】 根据定理、平行线的判定定理、三角形的高的概念、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形内角和定理判断即可． 解：①真命题都是定理，本说法是真命题； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，本说法是假命题； ③三角形的三条高线交于一点，本说法是真命题； ④有两边和两边夹角对应相等的两个三角形全等，本说法是假命题； ⑤全等三角形对应边上的高相等，本说法是真命题； ⑥三角形中至少有一个角不小于60°，本说法是真命题； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查真假命题的判断．涉及定理、平行线的判定定理、三角形的高的概念、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形内角和定理等相关知识点． 二、填空题 11．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_________________________________． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【解答】 根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等” 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【点睛】 本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： （1）内错角相等，两直线平行．_________． （2）同角的补角相等．_____． 【答案】     如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行     如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【解答】 【提示】 找出原命题的条件和结论即可得出答案． （1）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题的条件，“这两条直线互相平行”是条件的结论． （2）“两个角是同一个角的补角”是命题的条件，“这两个角相等”是条件的结论． 故答案为：（1）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行． （2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【点睛】 本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 13．下列语句： ①整数一定是有理数； ②画直线AB； ③直角都相等； ④如果，那么； ⑤我下次考试能得满分吗？ 其中是命题的是________．（填序号） 【答案】①③④ 【解答】 【提示】 根据命题的定义：判断一件事情的句子逐一判断即可． 解：①整数一定是有理数，是命题；②画直线AB，不是命题；③直角都相等，是命题；④如果，那么，是命题；⑤我下次考试能得满分吗？不是命题． 综上，是命题的是：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】 本题考查的是命题的定义，属于基础概念题型，熟知命题的定义、熟练掌握基本知识是解题的关键． 14．“同角的余角相等”是一个________命题；“两个锐角之和是钝角”是一个________命题（填“真”或“假”） 【答案】     真     假 【解答】 【提示】 根据余角的性质即可判断第一个命题的真假；举出反例即可判断第二个命题的真假． 解：“同角的余角相等”是余角的性质，是真命题； 两个锐角之和不一定是钝角；如两个30°的锐角之和是60°，但60°的角是锐角，不是钝角，故是假命题． 故答案为：真，假． 【点睛】 本题考查了真假命题和余角的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是正确判断的关键． 15．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的题设是____________，结论是_____________．该命题是__________命题（填“真”或“假”）． 【答案】     如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线     这两条直线相互平行     真 【解答】 【提示】 将命题转化为“如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”即可找出题设和结论，根据平行线的判定方法判断该命题的真假． 解：原命题可以转化为“如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”， 故题设是“如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线相互平行”，根据平行线的判定定理，可知该命题是真命题． 故答案为：如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线；这两条直线相互平行；真． 【点睛】 本题考查命题的概念和平行线的判定，当命题的题设和结论不明显时，可以将命题转化为“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 16．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD，是根据___________________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【解答】 解：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°， ∴∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 17．一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分．那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的．其中真命题是______．（用序号填写） 【答案】② 【解答】 【提示】 根据满分为100分，若两人分数的和是160分，即使让其中一人的得分最高是100，另一人的得分是60，则他们分数的差也不会是60分.所以命题②是正确的． 解：若设李华的说法是真命题，则两个人的分数和为160分，若其中一人拿100分，另一人拿60分，那么他们的差最大，为100-60=40分<60分 因此他们两人之中，至少有人说谎，故本题的真命题是②． 故选：② 【点睛】 本题主要考查了命题的真假，解决问题的关键是读懂题意，能够根据满分100分进行分析判断． 18．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是__________． ①只有一个号码正确且位置正确 ②只有两个号码正确且位置都不正确 ③三个号码都不正确 【答案】520 【解答】 【提示】 根据题意分析分析推理即可，由①结合③可以确定第三位数字为0，由②，③可以确定前两个数为5,2，据此分析即可． 根据①，③可知正确的号码是0，位置是第三位，由②，③可知正确的号码是5,2，位置分别为第一位和第二位，所以正确的密码是520． 【点睛】 本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键． 三、解答题 19．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的? ①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角． 【答案】①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题 【解答】 【提示】 根据命题的定义对各个选项进行分析判断即可 解：①画直线AB，不是判断真假的语句，故不是命题； ②两线直线相交有几个交点？不是判断真假的语句，故不是命题； ③若a∥b，b∥c，则a∥c，是判断真假的语句，是命题，是真命题； ④直角都相等，是判断真假的语句，是命题，是真命题； ⑤相等的角都是直角，是判断真假的语句，是命题，是假命题； ⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角，是判断真假的语句，是命题，是真命题； 所以①②不是命题；在③④⑤⑥四个命题中，③④⑥是真命题，⑤是假命题． 【点睛】 本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，要求对命题的定义有很好的掌握． 