4.1.2 垂线 教学设计 2025--2026学年华东师大版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦垂线的定义、画法、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实、垂线段最短性质及点到直线的距离概念。通过生活中窗户、道路等垂直现象导入，承接对顶角、邻补角知识，为平行线判定与三角形高学习奠定基础。 这份资料以木条转动实验、方格图探究等动手活动为特色，结合跳远成绩测量等生活实例，培养学生几何直观与空间观念。分层练习与师生互动总结，助力学生突破概念辨析难点，提升推理意识与应用能力，教师易上手且能有效落实教学目标。

第四章 相交线与平行线 4.1.2 垂线   一、教材分析 本章“相交线与平行线”中，“垂线”是4.1相交线的第2课时内容，是几何知识的核心基础之一. 从知识体系看，它承接对顶角、邻补角的学习，进一步探究相交线成直角的特殊情况，为后续学习平行线的判定与性质、三角形高的画法等奠定关键基础.教材通过木条转动实验、方格图探究等活动，引导学生逐步抽象出垂线的定义、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，以及“垂线段最短”的性质，同时明确点到直线的距离概念. 教材编排注重从直观操作到抽象概念的过渡，例题与练习涵盖垂线的判定、性质应用及实际问题（如跳远成绩测量），既强化知识理解，又培养学生的几何作图能力、逻辑推理能力与应用意识，帮助学生构建“定义--性质--应用”的完整知识链条，是培养学生几何思维的重要载体.   二、学情分析 学生在学习本节内容前，已掌握角的基本概念、相交线形成的对顶角和邻补角知识，具备初步的几何观察和简单推理能力.但对“垂直”这一特殊相交情况的抽象理解、垂线的作图规范以及“垂线段最短”性质的实际应用仍存在不足. 初中生处于具象思维向抽象思维的过渡阶段，对生活中的垂直现象（如墙角、门窗边框）有直观认知，好奇心强，适合通过动手操作（如用三角尺画垂线）激发学习兴趣.然而，部分学生在复杂图形中识别垂线、运用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实解决问题时，易混淆条件；对“点到直线的距离”与“垂线段”的概念区分不够清晰，在实际测量类问题中应用能力较弱. 教学中需结合直观教具和生活实例，强化作图步骤的示范与纠错，设计分层练习（基础概念辨析、复杂角度计算、实际问题应用），帮助学生突破理解难点，提升几何应用能力.   三、教学目标 1.理解垂线的含义与画法，掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 2.知道垂线段和点到直线的距离概念，并会应用其解决问题； 3.通过动手画垂线、探究垂线段性质的活动，经历观察、操作、推理的过程，提升几何作图能力与逻辑思维能力； 4.在探究垂线相关知识的过程中，感受几何知识的严谨性与实用性，激发对数学学习的兴趣，培养严谨的治学态度.   四、教学重难点 重点：理解垂线的含义与画法，掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 难点：知道垂线段和点到直线的距离概念，并会应用其解决问题.   五、教学过程 · 情境导入 日常生活中，如下图中的两条直线的关系很常见. 你知道它们有什么特殊的位置关系吗？ 设计意图：通过生活中的窗户、道路、栅栏等图片，引导学生观察两条直线的特殊位置关系，直观引入垂直概念，建立几何与生活的联系，激发学习兴趣. · 探究新知 活动一：垂线的概念 探究：取两根木条a、b，将他们钉在一起固定木条a，转动木条b (1)在木条b转动的过程中，什么也随着改变? 预设：a与b所成的角也随之发生改变 (2)当木条b转到与木条a成90°时，木条b与木条a所在的直线有什么位置关系? 预设：木条b与木条a所形成的两个角都是90°. 当α为90°时，我们称：木条b与木条a所在的直线互相垂直. 概念：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直. 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 如图：直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD；它们的交点O是垂足，直线AB是直线CD的垂线或直线CD是直线AB的垂线. 日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形(如图). 你能再举出一些例子吗？ 设计意图：通过木条转动实验和生活实例，引导学生探究垂线概念，理解垂直的定义、表示方法及垂足，建立几何与生活的联系，培养观察归纳能力. 活动二：垂线的画法与基本事实 试一试：经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？ 如图，已知直线AB，作AB的垂线. 步骤： 1.落： 2.靠： 3.画： 问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？ 预设：无数条. 如图，已知直线 AB 和AB上的一点P，过点P作AB的垂线. 步骤： 1.落： 2.靠： 3.移： 4.画： 问题 这样画AB的垂线可以画几条？ 预设：1条. 如图，已知直线 AB 和AB外的一点P，过点P作AB的垂线. 步骤： 1.落： 2.靠： 3.移： 4.画： 问题 这样画AB的垂线可以画几条？ 预设：1条. 思考：根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？ 由上述操作可以得到关于垂线的一个基本事实： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直. 