21.2.2 平行四边形的判定 21.2.3 三角形的中位线 课件 2025-2026学年人教版数学(2024)八年级下册

21.2 平行四边形 第二十一章 四边形 21.2.2 平行四边形的判定 21.2.3 三角形的中位线 学习目标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 平行四边形的判定方法 三角形的中位线 学习目标 知识点 平行四边形的判定方法 知1－讲 1 1. 判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行. 具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 感悟新知 知1－讲 续表 判定方法 符号语言 图示 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD BC (或AB CD)， ∴四边形ABCD是平行四边形 感悟新知 知1－讲 续表 判定方法 符号语言 图示 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A＝∠C，∠B＝ ∠D，∴四边形ABCD是平行四边形 对 角 线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD 是平行四边形 感悟新知 知1－讲 2. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理，解题时要注意区别，不能混淆. 2. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. 如等腰梯形. 感悟新知 知1－讲 3. 两组邻边分别相等的四边形不一定是平行 四边形.如筝形，如图21.2－27. 4. 两组邻角分别相等的四边形不一定是平行 四边形.如等腰梯形. 感悟新知 知1－练 例 1 如图21.2－28，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E， CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 解题秘方：根据所给条件可知证三角形全等可得到证四边形ABCD是平行四边形的条件，方法不唯一. 感悟新知 知1－练 证法一：(证两组对边相等)∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF，∴AB＝CD. ∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF, ∴△AED≌△CFB, ∴AD＝CB. ∴四边形ABCD是平行四边形. 感悟新知 知1－练 证法二：(证两组对角相等)∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF. ∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF, ∴△AED≌△CFB, ∴∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF. 感悟新知 知1－练 ∴∠ABE＋∠CBF＝∠CDF＋∠ADE， ∠BAE＋∠DAE＝∠DCF＋∠BCF， 即∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 感悟新知 知1－练 证法三：(证两组对边平行)∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD. 易得△AED≌△CFB，∴∠ADE＝∠CBF. ∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 感悟新知 知1－练 证法四：(证一组对边平行且相等)∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF, ∴AB＝CD，∠ABE＝ ∠CDF，∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 感悟新知 知1－练 1－1.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥ BC，点F是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件：① BD∥CF； ② DF＝BC；③ BD＝CF；④∠B＝∠F，能使四边形BCFD是平行四边形的是_______(填上所有符合要求的条件的序号)． ①②④ 感悟新知 知1－练 1－2. 如图，在ABCD中，AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线. 求证：四边形AFCE是平行四边形. (至少用两种证法) 感悟新知 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 知1－练 证法三：(证一组对边平行且相等) ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB CD，即 EC∥AF，∴∠DEA＝∠EAB. ∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB. ∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝AD. 同理BF＝BC，∴DE＝BF，∴DC－DE＝AB－BF，即EC＝AF. ∴四边形AFCE为平行四边形． 感悟新知 知1－练 证法四：(证两组对边相等) ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB CD，∴∠DEA＝∠EAB，∠ECF＝∠CFB. ∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD， ∴∠DAE＝∠EAB，∠ECF＝∠BCF. ∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠BCF.∴DE＝DA＝BC＝BF. ∴△DAE≌△BCF(SAS)，AB－BF＝CD－DE，即AF＝EC.∴AE＝CF. ∴四边形AFCE为平行四边形． 感悟新知 知1－练 [中考·徐州]已知：如图21.2－29，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF. 求证：四边形BEDF 是平行四边形. 解题秘方：由于条件都与四边形的对角线相关，因此需紧扣对角线关系判定平行四边形. 例 2 感悟新知 知1－练 证明：如图21.2－29，连接BD，设对角线AC，BD交于 点O. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. 又∵ AE＝CF， ∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴四边形BEDF 是平行四边形. 感悟新知 知1－练 2－1.如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC， E，F 分别是OB，OD的中点. 求证：四边形AFCE 是平行四边形. 感悟新知 知1－练 感悟新知 知2－讲 知识点 三角形的中位线 2 1. 三角形的中位线及其定理 三角 形的 中位 线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 符号语言 如图所示. ∵ AD＝BD，AE＝CE， ∴ DE是△ABC的中位线 感悟新知 知2－讲 续表 三角 形的 中位 线定 理 内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言 如图所示. ∵ DE为△ABC的中位线， ∴ DE∥BC，且DE＝BC 应用 (1)位置关系：证明两直线平行；(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系 感悟新知 知2－讲 2. 三角形的中位线与三角形的中线的区别 类别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号 语言 在△ABC，∵ D，E，F 分别是BC，AC，AB 边的中点，∴ DE，EF，FD 是△ABC 的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC 的中线(如图②) 感悟新知 知2－讲 续表 区 别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段 S△AEF＝S△BDF＝S△CDE＝S△DEF＝S△ABC S△ABD＝S△ACD＝S△CBF＝S△CAF＝S△BAE＝S△BCE＝S△ABC C△AEF＝C△BDF＝C△CDE＝C△DEF＝C△ABC C△ABD－C△ACD＝AB－AC， C△CBF－C△CAF＝BC－AC， C△BAE－C△BCE＝AB－BC (AB>BC>AC) 感悟新知 知2－讲 特别解读 1. 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 2. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3. 中位线具有平移角度、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到. 感悟新知 知2－练 如图21.2－30，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A＝ 30°，AC＝，点D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE. 例 3 感悟新知 知2－练 解题秘方：有三角形中位线(或三角形中两条边的中点)的条件时，若求角的度数，则考虑中位线定理的位置关系；若求线段的长度，则考虑中位线定理的数量关系. 感悟新知 知2－练 解：∵点D，E分别为AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥AB， ∴∠CDE＝∠A＝30°. ∵∠C＝90°，∴∠CED＝90°－ ∠CDE＝60°. 求：(1)∠CED的度数； 感悟新知 知2－练 解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝， ∴AB＝2BC，BC2＋AC2＝AB2，即BC2＋3＝4BC2， ∴BC＝1，∴AB＝2. 由(1)知DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝1. (2)线段DE的长. 感悟新知 知2－练 3－1.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE. 感悟新知 知2－练 (1)若ABCD的周长为36，BD＝12， 求△DOE的周长； 感悟新知 知2－练 (2)若∠ABC＝60°,∠BAC＝80°, 求∠ 1 的度数. 解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝180°－60°－80°＝40°. 由(1)知OE是△BCD的中位线， ∴OB∥BC.∴∠1＝∠ACB＝40°. 感悟新知 知2－练 如图21.2－31，已知E 为▱ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BD，交于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF. 例 4 感悟新知 知2－练 思路导引： 感悟新知 知2－练 证明：如图21.2－31，连接BE. ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，点O 是AC 的中点. ∵ E 为▱ABCD 中DC 边延长线上一点， 且CE＝DC，∴ AB∥CE，AB＝CE. ∴四边形ABEC 是平行四边形. ∴点F 是BC 的中点. ∴ OF 是△ABC 的中位线. ∴ AB＝2OF. 感悟新知 知2－练 4－1.如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中 点，连接DE，CD，过点E作EF∥CD交AC的延长线于点 F．求证：CF＝AC． 感悟新知 知2－练 感悟新知 平行四边形的判定 三角形的中位线 判定 平行四 边形 边的关系 角的关系 对角线的关系 三角形的中位线 定义 性质 课堂小结 如图21.2－32，在▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF，试猜测AC 与EF有什么关系，并加以证明. 题型 构造平行四边形解决问题 1 类型1 连接两点构造平行四边形 例 5 综合应用创新 解题秘方：结合图形进行猜测：AC，EF 互相平分. 紧扣平行四边形“对角线互相平分”这一特征，将证明线段互相平分问题转化为证明平行四边形问题来解. 综合应用创新 解：AC与EF互相平分. 证明如下： 如图21.2－32，连接AF，CE. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ DC∥AB，DC＝AB. ∵ DF＝BE，∴ CF＝AE. 又∵ CF∥AE. ∴四边形AECF 为平行四边形. ∴ AC 与EF 互相平分. 综合应用创新 另解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ DC＝AB，CF∥AE. ∴∠CFE＝ ∠AEF. ∵DF＝BE，∴CF＝AE. 又∵ EF＝FE，∴ △CFE≌ △AEF(SAS). ∴∠CEF＝∠AFE. ∴ CE∥AF. ∴ 四边形AECF是平行四边形. 综合应用创新 知识储备 两条线段的数量关系有相等或倍分，位置关系有平行或相交，而相交的特殊情况有垂直、互相平分. 综合应用创新 如图21.2－33，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE 交AD 于点F，且AE＝FE. 求证：BF＝AC. 类型2 延长线段构造平行四边形 例 6 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 证明：如图21.2－33，延长AD到点G，使DG＝AD，连接 BG，CG. ∵ AD为△ABC 的中线，∴ BD＝DC. 又∵ DG＝AD，∴四边形ABGC 是平行四边形. ∴ AC BG. ∴∠1 ＝ ∠2. 又∵ AE＝FE，∴∠1 ＝ ∠3. ∴∠2＝ ∠3＝ ∠BFG. ∴ BG＝BF. 又∵ BG＝AC，∴ BF＝AC. 综合应用创新 思路点拨 当题中有三角形的中线时，常用“倍长中线法”构造平行四边形，然后利用平行四边形的性质推出线段相等或平行及角相等. 综合应用创新 题型 构造三角形中位线基本图形解决问题 2 如图21.2－34所示的四边形ABCD，点E，F，G，H 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点， 连接EF，FG，GH，HE，得到四边 形EFGH. 求证：四边形EFGH 是平 行四边形. 类型1 连接两点构造三角形 例 7 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 证明：如图21.2－34，连接BD. ∵点E，H 分别是边AB，DA的中点， ∴ EH 为△ABD 的中位线. ∴ EH∥BD，EH＝BD. 同理可得FG∥BD，FG＝BD， ∴ EH∥FG，EH＝FG. ∴四边形EFGH 是平行四边形. 综合应用创新 解题策略 1. 依次连接四边形各边中点所得到的四边形叫中点四边形，所有的中点四边形都是平行四边形. 2. 利用三角形的中位线定理判定平行四边形，一般用“一组对边平行且相等”判定平行四边形. 综合应用创新 如图21.2－35，已知AO是∠BAC的平分线，BD⊥ AO，交AO 的延长线于点D，E 是BC 的中点. 求证：DE＝(AB－AC). 类型2 延长线段构造三角形 “角平分线＋垂直” 联想到等腰三角形 例 8 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 证明：如图21.2－35，延长AC，BD相交于点F. ∵ AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠FAD. ∵ BD⊥ AO，∴∠ADB＝∠ADF＝90°. 在△ABD和△AFD中， ∴△ABD≌△AFD(ASA). ∴ AB＝AF，BD＝DF. 又∵ E 是BC的中点，∴ ED是△BCF的中位线. ∴ DE＝CF＝(AF－AC)＝(AB－AC). 综合应用创新 解题通法 构造三角形中位线的方法: 1. 如图21.2－36 ①，若已知一边中点，则取另一边中点,并连接； 2. 如图21.2－36 ②，若已知两边 中点，则连接第三边； 综合应用创新 3. 如图21.2-36③，若已知一边中点，则将另一边倍长，再连接第三边； 4. 如图21.2-36④，若已知一条线段与角平分线垂直，则延长这条线段构造等腰三角形，结合已知条件得到中位线. 综合应用创新 易错点 对平行四边形的判定方法把握不准导致错误 观察图21.2－37，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是( ) A. ③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ 例 9 综合应用创新 答案：A 错解：B 正解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形；③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形. 所以根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③ . 综合应用创新 诊误区： 本题易错之处在于“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形；此外，不能仅凭直观判断轻易下结论，必须要经过严格的推理论证得出结论. 综合应用创新 [中考·湖南节选]如图21.2－38，在四 边形ABCD中，AB∥ CD，点E在边 AB上，________. 请从“① ∠B＝ ∠AED；② AE＝BE， AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，并证明四边形BCDE是平行四边形. 考法 选择条件判定平行四边形 1 例10 中考风向标 试题评析：本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 中考风向标 解：①(或②) 证明：若选择①： ∵∠B＝ ∠AED，∴ BC∥DE. 又∵ AB∥CD，∴四边形BCDE 为平行四边形. 若选择②： ∵ AE＝BE，AE＝CD，∴ BE＝CD. 又∵ AB∥CD，∴四边形BCDE 为平行四边形. 中考风向标 [中考·苏州] 如图21.2－39，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． 考法 平行四边形的性质与判定的综合 2 例11 中考风向标 试题评析：本题考查全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键. 中考风向标 (1)求证：△DAC≌△ECB； 证明： ∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB． ∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠B． 在△DAC和△ECB中， ∴△DAC≌△ECB(ASA). 中考风向标 (2)连接DE，若AB＝16，求DE的长 解：∵AB＝16，∴BC＝AB＝8． ∵△DAC≌△ECB，∴CD＝BE． 又∵CD∥BE， ∴四边形BCDE是平行四边形. ∴DE＝BC＝8． 中考风向标 [中考·巴中] 如图21.2－40，▱ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若▱ABCD的周长为12，则△COE 的周长为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 考法 利用三角形的中位线定理求周长 3 例12 中考风向标 试题评析：本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，得出OE是△ABC 的中位线是解题关键. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA＝AC，即O是AC的中点. ∵ E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线，CE＝BC. ∴ OE＝AB. 中考风向标 ∵ ▱ABCD 的周长为1 2 ， ∴ AB＋BC＝×12＝6. ∴ △COE 的周长为OE＋CE＋OC＝(AB＋BC＋AC)＝×(6 ＋4)＝5. 答案：B 中考风向标 1. 如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　) A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC D 综合素养训练 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B 两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C，然后步测出AC，BC 的中点D，E，并步测出DE 的长约为18 m，由此估测A，B 之间的距离约为( ) A．18 m B．24 m C．36 m D．54 m C 综合素养训练 3. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC 中，AB＝AC， AE 平分△ABC 的外角∠CAN，点 M 是AC 的中点，连接BM 并延长交 AE 于点D，连接CD． 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 综合素养训练 证明：∵ AB＝AC，∴∠ABC＝ ∠3． ∵ ∠CAN＝∠ABC＋∠3 ， ∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴①________． 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD ≌△MCB(②________). ∴ MD＝MB． ∴四边形ABCD 是平行四边形． 综合素养训练 若以上解答过程正确，①②应分别为(　　) A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA D 综合素养训练 4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED 的周长为( ) A．4 B．6 C．8 D．16 C 综合素养训练 5. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点.若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，则EF 的长是(　　) A． B．3 C．4 D．5 D 综合素养训练 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形． OB＝OD (答案不唯一) 综合素养训练 7. [中考·湖南]如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中 点，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为 半径画弧，两弧相交于点M，N， 直线MN交AB于点D，连接DE， 则DE的长是_______． 3 综合素养训练 8. [中考·临沂] 如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点． 添加下列条件中的一个：① BM＝EN；② ∠FAN＝∠CDM； ③ AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE． 能使四边形AMDN 是平行四边形的是_______ (填上所有符合要求的条件的序号)． ①②④ 综合素养训练 9. [模拟·温州龙湾区]小明和小丽在探究尺规作图问题：如图①，在△ABC中，用尺规作AC边上的中线BD. 综合素养训练 小明：如图②，以A为圆心，BC长为半径作弧，再以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于AC的右侧于点 E，连接BE交AC于点D，则BD是AC边上的中线. 小丽：为什么？ 小明：可以连接AE.CE，因为…… 综合素养训练 (1)请补充小明的推理过程； 解：由作图知AE＝BC，CE＝AB， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴AD＝CD. ∴BD是AC边上的中线． 综合素养训练 (2)如图②，若∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝8，求BE的长. 综合素养训练 综合素养训练 10. 如图，在△ABC 中，点D，E 分别为AB，AC 的中点，点H 在线段CE 上，连接BH，点G，F 分别为BH，CH 的中点． 综合素养训练 (1)求证：四边形DEFG 为平行四边形； 综合素养训练 (2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度． 综合素养训练 11. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝ 90°，AD＝ 1，BC＝3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F. 综合素养训练 (1)求证：四边形BDFC 是平行四边形； 证明：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝180°. ∴AF∥BC. ∴∠CBE＝∠DFE，∠BCE＝∠FDE. ∵E是边CD的中点，∴CE＝DE. ∴△BCE≌△FDE(AAS)．∴BE＝FE. 又∵CE＝DE，∴四边形BDFC是平行四边形． 综合素养训练 (2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积. 综合素养训练 综合素养训练 证法一：(证两组对角相等)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD，∠B＝∠D.∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，∴∠DAE＝∠FAE＝∠DAB，∠ECF＝∠BCF＝ ∠BCD，∴∠DAE＝∠FAE＝∠ECF＝∠BCF. ∵∠AEC＝∠DAE＋∠D，∠AFC＝∠BCF＋∠B， ∴∠AEC＝∠AFC. ∴四边形AFCE是平行四边形． 证法二：(证两组对边平行) ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD，DC∥AB. ∴∠DEA＝∠EAF. ∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD， ∴∠FAE＝∠DAB，∠ECF＝∠BCD，∴∠FAE＝∠ECF. ∴∠DEA＝∠ECF.∴AE∥CF. ∴四边形 AFCE是平行四边形． 证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形．∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OB，OF＝OD. ∴OE＝OF. ∴四边形AFCE是平行四边形． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12，∴OD＝OB＝BD＝6，AB＝DC，AD＝BC.∵▱ABCD的周长为36，∴BC＋CD＝18.∵E是边CD的中点，∴DE＝CD，OE是△BCD的中位线．∴OE＝BC.∴OE＋DE＝(BC＋CD)＝ ×18＝9.∴△DOE的周长为OE＋DE＋OD＝9＋6＝15. 证明：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝AC，DE∥AC. ∵EF∥CD，∴四边形DEFC是平行四边形． ∴DE＝CF. ∴CF＝AC. 解：∵四边形ABCE是平行四边形， ∴AD＝CD＝AC，BD＝ED＝BE. ∵AC＝8，∴CD＝AC＝4. ∵∠ACB＝90°，BC＝5，∴BD＝＝. ∴BE＝2BD＝2. 证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，点G，F分别为BH，CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线． ∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC. ∴DE∥GF，DE＝GF.∴四边形DEFG为平行四边形． 解：∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝2. ∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°. ∴BG＝＝＝， 即线段BG的长度为. 解：当△BCD是等腰三角形时， ①若BD＝BC，则BD＝3. 在Rt△ABD中，AB＝＝2， ∴S四边形BDFC＝2×3＝6. ②若BD＝DC，则BC边上的中线垂直平分BC.易得BC＝2AD＝2，与已知BC＝3矛盾，即BD＝CD这种情况不存在； ③若BC＝CD，则CD＝3. 过D作DG⊥BC，垂足为G，易得CG＝2. 在Rt△CDG中，DG＝＝＝， ∴S四边形BDFC＝3. 综上所述，当△BCD是等腰三角形时，四边形BDFC的面积为6或3. $