20．判断下列语句是否是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论，同时判断其真假 （1）作直线AB的垂线． （2）相等的角是对顶角． （3）你喜欢数学吗？ （4）OC平分∠AOB． （5）两直线平行，内错角相等． （6）同角的补角相等． 【答案】（1）是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；（2）是命题；如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；题设是两个角相等；结论是这两个角是对顶角；此命题是假命题；（3）表示疑问的句子，没有对事情做出判断，所以此语句不是命题；（4）陈述了一个事情，没有做出判断，不是命题；（5）是命题；如果两平行线被第三条直线所截，那么内错角相等；题设是两平行线被第三条直线所截，结论是内错角相等；此命题是真命题；（6）是命题；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；题设是两个角是同一个角的补角，结论是这两个角相等；此命题是真命题． 【解答】 【提示】 判断语句是否为命题要紧扣两条：（1）命题必须是一个完整的陈述句；（2）必须对某件事情做出肯定或否定的判断．这二者缺一不可． （1）是作图语言，不符合命题的定义，不是命题； （2）是命题； 改写：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； 题设：两个角相等；结论：这两个角是对顶角； 此命题是假命题； （3）表示疑问的句子，没有对事情做出判断，所以此语句不是命题； （4）陈述了一个事情，没有做出判断，不是命题； （5）是命题 改写：如果两平行线被第三条直线所截，那么内错角相等； 题设：两平行线被第三条直线所截；结论：内错角相等； 此命题是真命题； （6）是命题 改写：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等； 此命题是真命题． 【点睛】 本题考察了命题的概念，判断语句是否为命题的两个条件是做题的关键． 21．如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分． (1)上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来； (2)选择（1）中的一个真命题加以说明． 【答案】(1)有三种正确命题，命题1：；命题2：；命题3： (2)答案不唯一，见解析 【解答】 【提示】 （1）根据题意，结合平行线的性质和角平分线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题． （2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明． (1) 解：上述问题有三种正确命题，分别是： 命题1：； 命题2：； 命题3：． (2) 解：选择命题1：． 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴平分． 选择命题2：． 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． 选择命题3：． 证明：∵平分， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】 本题考查写出一个命题并求证，正确利用平行线的性质和角平分线的性质写出命题并求证是解题的关键． 22．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 已知： ．结论： ． 理由： 【答案】，；．理由见解析． 【解答】 【提示】 根据平行线的判定与性质及对顶角相等进行证明． 已知：，， 求证：， 理由：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，在证明． 23．已知，和中，，．试探究： （1）如图1，与的关系是______； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【解答】 【提示】 （1）两直线平行，同位角相等，进行等量代换即可． （2）两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，等量代换即可． （3）观察第一问和第二问的条件和结果，就可以得出真命题． 证明：如下图： 设DE交BC于点G ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）如下图：设BC与DE交于点G ∵， ∴ 又∵ ∴， ∵ ∴． （3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【点睛】 本题考查的是平行线的性质，能够根据直线平行，找到角的等量关系是解题的切入点． 24．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件： ①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题． (1)请按照：“∵ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题； 例如命题1：∵ABCD，AMEN；∴∠BAM＝∠CEN． (2)在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解答】 【提示】 （1）根据命题由题设结论两部分组成，写出正确命题即可； （2）若选命题1，根据平行线的性质得∠BAE＝∠CEA，∠3＝∠4，即可能由∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4，得出结论． (1) 解：正确命题有：命题1：∵ABCD，AMEN；∴∠BAM＝∠CEN； 命题2：∵ABCD，∠BAM＝∠CEN；∴AMEN； 命题3：∵AMEN，∠BAM＝∠CEN；∴ABCD； (2) 解：选择证明命题1： ∵ABCD，∴∠BAE＝∠CEA， 又∵AMEN， ∴∠3＝∠4， ∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4，即∠BAM＝∠CEN． 所以“∵ABCD，AMEN；∴∠BAM＝∠CEN”为正确的命题． 【点睛】 本题考查正确命题，平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 25．【证明】如图，已知∠A＝∠C，若ABCD，则BCAD．请补全证明过程． (1)证明：∵ABCD（已知）， ∴∠ABE＝∠C（ 　 　）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝　 　（等量代换）， ∴BCAD（ 　 　）． (2)【延伸】若前提“∠A＝∠C”不变，将题设“ABCD”与结论“BCAD”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例； (3)【拓展】如图，已知有三个条件①∠A＝∠C；②ABCD；③BCAD，三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个命题，能组成多少个真命题？ 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；∠A；内错角相等，两直线平行 (2)真命题；证明见解析 (3)3个 【解答】 【提示】 （1）直接根据平行线的判定及性质即可得到答案； （2）将题设与结论调换后，为真命题，直接根据平行线的判定及性质进行证明即可； （3）根据题意可知，①②作为题设，③作为条件；①③作为题设，②作为结论；②③作为题设，①作为结论，能组成3个真命题． (1) 证明：∵（已知）， ∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝∠A（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；∠A；内错角相等，两直线平行； (2) 将题设“”与结论“”调换后，为真命题，证明过程如下： ∵， ∴∠ABE＝∠A， ∵∠A＝∠C， ∴∠ABE＝∠C， ∴， 故将题设“”与结论“”调换后，为真命题． (3) 根据题意可知，①②作为题设，③作为条件，为真命题； ①③作为题设，②作为结论，为真命题； ②③作为题设，①作为结论，为真命题； 故能组成3个真命题． 【点睛】 本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质，是解答此题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $