专题4 综合与实践-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

当a=1+5时，子(1+下)2+1+5+4=-3， .D(1+√15，-3)； :当△AHP≌△FED时，PH=ED, 9 解得a1=32+1,a2=1-32(舍)， 当a=3+1时，之37+1)+32+1+4=9 2 03+1.号. 综上所述，当点D的坐标为(1+√15，-3)或(3√2+1， 号)时存在以点D,B.F为顶点的三角形与△1m 全等 13.解：(1)将A(-3,0),B(1,0)分别代入y=ax2-2x+c, 得906+c=0解得0=1. (a-2+c=0, (c=3, ∴.该抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+3. (2)由(1)知，点C(0,3), .A0=C0,△AOC是等腰直角三角形. △ACP是以AC为底边的等腰三角形，AP=CP. 如解图，连接OP」 则点P,O在线段AC的垂直平分 线上， .∠A0P=∠C0P=45°，即0P平 分∠A0C. 过点P作PD⊥x轴于点D,PE⊥ D y轴于点E,则PD=PE. 设P(m,-m2-2m+3),则PD=-m2-2m+3,PE=-m, 六-m-2m+3=-m,解得m=-1±3 2 点P的坐标为(1+压，1厅)或(1压 2， 2 2 1+√/13 2 14解：(1)由题意得，抛物线C的函数表达式为y=3+ 1 将B(5.0代人得×25+56-了=0，解将64 3 3， .C,的函数表达式为y= 12451 3333(x-2)2-3, C,向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 得到C2. (2)存在.理由如下： 由(1)知C(2,-3). 设r0.0m了mm. 5 当BP为对角线时 15=2+m, 由中点坐标公式，得 1 5 -3+3m 4 -3m-3 1m=3. 解得{17即点P(0,-3): 17、 y=3' 当BO为对角线时： 12=m+5, 由中点坐标公式，得 3+y=1m245 3m-3, m=-3, 解得〈 25 (y 25即点P(0,3): 3 综上所述，点P的坐标为0，子)或0，宁。 专题四综合与实践 1.解：(1)如解图1，连接OP,OM,过点0作OM'⊥AB,垂足 为M'.则OP+PM≥OM≥OM', .·.PM≥0M-OP≥OM'-0P. .·⊙0的半径为4，.∴.PM≥0M-4≥0M'-4. .·0A=0B,∠A0B=120°， AM'=BM7AB=12,∠A=30O .OM'=AM'·tan30°=4v3,.PM≥0M'-4=4v3-4. 线段PM的最小值为4V5-4. AA E M F D M M' B BB' 解图1 解图2 (2)如解图2，分别在BC,AE上作BB'=AA'=r=30m,连 A'B',B'O.OP.OE,B'E...ON=BB' .OM⊥AB,BB'⊥AB,.OMBB', .四边形BB'ON是平行四边形，.BN=B'O. .·B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E, .BN+PE≥B'E-r, ∴.当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值. 作⊙0'，使圆心O'在B'E上，半径r=30m,作0'M'⊥AB, 垂足为M”',并与A'B'交于点H, ·O'H/A'E,△B'O'H∽△B'EA'EA=B元 O'H B'H :⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界）， .当⊙O'与FD相切时，B'H最短， 此时B'H=10000-6000+30=4030(m). .在BN,EP之和最短的情况下，O'H也最短. M'N'=O'H,.MN'也最短. 41 MN=0H=EA'·B'1_(10000-30)×4030 B'A' 10000 4017.91(m), .0'M=MN'+30=4047.91(m), .此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为 4047.91m. 2.解：(1)√34 (2)如解图1，连接AC,MA,AN,过点A作AE⊥BC于点 E,则BD垂直平分AC,AB=BC=6, .CM=AMM,∴.CM+MN=AM+MW≥AN≥AE .当点N和点E重合时，CM+MN的最小值为AE. 在Rt△ABE中，AB=BC=6,∠ABC=60°， .AE=AB·sin60°=35，.CM+MW的最小值为35. G EN E 解图1 解图2 (3)运输管道的总长度(PE+PW)存在最小值理由如下： .·四边形ABCD是平行四边形，.AB∥DG .·AC∥BG,BG⊥DG, .四边形ABGC是矩形，∴.∠BAC=90° 又ADBC,AD=BC,E,F分别为边AD,BC的中点， .AE=CF,.四边形AECF是平行四边形 ·∠BAC=90°，F为边BC的中点， ∴.AF=BF=CF,.四边形AECF是菱形 如解图2，连接EF,PF,FH,FH交AC于点P',则AC,EF 互相垂直平分， ∴.PE+PH=PF+PH≥FH .当F,P,H三点共线时，PE+PH的值最小，即为FH 的长 .·∠AFC=120°，∴.∠ECF=60°. .△ECF为等边三角形. .·CE=120米，.CF=CE=120米 H为CE的中点， FHLCE,CH=EH=CE=60米。 2 在Rt△CFH中，FH=CH.tan60°=60W3米. .PE+PH的最小值为60√3米. 3.解：(1)25m【解法提示】如解图1，连接OA,OB.:∠C= 30°，，∠A0B=60°.：0A=0B,△0AB是等边三角形， 0B=AB=15.ACB的长为300Tx15=25m 180 B 解图1 42 (2)存在满足要求的点P和点F 如解图2，连接CD,取CD的中点M. F B 解图2 .·∠DAB=60°，∠ABC=120°， .∴.∠DAB+∠ABC=180°，.AD∥BC AD=BC=900m,.四边形ABCD是平行四边形. ·要在湿地上修建一个新观测点P,使∠DPC=60°， 点P在以点O为圆心，CD为弦，CD所对的圆心角为 120°的圆上. AF=EC. .经过点E的直线都平分平行四边形ABCD的面积 ·新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积 平分，直线PF必经过CD的中点M. 易知ME是△CAD的中位线，.ME∥AD. :MF∥AD,DM∥AF,.四边形AFMD是平行四边形. ∴.FM=AD=900m. 过点C作CN⊥PF于点N :四边形AFMD是平行四边形，∠DAB=60°， .∠PMC=∠DMF=∠DAB=60°. alc0=宁4B=60(m. .MN=CM·cos60°=300(m),CN=CM·sin60°=3005(m). .·∠PMC=∠DPC=60°，∠PCM=∠DCP, 飞△PMC ADPC.CC,即K=60 1200CP1 ∴.PC2=720000.在Rt△PCW中，PW=√PC2-CN= √/720000-270000=300W5(m), .PF=PW+WM+MMF=300wW5+300+900=(300W5+1200)m, :.存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为(3005+ 1200)m. 4.解：(1)BE=DF理由如下： 四边形ABCD是矩形，.∠B=∠BAD=∠ADF=90° AF⊥AE,∠EAF=90°，.∠BAE=∠DAF 在△ABE和△ADF中， I∠BAE=∠DAF K∠ABE=∠ADF, AE=AF. .△ABE≌△ADF(AAS),∴.BE=DF (2)养殖基地的面积存在最大值 如解图，连接OE,延长DA交OF于点N,过点E作EML OF于点M,EQ⊥OC于点Q,过点A作AP⊥EM于点P. .·ADOC,CD∥OF. ·四边形OCDW是平行四F 边形 .∠G0F=90°. 四边形OCDN是矩形， .'ON=CD=60 m,DN=OC= 80m, ∴.AN=DN-AD=40m. .·EM⊥OF,AP⊥EM,AN⊥OF,∴.四边形APMN是矩形， ∴.∠PAN=90°，MN=AP,PM=AN △ABE是等腰直角三角形，∠BAE=90°，.AB=AE. :∠PAN=∠BAE=90°，.∠BAN=∠EAP. I∠BAN=∠EAP. 在△ABN和△AEP中， ∠ANB=∠APE, AB=AE. .△ABN≌△AEP(AAS), .'AP=AN=40 m,BN=EP, .MN=AP=40 m.OM=ON-MN=20(m). .EM⊥OF,EQ⊥OC,∠G0F=90°， 四边形0MEQ是矩形，∴.EQ=0M=20m, 2×80×20=800(m2). 六Saco=20C·BQ= S助形B0eB=S△B0E+S△c0E,S△c0s=800m2, .当SaB0s最大时，S回达形B0c最大. 设EP=BN=xm,则OB=(60-x)m,EM=(40+x)m 'SAROE= 2(x-10)2+ 1250. 、 2<0,.当x=10时，Sae取得最大值1250， .S四边形0cg存在最大值，最大值为1250+800=2050m, 5.解：(1)4 (2).AB=AC=AD, 点B,C,D都在以点A为圆心，AB为半径的⊙A上 如解图1，设E是∠BCD所对弧上的一点，连接BE,DE .∠BAD=130°，∴.∠BED=65° ·:四边形BEDC是⊙A的内接四边形， ∴.∠BCD+∠BED=180°，∴.∠BCD=115° E 解图1 解图2 (3)存在.如解图2，连接AB',BB :点B与点B关于AE对称， AE垂直平分BB',AB=AB',BF=B'F, AB-LAB-180-LBAB). AB=AD...AB'=AD. 1 ÷∠AB'D=∠ADB'=2(I80°-∠DAB), ÷LBB'D=∠AB'B+∠AB'D=Z(180°-LBMB)+ 2(180-∠nB)=135. ∴.∠FB'B=180°-135°=45° 由对称得∠B'BF=∠FB'B=45°， .∴.∠BFB'=90°，即∠BFD=90°. 连接BD,以BD为直径作⊙O,交BC于点G,过点O作 OH⊥BC于点H,延长OH交⊙0于点M,连接OF,则 0F=2BD,故点F在⊙0上， 点F在劣弧BG(不与端点重合)上运动， 连接DG,则∠BGD=90°. ∠ABC=∠BAD=90°，.四边形ABGD是矩形 又.：AB=AD=400m,.四边形ABGD是正方形， ∴.BG=400m,BD=√AB+AD=4002(m),∠0BG=45°， 0M=2005m,BI=2BG=200m,∠B0I=45°， ∴.0H=BH=200m,∴.MH=0M-0H=(200W2-200)m, ∴.当点F与点M重合时，点F到BC的距离最大，则此时 △BCF的面积最大. △BCF面积的最大值为28C·N=子×60x(20万- 200)=60000V2-60000. :.△BCF的面积存在最大值，最大值为(600O0√2- 60000)m2. 6.解：(1)4【解法提示】如解图1，过点A作AH L BC于点 ASao=之CD·AW=12,Sm=之m·A,cD= 3BD2CD·AM=7×3BD·AH=12,BD·AH=8, .4. B BDH 解图1 解图2 (2).:D,E分别是AB,AC边的中点，AB=6, .AD=BD=3,DE是△ABC的中位线， ∴.BC=2DE,DE∥BC,.∴.∠CBF=∠DFB. :BF平分∠ABC,.∠ABF=∠CBF, ∴.∠ABF=∠DFB,∴.DF=BD=3, ∴.DE=DF+EF=5,∴.BC=2DE=10. (3)如解图2，取AC的中点O,连接OE,则OE是△ACD 的中位线. 由∠ADC=90°，可知点D在以0为圆心，OA长为半径的 ⊙0上（△ABC外）运动， 43 取OC的中点P,连接PE,则点E在以点P为圆心，OP 长为半径的⊙P上（△ABC外）运动，连接BP并延长交 ⊙P于点E',连接CE并延长交⊙0于点D',连接 AD'.OE'. .·BP+PE≥BE .当B,P,E三点共线时，即点E运动到点E时，BE取得 最大值，此时BE大=BP+PE', 当BE最大时，点D在点D的位置. AC=80m,0是AC的中点，P是0C的中点， .'..0A=40 m,PE'=OP=PC=20 m,AP=0A+OP=60 m, ÷Sa=2CP.AB=800(m). .BP=VAP+AB2 100(m),..BP=5PE', w5.m10(m) .SAOCK=2SACPg=320 m2. ·OE是△ACD的中位线，.OE是△ACD'的中位线， SAACB=( S):=4,SAw=45a0ue=1280(m2) 1280×200=256000(元)， .跑道BE最长时，扩建△ACD区域所需的总费用为 256000元. 7.解：(1)75°【解法提示】：△4BC为等边三角形 .AB=AC,∠BAC=60°..·AD是等边三角形ABC的中 线∠PC=∠B4c=30APAC∠A0-分× (180°-30°)=75 (2)如解图1，连接PB. :AP∥BC,AP=BC,∴.四边形PBCA为平行四边形， ∴.PB=AC=6,∠PBC=180°-∠C=60°， .∴.BE=PB·cos∠PBC=3,PE=PB·sin∠PBC=3√3 CA=CB,∠C=120°，.∠ABC=30°， .OE=BE·tan LABC=√5， 5ea=5ac-5a度=76x35- 2x3x/3=153 解图1 解图2 (3)符合要求.证明如下： 如解图2，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行 线，两条平行线交于点F,连接FP .四边形FDCA为平行四边形 .'CA=CD,∠DAC=45°，∴.∠ACD=90° .四边形FDCA为正方形，.∠DAF=45°，AF=AC :PE是CD的垂直平分线， .PE是AF的垂直平分线，PF=PA. 44 AP=AC,.PF=PA=AF,∴.△PAF为等边三角形， .∠PAF=60°，.∠BAP=60°-45°=15°， .裁得的△ABP型部件符合要求. 8.解：【任务一】205【解法提示】如解图1，连接AC,BD 交于点O,过点E作EG⊥CB于点G.·四边形ABCD是 矩形，∴.AD=BC=80cm,且为中心对称图形，AD∥BC, ∠ABC=90°，.当EF经过对称中心O时，线段EF平分 矩形ABCD的面积，.由对称性得DE=BF=30cm·AD∥ BC,∠ABC=90°，EG⊥CB,.EG=AB=40cm,同理可得 CG=DE=30cm,∴.FG=BC-BF-CG=2O(cm),∴.在Rt△EFG 中，由勾股定理，得EF=√EC+FG=205(cm). D 解图1 【任务二】如解图2，作△MPW的外接圆，记作⊙T,在BC 上取点P',连接MP'交⊙T于点I. E A C 解图2 则∠MPN=∠MIN>∠MP'N. .当⊙T与BC相切时，∠MPW最大，连接TP,则TP⊥ BC,连接TN,TM, ∴.∠FPW+∠TPN=90. TN=TP,∴∠TPN=∠TNP, ∠TPw=180°-∠WT ,.∠FPW+180°-∠NT =90°， 2 2 ·∠FPW=<NP 2，.∠FMp=NTP 2 .∠FPN=∠FMP .·∠NFP=∠PFM,∴.△NFP∽△PFM, 贯祭m=w EF=205,∴.0E=0F=105. .0M=0N=10, .FM=0F+0M=105+10,FN=0F-0W=10W5-10, .FP2=FM·FN=400,.FP=20(负值已舍)， .·BC=80,BF=DE=30,∴.FC=BC-BF=50, .PC=FC-FP=30. AB=40,AD=80,由勾股定理，得AC=405, 1 0C=21C=205, .0F2+0C2=FC2,.∠F0C=90°， .tan∠FCO -7-0.即咒105 PC OC' 30205 ..TP=15,.TN=15 TM=N,I0LMN,L0TN=7∠MN=∠MPW sin∠PW=sim∠0w-ON10-2 N153 9.解：(1)如解图1，先作∠ADE=∠B,DE交AC于点E,则 DE∥BF;再以点B为圆心，DE长为半径画弧，交线段BC 于点F,连接EF,则DE=BF ·DE∥BF .四边形BDEF即为所求作的平行四边形 B D H 解图1 解图2 (2)如解图2，过点P作PHLBC于点H. SARPC=9,BC=6, BC·Pm= 1 2X6PH=9,PH=3. 过点P作MW∥BC,分别交AB,CD于点M,N,即点P在 线段MN上运动， CAnPC =BP+CP+BC=BP+CP+6. 当BP+CP有最小值时，△BPC的周长有最小值， 作B点关于MN的对称点B', .B'M=BM=3,B'P=BP,∴BP+CP=B'P+CP≥B'C 当B',P,C三点共线时，BP+CP有最小值，为B'C的长， 即△BPC的周长有最小值 .四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°. 在Rt△BB'C中，B'B=6,BC=6, .B'C=√B'B2+BC=62, .△BPC周长的最小值为BP+CP+6=B'C+6=62+6. (3)如解图3，取AB的中点M,取AC的中点N,连接MN HED 解图3 则MN是△ABC的中位线. 过点P作PD∥AC交BC于点D,则∠BAC=∠BPD 又：∠ABD=∠PBD,∴△PBD∽△ABC, PB_PD.即PB4-120-3 AB AC' PD AC 1803 BP 2 A03.AO=PD. .·PD∥AC,.四边形APDQ是平行四边形 连接AD. :O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形 0是AD的中点，A0=0D, 过点A作AH⊥BC于点H,过点O作OE⊥BC于点E, 则∠AHD=∠OED=90°. .∠ADH=∠ODE,∴.△ADH∽△ODE, 0E0D1 AHAD2 .AB=120m,AC=BC=180m, AH为定值，OE为定值， 则点O在△ABC的中位线MW上运动，作△BOC的外接 圆⊙T,交OC于点F, 当且仅当⊙T与MN相切时，∠BOC的值最大， 即∠BO'C=∠BFC=∠BOC+∠OBF. ∴.∠BO'C=∠BFC>∠BOC. 如解图4，连接CM,过点M作MK⊥BC于点K,过点O'作 O'L⊥BC于点L,连接LT 解图4 ⊙T与MW相切于点0'，.∠M0'T=90°. O'L⊥BC于点L,.∠BL0'=90° MN/∥BC,.∠M0'L=90°， .0',L,T三点共线，.∠BLT=180°-∠BL0'=90°， BC1r于点LM=之C BC=AC=180m,M是AB的中点， :.MB-AB=60(m).CMLAB. 2 cs∠ABC=BK-BL即BK6O BM BC 60180 Bk=20(m)…M0r=K=L-BK=8C-k=70(. M是AB的中点M,O'是AD的中点， ∴.MO'是△ABD的中位线，.BD=2MO'=140(m) .AC=BC,∴.∠BAC=∠ABC. .PD∥AC,∴.∠BPD=∠BAC=∠ABC. BD=PD..BP=2 PD=2 BD-280 3(m）, ·AP=AB-BP=8O, 3(m). ·步道口P与游客服务中心A之间的距离PA为 3 m. 45专题四 综合与实践 (2025陕西26题考法) 类型1线段问题(8年2考) 1.(2023陕西26题10分)(1)如图1，在△0AB中，0A=0B,∠A0B=120°，AB=24.若⊙0的 半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM,求线段PM的最小值； (2)如图2所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处 是该市的一个交通枢纽.已知∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m,BC=DE= 60O0m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半 径为30m的圆型环道⊙O;过圆心O作OM⊥AB,垂足为M,与⊙O交于点N.连接BW,点 P在⊙O上，连接EP.其中，线段BN,EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BW,EP 之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM 的长 C 图1 图2 54 2.(2025铁一中模拟)问题提出 (1)如图1，BD为矩形ABCD的对角线，点E为BD的中点，连接AE.若BC=10,CD=6,则 AE= 问题探究 (2)如图2，BD为菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，BC=6,M为BD上任意一点，N为BC 上任意一点，求CM+MW的最小值； 问题解决 (3)如图3，△BCG是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲将农场扩建，扩建部分为平 行四边形ABCD,其中点D在GC的延长线上，E,F分别为边AD,BC的中点.在四边形 AECF内养家禽，AC为一道栅栏，经测量，AC∥BG,BG⊥DG,CE=120米，∠AFC=120°，P, H为两个饲料储存点，其中H为CE的中点，点P在AC上.现要沿PE,PH修建两条运输 管道，问运输管道的总长度(PE+PH)是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存 在，请说明理由. 图 图2 图3 55 类型2面积问题(8年5考) 3.(2024陕西26题10分)问题提出 (1)如图1，在△ABC中，AB=15,∠C=30°，作△ABC的外接圆⊙0，则ACB的长为 (结果保留π) 问题解决 (2)如图2所示，道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段 AD,AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上，且 AE=EC,∠DAB=60°，∠ABC=120°，AB=1200m,AD=BC=900m,现要在湿地上修建一 个新观测点P,使∠DPC=60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口，点F,并修建三条新 步道PF,PD,PC,使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分 请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理 由.（点A,B,C,P,D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测，点及出入口的大小均 忽略不计，结果保留根号) B 图1 图2 56 4.(2025咸阳校级模拟)问题探究 (1)如图1，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE,AF⊥AE交CD的延长线于点F, 若AE=AF,判断BE与DF的数量关系，并说明理由； 问题解决 (2)如图2，OG和OF是某校一角两堵互相垂直的围墙（∠G0F=90),为方便学生实践 活动的顺利展开，学校计划靠着围墙修建一座五边形实践活动基地ABOCD.已知AD∥ 0C,CD∥0F,动点B在OF上，点C在OG上，且OC=80m,CD=60m,AD=40m,OB<CD, 其中以AB为直角边的等腰直角三角形ABE区域为实验基地（∠BAE=90°，点E在五边 形ABOCD内)，沿CE铺设一条小路（宽度忽略不计），将四边形ADCE区域作为种植基 地，四边形BOCE区域作为养殖基地，为容纳更多的动物，要求养殖基地区域（即四边形 BOCE)的面积尽可能大.请问养殖基地（四边形BOCE)的面积是否存在最大值？若存 在，请求出四边形BOCE的最大面积；若不存在，请说明理由 F B E 图1 图2 57 5.问题提出 (1)如图1，C为线段AB上方的动点，连接AC,BC,满足∠ACB=90°，若AB=8,则点C到 AB的最大距离为 (2)如图2，在四边形ABCD中，连接AC,AB=AC=AD,若∠BAD=130°，求∠BCD的度数； 问题解决 (3)某科技公司现有一块形如四边形ABCD的研发基地，其大致示意图如图3所示，其中 ∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=400m,BC=600m.为了响应国家“科教兴国”战略，现需要 扩大基地面积.扩建方案如下：E为BC边上的动点（不与端点重合），连接AE,点B关于 AE的对称点为B',连接DB'并延长，交AE的延长线于点F,连接BF,CF,将△BCF区域 修建成新能源研发区.为保证研发效果，要使研发区（即△BCF)的面积尽可能地大，请问 △BCF的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCF的最大值；若不存在，请说明 理由. B 图1 图2 图3 58 6.(2025西安未央区模拟)问题提出 (1)如图1，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD,若CD=3BD,SACD=12,则S△ABD的值 为 ； 问题探究 (2)如图2，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边的中点，连接DE,BF平分∠ABC交DE于 点F.若AB=6,EF=2,求BC的长； 问题解决 (3)如图3，△ABC是某公园的一块儿童休闲娱乐区，现要将其向AC右方进行扩建，扩建 区域为△ACD,再从点B向CD边的中点E修建一条儿童健身跑道BE,为了达到跑步锻 炼的效果，要求跑道BE尽可能地长.已知AB=AC=80m,∠BAC=∠ADC=90°，扩建 △ACD区域需要的费用为200元/m2,求跑道BE最长时，扩建△ACD区域需要的总费用. B∠ 图1 图2 图3 59 类型3角度问题(8年3考) 7.(2022陕西26题10分)问题提出 (1)如图1，AD是等边三角形ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC,则∠APC 的度数为 问题探究 (2)如图2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120.过点A作AP∥BC,且AP=BC,过点P作 直线l⊥BC,分别交AB,BC于点O,E,求四边形OECA的面积； 问题解决 (3)如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材 裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°，AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法 如下： ①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D,连接CD: ②作CD的垂直平分线I,与CD交于点E; ③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线I于点P,连接AP,BP,得△ABP. 请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论. 图1 图2 图3 60 8.(2025交大附中模拟节选)数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁 剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下： 【任务一】在如图的矩形板材ABCD中，AB=40cm,AD=80cm,取AD边上一点E,ED= 30cm,请你帮数学兴趣小组在BC边上找一点F,连接EF,使得线段EF平分矩形ABCD 的面积，则线段EF的长为 cm; 【任务二】在完成任务一后，取线段EF的中点O,点M和点N是线段EF上两点，且OM= ON=10cm(M在O点上方，N在O点下方)，要求兴趣小组在线段BC上找一点P,连接 PM和PN,使得∠MPN的度数最大，请帮助兴趣小组计算，当∠MPN的度数最大时， sin∠MPN的值 备用图 61 9.(2025陕西26题12分)问题探究 (1)如图1，在△ABC中，请画出一个□BDEF,使得点D,E,F分别在边AB,AC,BC上； (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,P为矩形ABCD内一点，且满足SAc=9,求 △BPC周长的最小值； 问题解决 (3)为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之 间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台.如图3所示，△ABC区域为草地，线 段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为 观景台.按照设计要求，点P,Q分别在边AB,AC上，且满足BP:AQ=2:3,O为PQ的中 点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大.已知AB=120m,AC=BC=180m,请 你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的，点），并计算此时步道口 P与游客服务中心A之间的距离PA.(步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小 均忽略不计) 入.入 图1 图2 图3 备用图 62