专题2 圆的综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

专题二圆的综合题 (2025陕西24题考法) 类型1与圆的基本性质有关的综合题2.如图，在△ABC中，0是AB的中点，以0 (8年1考) 为圆心，以OA长为半径作⊙O.F是AC的 1.如图，在圆内接四边形ABDC中，AB是 中点，连接OF,交⊙O于点D.连接BD,连 ⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E. 接AD并延长交BC于点E. (1)求证：D为BC的中点； (1)求证：BD平分∠ABC; (2)若BE=4,AC=6,求DE的长， (2)若AB=10,BC=14,求DF的长. 40 3.(2024苏州)如图，在△ABC中，AB=42,类型2与圆的切线有关的综合题(8年7考) D为AB的中点，∠BAC=∠BCD,4.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆 心O,过点C的切线与边AD所在直线垂 cos∠ADC= 4,O0是△ACD的外接圆。 直，交于点M,连接AC. (1)求BC的长； (1)求证：AC平分∠DAB; (2)求⊙0的半径. (2)若⊙0的半径为4，MD=3,求CD的 长度 41 5.(2025陕西24题8分)如图，点0在6.(2022陕西24题8分)如图，AB是⊙0的 △ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O 直径，AM是⊙0的切线，AC,CD是⊙0的 与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF 弦，且CD⊥AB,垂足为E,连接BD并延 为⊙0的直径，FD与AC相交于点G, 长，交AM于点P. ∠F=45. (1)求证：∠CAB=∠APB; (1)求证：AB=AC; (2)若⊙0的半径r=5,AC=8,求线段PD (2)若snd=,Ah=8,求G的长 的长 p -M 0 E☑D D 42 7.(2025咸阳乾县校级模拟)如图，在△ABC8.(2025西工大附中一模)如图，点C在以 中，AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC, AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线 AC分别交于D,E两点，DF⊥AC于点F. 上，∠DCA=∠CBA. (1)求证：DF为⊙O的切线； (1)求证：DC是⊙0的切线； (2)者omC-子c=9.求的长。 (2)点G是半径OB上的点，过点G作OB 的垂线与BC交于点F,与DC的延长线交 于点E,者mD=于，A=FG=2.求Ck 的长 B D OG 43 9.(2025济南)如图，AB是⊙0的直径，C为10.(2025西安雁塔区校级一模)如图，⊙0 ⊙0上一点，P为⊙0外一点，OP∥AC,且 是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F ∠OBP=90°，连接PC. 是AD延长线上一点，连接CD,CF,且 (1)求证：PC与⊙O相切； ∠DCF=∠CAD. (2)若A0=3,OP=5,求AC的长， (1)求证：CF是⊙0的切线； (2)若O0的半径为5，imB=号求FD 4 的长 44 11.（2025西安灞桥区校级六模)如图，在12.(2025西安雁塔区校级一模)如图，四边 △ABC中，O为AC上一点，以0为圆心， 形ABCD内接于⊙O,点O在AB上，BC= OC长为半径作圆，与BC相切于点C,过 CD,过C作AD的垂线，分别交AB,AD的 点A作AD⊥BO交B0O的延长线于点D, 延长线于点E,F 且∠AOD=∠BAD. (1)求证：EF为⊙O的切线： (1)求证：AB为⊙0的切线； (2)若点G为⊙0上一点且位于AB下 (2)若0D=√5，AD=2√5，求⊙0的 方，c03∠BGD=,5E=2,求FD的R 半径 0 453翻相那_42，.EF三BE-BF=33、的 3 3,在 B△AFE中，AE=VAF+EF_2V2 3 35.3【解析】方法一：如解图1，连接AC交EF于点0，连 接PO,PE,线段EF平分矩形ABCD的面积，EF经 过矩形ABCD的对称中心，即AC的中点O,OE=OF, 又P为AF中点，.OP∥AE,FQ=3EQ,E0=OF,设 OF=OE=2k,FO+QE=EF=4k,..FQ=3k,QE=k. ∴.QE=OQ,.OP∥AE,∴.∠QDE=∠QPO,∠QED= ∠QOP,∴.△QDE≌△QPO(AAS),∴.OP=DE=2,∴.AE= FC=2P0=4...SMOP=SAPOE =2S AP00=SAPOrS= 。1 3 3 3 311 25a4=42×2 ×4×4=3. B 解图1 解图2 方法二：如解图2，延长DP交CB延长线于点G,连接 DF,:EF平分矩形ABCD的面积，.BF=DE=2,:AD∥ BC,FQ=3EQ,P是AF的中点，，GF=3DE=6,GQ= 1 3DQ,DP=GP,.PQ=DQ.AD=GF=6,SAro=SAOPF= 1 1 人SAD*=又SE无ABcD已及X6X43. 专题二圆的综合题 1.(1)证明：.·AB是⊙0的直径，OD⊥BC, .D=C⑦，即点D为BC的中点， (2)解：AB是⊙0的直径，OD⊥BC, ∴.EC=BE=4,∠ACB=90°，.BC=8, AC=6,AB=√AC+BC=10, ∴.OD=0B= 2AB=50E=√OB-BE=3, ∴.DE=0D-0E=5-3=2. 2.(1)证明：0是AB的中点，F是AC的中点， .OF是△ABC的中位线， .C. F是AC的中点，AD=DE, AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， ∴.BD是线段AE的垂直平分线， ∴.AB=BE,∠BAE=∠BEA, .∴.∠DBA=∠DBE,即BD平分∠ABC (2)解：由(1)知AB=BE. .AB=10,BC=14,.BE=AB=10. .∴.CE=BC-BE=14-10=4. 36 AD=DE,F是AC的中点， .DF是△AEC的中位线， .DF=1CE=2. 2 3.解：(1)：∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, BCAB ·.△BAC∽△BCD,BDBC AB=42,D为AB中点，.BD=AD=22, .BC2=BD·AB=16,.BC=4. (2)如解图，过点A作AE⊥CD于点E,连接C0,并延长 交⊙0于点F,连接AF B D DE√2 在R1△AMBD中，cos∠A0C=D4,AD=25, DE=1,.AE=√AD-DE=√7. △ac8an答-器-9-反 设CD=x,则AC=√2x,CE=x-1. 在Rt△ACE中，AC2=CE+AE2, .(2x)2=(x-1)2+(7)2, 整理得x2+2x-8=0,解得x=2(负值已舍去)， ∴.CD=2,AC=22. :∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角， .∠AFC=∠ADC. CF为⊙0的直径，∴.∠CAF=90°， sin∠AC=sin∠CDA,即4C-AE-万-V4 CF AD 2 4 Cr=8 70F 2C4 1 7 即⊙0的半径为4y7 7 4.(1)证明：如解图，连接0C .·CM是⊙O的切线，.OC⊥CM M :AM⊥CM,∴.AM/∥OC, .∠CAM=∠AC0, OA=0C,.∠OAC=∠AC0, .CAM=∠OAC, .AC平分∠DAB. (2)解：如解图，过点0作OH⊥AM于点H. .·∠OHM=∠CMH=∠OCM=90°， .四边形0HMC是矩形.MH=0C=4,CM=0H, DM=3,..AH=DH=MH-DM=1, .0H=√/0A-A㎡=/4-12=/15. CM=0H=√I5, .CD=√DMr+CM=√32+（√I5)2=26. 5.(1)证明：如解图，连接OD A D .∠F=45°，0F=0D,∴.∠D0E=90° :⊙O与AB相切于点D, .OD⊥AB,.∠ODA=∠D0E=90°， .AB∥OE,.∠B=∠OEC .OC=OE,∴.∠B=∠OEC=∠C,∴.AB=AC (2)解：m4=子0A=0, OD 3 :0F=0C=0D,0A+0C=AC=AB=8,∠D0F=90°， 30D+0D=8,0F=0D=3. .04=5 ×3=5,DF=20F=32, AD=√0A-0D=√5-3=4， AD/0F,.△AGD∽△0GF,FCOF3, DG AD 4 0r-7DF=x3万=122 4 4 .DG=- 7 DC的长是I2,2 7 6.(1)证明：.AM是⊙0的切线，∴.∠BAM=90° ∠CEA=90°，.AM∥CD,.∠CDB=∠APB. ∠CAB=∠CDB,.∠CAB=∠APB. (2)解：如解图，连接AD」 -M E B AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=∠ADP=90° ∴.∠CDB+∠ADC=90° .∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB. .∠ADC=∠C,.AD=AC=8. AB=2r=10,.由勾股定理得BD=6. .·∠BAD+∠DAP=90°，∠DAP+∠APB=90°， ∴.∠APB=∠DAB. ∠BDA=∠BAP,.△ADB△PAB,∴.PBBA AB BD PB=4B=100.50 DPD=PB-BD- 032 6=3 7.解：(1)如解图1，连接0D,AD, :AB是⊙0的直径，∠ADB=90°， .AB=AC,∴.BD=CD .OB=OA,.0D∥AC. DF⊥AC,∴.OD⊥DF 又·OD为⊙O的半径，.DF为⊙0的切线 解图1 解图2 (2)如解图2，连接BE,DA, CF 3 在Rt△DFC中，csC=C亏，CF=9, .DC=15,.DF=12. BD=DC...BC=2DC=30. :AB为⊙O的直径，DF上AC于点F, ∴.∠BDA=∠BEA=∠DFA=90°， ..DF∥BE,.EF=CF=9 在Rt△BEC中，CE=CF+EF=9+9=18,BC=30, .BE=√BC-CE=√302-18=24. 在Rt△BAE中，同理可得AE2+24=(AE+18)2, 解得AE=7,即AE的长为7. 8.(1)证明：如解图，连接OC. .OB=OC,.∠OBC=∠OCB .∠DCA=∠OBC. ·.∠DCA=∠OCB, D :AB是⊙0的直径， OG ∴.∠ACB=90°， .∴.∠DCA+∠OCA=∠OCB+∠OCA=90°」 .∠0CD=90°，即0C⊥CD, 0C是⊙0的半径，.DC是⊙0的切线， (2)解：设0C=0A=r, :sim0=0C、4 .4 005心+25=8， ∴0C=0A=8,0D=10. 在Rt△0CD中，CD=√OD2-0C=√102-82=6 ·.·∠DCA+∠ECF=∠BFG+∠CBA=90°. .∴.∠ECF=∠BFG, 又.·∠BFG=∠EFC,∴.∠ECF=∠EFC, .EC=EF,设EC=EF=x ∠D=∠D,∠DCO=∠DGE,∴.△D0C∽△DEG 0%则%0 x+6x+2 解得x=14, 经检验x=14是所列方程的解且符合题意， ∴.CE=14 9.（1)证明：如解图，连接OC .0C=OA,∴.∠OAC=∠OCA OP∥AC,.∠OAC=∠BOP,∠OCA=∠COP .∴.∠COP=∠BOP .OP=OP,OC=OB,∴.△C0P≌△B0P(SAS), ∴.∠OCP=∠0BP=90°，∴.OC⊥PC, 37 .·OC是⊙0的半径，..PC与⊙0相切. (2)解：如解图，连接BC交OP于点D. 由(1)知，△C0P≌△B0P, .∴.PC=PB,OB=OC,∴.OP垂直平分BC .A0=B0=3,0P=5,∠0BP=90°， 由勾股定理得BP=√OP-OB=√5-3=4， Sam8BP=0pm, 六BD=0B·BP3x412 OP 55BC=2BD=24 :AB是⊙0的直径，.AB=2A0=6,∠ACB=90°， Ac=VG-c-6-高-s 5 10.(1)证明：如解图，连接0C,则0C=OA, ∴.∠OCA=∠CAD, .∠DCF=∠CAD..∠DCF=∠OCA. .AD是⊙0的直径，.∠ACD=90°， .∴∠OCF=∠OCD+∠DCF=∠OCD+∠OCA=∠ACD= 90°，即CF⊥0C, .OC是⊙0的半径，.CF是⊙0的切线 B c (2)解：，⊙0的半径为5，∴.0A=0D=5,AD=10, .·∠ACD=90°，∠ADC=∠B D54c=4A0=4 sinB=sin LADC=AC4 5 x10=8, .CD=√AD2-AC=√102-82=6， .:∠DCF=∠CAF,∠F=∠F, FC FD CD 6 3 A△DCF∽△CAFFA-FC-AC84' ..FC=3 4 3 FD, FA=3FD+IO),且G- 3 4 90 六4(FD+10)=3FD,解得FD= 7 FD的长为9 11.（1)证明：如解图，过点O作OE⊥AB于点E. AD⊥B0于点D,.∠D=90°， ∴.∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+ ∠0AD=90°， .∠AOD=∠BAD ∴.∠ABD=∠OAD, 又：BC为⊙0的切线， .∴.AC⊥BC,.∠BCO=∠D=90°， 38 .·∠BOC=∠AOD. .∠OBC=∠OAD=∠ABD,OE=OC, OE⊥AB,OE是⊙0的半径，∴AB是⊙0的切线. (2)解：∠D=90°，0D=√5，AD=2√5， .A0=√AD+0D=5, .·∠D=∠D,∠AOD=∠BAD,.△OAD∽△ABD, AD0D.25√5 BD-AD BD 25 .BD=45,0B=BD-0D=35, .∠C=∠D=90°，∠B0C=∠AOD, &△0mc号2若是 ∴.0C=3,∴.⊙0的半径为3. 12.(1)证明：如解图1，连接OC,AC BC=CD,.BC=C⑦，.∠DAC=∠BAC, .0A=0C.∠0AC=∠OCA. ∴.∠DAC=∠OCA,·.OC∥AF, AF⊥EF,∴.OC⊥EF, 0C是⊙0的半径，.EF为⊙0的切线. 解图1 解图2 (2)解：如解图2，连接BD,OC, OC∥AF,∠DAB=∠BGD, .∴.∠COE=∠DAB,∴.∠COE=∠DAB=∠BGD, 在Rt△OCE中，设OC=r, :cos∠C0E=cos∠DAB=cLBGD,即9C_A54 OE AE5 小22行解得1=8A号 AF 4 AB为⊙0的直径，.∠ADB=90°，AB=2r=16, 在R胜△ADB中，cs∠DHB=AD_AD-4 -AB-16=5, 心40=4x 72648 5x16=64,.FD=AF-AD=5-5=号 专题三二次函数综合题 1.解：(1)由题意可知抛物线的顶点为P(5,9), .设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9(a≠0)，把 00,0)代人，可得a=公 ∴.抛物线的函数表达式为y= 25(x-5)2+9 9 (2)令)=6，得-25x-5)+9=6, 解得，5 55 -+5,x2= -+5. 3 3 5596.5 3,6)