注意：①“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； ②“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性. 如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO，CD⊥AB. 此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. 如图，直线CD即为线段AB的垂直平分线. 注意：垂直平分线又可称为中垂线. 设计意图：通过让学生动手尝试用不同方法画垂线，探究过一点画已知直线垂线的数量，推导“同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，同时讲解垂直平分线概念，培养学生的作图能力、逻辑推理能力. 活动三：垂线段及点到直线的距离 探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. 思考：(1)线段AB， AC， AD ，AE谁最短？ (2)你能用一句话表示这个结论吗？ 作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简述：垂线段最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 规定：线段AB的长度叫做点A到直线l的距离. 思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？ 预设：体育课上测量跳远成绩，是从跳远者在沙坑的落地点向起跳线作垂线段，测量这条垂线段的长度. 原因是：垂线段最短. 做一做：如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 预设： 设计意图：通过方格图探究与生活实例分析，引导学生理解垂线段最短的性质及点到直线距离的概念，培养几何直观与应用意识，同时借助小海龟移动路线绘制，巩固方位与图形认知，提升综合实践能力. · 应用新知 典型例题 例1如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是_____ . 分析：先确定OE与AB所成角的度数，再根据垂线的定义判断即可. 解：因为∠1＝35°，∠2＝55°(已知) 所以∠AOE＝180°-∠1-∠2=180°-35°-55°=90° 所以OE⊥AB (垂直的定义) 注意：互相垂直的两直线所成角是90°. 例2 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数． 解：因为∠BOE＝∠NOE(已知)， 所以∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°， 所以∠NOC＝180°-∠BON＝180°-40°＝140°， 因为AO⊥BC，所以∠AOC＝90°， 又因为∠MOC＝∠BON＝40° (对顶角相等). 所以∠AOM＝∠AOC -∠MOC＝90°-40°＝50°， 所以∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 设计意图：通过例题巩固垂线定义，提升学生运用几何知识解决问题的能力，深化对垂线相关概念的理解. · 课堂练习 【教材练习】 1.如图，∠ABD = 90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字： （1）点 B 在直线______________上，点 D 在直线______外； （2）直线_____与直线_____相交于点 A，点 D 是直线_____与直线_____的交点，也是直线_____与直线______的交点，又是直线_____与直线_____的交点； （3）直线_____垂直于直线______，垂足为点_____； （4）过点 D 有且只有_____条直线与直线 AC 垂直. 答案：(1)AC (或BD)，AC；(2)AD，AC，BD，AC，CD，AD；（3）BD，AC，B；（4）1 2.如图所示的各个三角形中，分别过点C画出直线AB的垂线，并量出三角形顶点C到直线AB的距离.(精确到1mm) 答案： 14mm 23mm 17mm 3.在如图所示的方格图中，按下述要求画图并回答问题： (1)过点C画线段AB的垂线，垂足为点D； (2)量出点C到线段AB所在直线的距离（精确到1mm） (3)画出线段AB的垂直平分线 解：如图， 【自选练习】 4.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件 是( ) A. 两对对顶角分别相等 B.有一对对顶角互补 C. 有一对邻补角相等 D.有三个角相等 答案：A 5.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段共 有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 答案：D. 6.如图，直线AB与CD相交于点𝑂，OE⊥CD，若∠1=35°，则∠AOD的度数为(    ) A.115° B.125° C.135° D.145° 答案：B. 7.如图，直线AB与CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AON=125°，则∠NOC的度数为(   ) A．55° B．45° C．35° D．65° 答案：A. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深对垂线的概念及性质的理解，巩固基础，提升辨析和运用能力. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.说一说，什么是垂直，如何画垂线？ 3.垂线的性质是怎样的? 设计意图：本节课的课堂总结活动通过几个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $