小专题培优10 隐形圆(辅助圆)及与圆有关的最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

.∴.BE=5,CE=3,∴.AB+BE=CE+DC .AF+AB+BE=DF+EC+DC,即直线EF平分四边形 ABCD的周长 (AB=EC. 在△ABE和△ECD中 ∠B=∠C. BE=CD, .△ABE≌△ECD(SAS),.S△HBe=S△CD, 'S四边形ABEr=S△BE+S△HEP,S四助形DCEr=S△DEF+S△DCE, S四边形BEr=S四边形CBP, 即直线EF平分四边形ABCD的面积， 直线EF为四边形ABCD的“好线” A M C B 解图3 解图4 (3)6【解法提示】如解图3，延长AE,CD相交于点F, ∠A=∠B=∠C=90°，.四边形ABCF是矩形，.∠F= 90°，AF=BC=6,CF=AB=7,.EF=3,DF=4,.DE=5. ∴.五边形ABCDE的周长为AE+AB+BC+CD+DE=24,五 边形ABCDE的面积为SEcr-SAOrE=6x7-2X3×4= 1 36,.五边形ABCDE的周长的一半为12，面积的一半为 18.设BN=x,当过点N的直线与AB相交于点M时，如 解图4，则BW=2-5an=BN·BM=子·(12- 1 x)=18,解得x=6,.BN=6. 小专题培优10隐形圆（辅助圆） 及与圆有关的最值问题 例11O0【解析小：AB=AC=AD,.B,C,D三点都在以点 A为圆心，AB长为半径的圆上.∠CBD=20°，∠BDC= 30°，∴.∠CAD=2∠CBD=40°，∠BAC=2∠BDC=60°， ∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=100° 例22W√13-2【解析】如解图，连接CE.:P是直线AB上 的一个动点，EF=AE=2,·点F在以点E为圆心，AE长 为半径的圆上运动.四边形ABCD为矩形，.CD=AB =4,AD=BC=8,∴.DE=AD-AE=6.在Rt△CDE中，由勾 股定理得CE=√DE+CD=2√3，当E,F,C三点共线时， FC取得最小值为CE-EF=2√13-2. 例3√5-1【解析】在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC= AB=BC. ∠BCD.在△ABE和△BCF中，了∠ABE=∠BCF,.∴.△ABE≌ BE=CF. △BCF(SAS),∴.∠BAE=∠CBF..·∠CBF+∠ABF= 28 90°，.∠BAE+∠ABF=90°，.∠APB=90°，点P在以 AB为直径的圆上，如解图，当O,P,D三点共线时，PD有最 小值..：AB=AD=2,.A0=OP=1.在Rt△OAD中，OD= √A0+AD=√5，.PD的最小值为0D-0P=√5-1. F D B 例3题解图 例4题解图 例43 3 【解析】：△ABC为等边三角形，.∠BAC=60°， AC=AB=2..·∠PAB=∠ACP,∠PAC+∠PAB=60°，. ∠PAC+∠ACP=60°，∠APC=120°，∴点P的运动轨 迹是劣弧AC,如解图，过点P作PD上AC于点D,当O, P,B三点共线时，直线OB与AC的交点为D,此时PD的 长度最大，印△PC的面积最大.PA=PC,A机=号1C 1,∠PAC=∠AP=30,PD=AD·ta30°=5 3 AC面积的最大值为宁4C.Pm=2x号号 33 例5C【解析】四边形ABCD是矩形，∴.∠BAE=90° OE⊥BD,.∠BOE=90°，.四边形ABOE对角互补， ∴.A,B,0,E四点共圆，∴.∠AOE=∠ABE=20°. 例633 【解析】如解图，连 4 接BD,取BD的中点O,连 H 接OE,OF.∠BAC= 120°，AB=AC,.∠ABC= B F G ∠C=30°..DE⊥AB,DF⊥BC,OB=OD=OE=OF= )BDB,D,E,F四点共圆，∠E0F=2∠EBF=60 六△OEF是等边三角形，EF=0F=2BD.:∠C= ∠EBF=30°，AB=3,过点A作AG⊥BC于点G,则BG= 34R-33 2,·BC=2BG=33.当BD L CD时，BD的值 外卸m:宁：誓小值为子心-9 4 例7解：能.如解图，连接AC :井O为□ABCD的对称中心， 且0A=40W3,∠BAD=120°， .AC=805,∠ADC=60°， B 作△ADC的外接圆⊙R,则点 D在优弧ADC上，取ADC的 中点D',连接D'A,D'C, 则D'A=D'C,且∠AD'C=60°. .△AD'C为等边三角形 连接D'R并延长，经过点O至点B',使D'0=OB',连接 AB',CB', CA⊥B'D', 四边形AB'CD'为菱形，且∠B'AD'=120°， 作DE⊥AC于点E,连接DR,则DE≤RD+OR=D'R+OR= D'0 .1 Sa=2AC·DE≤2AC·D'0=Samc, SaBw≤S装形gcw=2 S&DAG=(80V5)2·sin60°= 96005(m2), ∴.符合要求的□ABCD的最大面积为96005m2 例810√3：25√3【解析】如解图，作 △ABC的外接圆⊙0，连接OA,OB,A OC,过点0作OH1AC于点H. .∠ABC=120°，.∴.∠AOH=180° 120°=60°.设⊙0的半径为r,则 0I=7,AC=5:0B≥0H+BD.r 2+5,解得r≥ 10,.AC≥105，.AC的最小值为105，.△ABC面积 的最小值为x5×105=255. 【变式】解：如解图，：∠BAC=60°，AH=30, ,当AB=AC时，边BC取最小值， -----D .∴.此时BC=AC=20w√3 作口ABCD,作点A关于直线BC的对 B 称点A',连接A'D,则AB+AC=CD+ A'C. 当A',C,D三点共线时，AB+AC有最小值，最小值为A'D 的长， 此时，△ABC为等边三角形，AB+AC=40√3. .:AB+AC和BC的最小值能够同时取到， .∴.△ABC周长的最小值为40W3+20wW3=60W3(米). 例9(1)∠ACB=∠AQB:甲 (2)C【解析】如解图1，取格点0，连接OA,OB,OD, OE.·OA=OB=OD=0E=√5，.A,B,D,E四点在以点0 为圆心，√5为半径的⊙0上.OC=3>√5，.点C在⊙0 外.由(1)知∠AEB=∠ADB,∠ACB<∠ADB,同理，线段 CD(异于端，点)上一点的射门角度均小于∠AEB.如解图 2,在线段DE(异于端点)上任取一点P,连接AP并延长 交⊙0于点Q,连接BP,BQ,则∠AQB=∠AEB.∠APB= ∠AQB+∠PBQ,.∠APB>∠AQB,,∠APB>∠AEB, ·最好的射点在线段DE(异于端点)上一点。 B 解图1 解图2 例10D【解析】如解图，取AC的中点O,连接OP,BO. PA2+PC=AC,.∠APC=90°，点P在以AC为直径 的半圆上运动.在△BP0中，PB≥B0-OP,当点P在 线段B0上时，PB有最小值.：O是AC的中点，∠APC= 90°，.P0=A0=C0=√3.：tan∠B0C= CO .∠B0C=60°，.△C0P是等边三角形，.S△r= ￥0c33g √ 35 0A=0CSa=2Samp= 2 A B 例10题解图 例11题解图 例1125-2【解析】如解图，连接0P,0C,0C交半圆0 =O0中H0V+d其·乙=8F一=0··d学， √OB2+BC=2w5.CP≥0C-0P,CP≥25-2，当点 P与点P'重合时，CP取得最小值为25-2. 例12(1)7【解析】如解图1，：11PA,.当点P在⊙0 外且0，A,P三点共线时，点0到直线1的距离最大，最 大值为A0+AP=5+2=7. N 解图1 解图2 (2)√2【解析】如解图2，：M,V是直线1与⊙0的 交点，.当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直 径.I⊥PA,.∠AP0=90°..AP=2,0A=5,.OP= √0A-AP=√2I. 1.2√3-4【解析】四边形ABCD是矩形，.∠ABC= 90°，∴.∠ABP+∠PBC=90°..·∠PBC=∠PAB,.∠ABP+ ∠PAB=90°，.∠APB=90°，点P在以AB为直径的半 圆上运动，如解图，设圆心为0，连D 接OC交⊙0于点P,此时PC最 短：0m=0m=号8=40c= √OB+BC2=2√13，·.PC的最小 值为0C-0P=2√3-4 2. 95 5 【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC= 5..AC-C-5. BD,∴.∠ABC=∠EBD=90°..∠BDA=∠C,∴.△ABC 29 △EBD,. SArD=(BD)= 5,则Sae BD2 5 ·S△ABc= √5BD 5 ,即当BD取得最大值时，S△e取得最大值. ∠BDA=∠C,∠ABC=90°，由圆周角定理可知，A,B,C, D四点共圆，.点D在以AC为直径的圆上，.BD≤AC=3. 即BD的最大值为3SA的最大值为95 3.20V5【解析】如解图，取MN的中 点F,过点F作FE⊥OB于点E,以 MN为直径作⊙F.:MW=2OM= 40m,F是MN的中点，.MF= PE B FN=20m,0F=40m:∠AOB=30°，EF⊥OB,∴.EF= 20m,OE=20w5m,.EF=MF.:EF⊥OB,EF为⊙F的 半径，.OB是⊙F的切线，切点为E,.当点P与点E重合 时，观景视角∠MPN的度数最大，此时OP=0E=205m 4.√7-1【解析】.△AMN沿MN所在直线翻折得到 △A'MW,MA'=MA=1,.点A'的轨迹是以点M为圆 心，MA为半径的圆弧.如解图，过点M作MF⊥DC,交 CD的延长线于点F.:MA'是定值，A'C的长度取最小值 时，A'在MC上..在边长为2的菱形ABCD中，∠A= 60°，M为AD中点，∴.2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°. ∠FMD=30,F=)MD= 2 F2,FM=D·s30= 2 5 CF=CD+FD=2.MC-F+CP.A'C=MC- MA'=√7-1，即A'C长度的最小值为√7-1. B 第4题解图 第5题解图 5.√3-1【解析】∠BAD=∠BCD=90°，∴A,B,C,D四 点共圆，且BD为圆的直径，取BD的中点O,则圆心为点 O,如解图，连接OA,0C,取A0的中点F,连接EF,DF ∠ACD=30°，∠A0D=60°.0A=0D,△A0D为 等边三角形，.AD=OA=2,∠AFD=90°，.DF=√3.·E. F分别是AC,OA的中点，.EF是△AOC的中位线， BF=0C=1.在△DEF中，DF-P≤DE六当D.E,F 三点共线时，DE取得最小值，最小值为√3-1. 6.20√3【解析】如解图，延长AD到点E,使得DE=AD,连 接EC,延长AC到点F,使得CF=CE,连接EF.BD= DC,∠ADB=∠EDC,AD=DE,∴.△ADB≌△EDC(SAS). ∴.AB=CE,∠B=∠DCE,∴.AB∥CE,∴.∠ECF=∠BAC= 60°.CE=CF,△ECF是等边三角形..LF=60. AD=DE=15cm,AE=30cm..点F的运动轨迹是优 30 弧AFE.AB+AC=AC+CE=AC+CF=AF,.当AF为圆的 直径时，AB+AC的值最大，此时∠AEF=90°.又·∠F= 60°，.∠EAF=30°，AF=2EF,.AE2+EF2=AF2,即 302+EF2=(2EF)2,解得EF=105cm,.AF=20V5cm, 即AB+AC的最大值为20V5cm. A 第6题解图 第7题解图 7.3【解析】如解图，连接CQ,CP,过点C作CH⊥AB于点 H.PQ切⊙C于点Q,.CQ⊥PQ.在Rt△CPQ中，PQ= √Cp2-CQ=√CP2-3,当CP⊥AB时，CP最小，PQ取 最小值，此时，点P与点H重合△ABC为等边三角 形，.∠B=60°，.CP的最小值为CH=BC·sinB=25, PQ的最小值为√(23)-3=3. 二、陕西重难题型突破 专题一填空几何综合题 L.22【解析】如解图，过点P分别作PF⊥DC于点F, PG⊥BC于点G,PH⊥AB于点H,∴.四边形PFCG,PHBG 为矩形.DE=CD=AB=3,∠D=90°，∠ECD=45°， .∠ECB=45°，.PG=CG,.PG=PF.·PM≥PH,PN≥ PG,∴.PM+PW≥PH+PG=HF=BC=4..·PM+PN=4. .PM与PH重合，PN与PG重合.BM=BN,·.四边形 PHBG为正方形，∴.PH=PG=2,∴.GC=PG=2,.PC= 22 A E D H M B NG B 第1题解图 第2题解图 2.95 5 【解析】如解图，连接EF,DF,过点F作FH⊥DE于 点H.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E,F分别是AB,BC 的中点，.AE=BE=2,BF=FC=3,DE=√AE+AD= 2√i0.:Sar=Se形w-San-Sa0r-Saip,2DE· FH=AB·BC- 2AD·AB- 2CF·cD- 1 2BE·BE2X 2而I=4x6分x6x2-号x3x4宁*2x3Fm- 9:∠FGE=45,FH⊥DB,GH=Fm=9D, 10 10, FG=FIP+GIF95 5小专题培优10 隐形圆（辅助圆）及与圆有关的最值问题 iu典例精讲I/ 类型1定点定长 园方法解读 例1如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD, 知识回顾：平面内到定点的距离等于定长 的所有点构成的集合.（圆的定义） ∠CBD=20°，∠BDC=30°，则∠BAD= 构造思路：若动点到平面内某定点的距离 模型识别：定点是A,定长是 始终为定值，则其轨迹是圆或圆孤 AB,画出隐形圆 若有共端点的三条等线段（如图1，OA= OB=OC),可考虑构造辅助圆. 例2如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P是 直线AB上的一个动点，AE=2,△APE沿PE翻 折形成△FPE,则FC的最小值为 图1 图2 模型识别：点F在以点E为圆 推广：如图2，点E为定点，点F为线段BC 心，AE为半径的圆上运动 上的动点（不含点B),将△BEF沿EF折 叠得到△B'EF,则点B'的运动轨迹为以点 E为圆心，以线段BE长为半径的一段 类型2定弦对定角(8年2考) 圆孤. 例3如图，已知正方形ABCD的边长为2，E,F 园方法解读 分别是射线BC,CD上的动点，且满足BE= 知识回顾：在同圆或等圆中，同孤或等孤 CF,连接AE,BF,交于点P,则PD的最小值 所对的圆周角都相等.（圆周角定理） 为 构造思路：若线段AB的长度及其所对的 ∠ACB的大小不变，则，点C的运动轨迹是 模型识别：∠APB=90°，点P轨 迹是以AB为直径的圆。 以AB为弦的圆. (1)如图1，当∠C<90°时，点C在优孤 ACB上运动（不与，点A,B重合） 结论：∠AOB=2∠C 例4如图，△ABC为等边三角形，AB=2,P为 (2)如图2，当∠C=90°时，点C在AB上 △ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP,则 运动（不与点A,B重合） △APC面积的最大值是 结论：弦AB为⊙O的直径. 模型识别：∠APC=120°，画出点P 的运动轨迹 (3)如图3，当∠C>90°时，点C在劣孤AB 上运动（不与点A,B重合） 结论：7∠A0B+∠C=180 图1 图2 图3 28 类型3四点共圆 园方法解读 例5如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OE上 情形1： BD,交AD于点E,连接BE.若∠ABE=20°，则∠AOE的度 知识回顾：圆内接四边形对角 数是 互补 A.10° B.15° C.20° D.30° 构造思路：如图，若∠ACB+ 模型识别：判断哪四点共圆，画出隐形圆 E ∠ADB=180°，则A,B,C,D四 点共圆 例6如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=3.点D 在CA的延长线上，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接 情形2： EF,则EF的最小值为 知识回顾：同孤所对的圆周角 模型识别：判断娜四点共圆，画出隐 相等 形圆。 构造思路：如图，若∠ACB= ∠ADB,则A,B,C,D四点 共圆 类型4定角定中线(8年1考) 例7（2019陕西25题改编)如图，有一座古井0，按规定，要 以井O为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四 边形的景区ABCD.根据实际情况，要求顶点A是定点，点 园方法解读 A到井0的距离为40√3m,∠BAD=120°，那么，能否建一 问题：如图，在△ABC中， ∠BAC=a(定角)，AM为BC边 个满足要求的面积最大的平行四边形景区ABCD？若能， 上的中线，且AM=n(定中线)： 求出满足要求的平行四边形ABCD的最大面积；若不能， 请说明理由.（井O的占地面积忽略不计） 0 构造思路：延长AM至，点A', 使得AM=A'M(倍长中线)，连 接A'C,易得△ABM≌△A'CM, 则∠BAM=∠A',AA'=2AM= 2n(定弦)，∠BAC=∠BAM+ ∠MAC=a,∠ACA'=180°- ∠MAC-∠A'=180°-a(定 角)，利用定弦对定角即可解 决问题. 归纳：定角定中线→倍长中线 →定弦对定角→解决问题！ 29 类型5定角定高 园方法解读 例8如图，在△ABC中，∠ABC=120°，BD⊥AC于点D.若 问题：如图，在△ABC中，∠BAC BD=5,则AC的最小值为 ,△ABC面积的最小值 =a(定角)，AD是BC边上的 为 高，且AD=h(定高). 变式为了迎接春节的到来，西安城墙举办了“喜迎新春” B D C 结论：当△ABC是等腰三角形 大型灯光秀表演.如图，一个镭射灯A到城墙BC的距离 (AB=AC)时，BC的长最小， 为30米，镭射灯发出的两道彩色光线之间的夹角∠BAC △ABC的面积最小，△ABC的 为60°，若将两道光线(AB,AC)和光线与城墙的两交点的周长最小 连线(BC)看作一个三角形，记为△ABC,试判断△ABC的 证明：如图，作△ABC的外接 周长有没有最小值？若有，求出最小值：若没有，说明理由， 圆⊙0，连接0A,0B,OC,过点 0作OH L BC于点H.设⊙O 的半径为r,则∠BOH=∠BAC =0, ∴.BC=2BH=2OB·sina= 2r·sina,OH=OB·cosa= r·C0S0. :OA+OH≥AD(当且仅当A, O,H三点共线时，等号成 立)，∴.r+rcosa≥h,即r≥ h ,当取等号时r有最 1+cosa 小值， 2h·sina .BC=2r·sina≥ 1+cosa 当取等号时BC有最小值， 5BC·AD=h·r· h2·sin sina≥ ,当取等号时 1+cosa SAMc有最小值，.CAMc= BC+AB+AC≥2r·sina+ 2√h+(rsina)2,当取等号时 C△Bc有最小值， D 30 类型6最大张角(8年1考) 园方法解读 例9【提出问题】 问题：如图，已知A,B是∠MON 如图1，直线l是足球场底线，AB是球门.点P是射门点， 的边ON上的两个定点，C是 连接PA,PB,则∠APB叫作射门角.如图2，在足球比赛 边OM上的动点，则当点C在 上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门AB进攻，当甲带 何处时，∠ACB最大. M 球冲到点Q时，乙跟随冲到点P,仅从射门角度大小考虑 (射门角度越大，足球越容易被踢进)，甲是自己射门好， 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？利用所学知识说明 B 理由. 结论：当且仅当△ABC的外接 圆与边OM相切于点C时， ∠ACB最大. 证明：如图，设C是边OM上 B 不同于点C的任意一点，连接 图1 图2 图3 AC,BC',BC交△ABC的外接 【问题解决】 圆⊙P于点D,连接AD.由圆 (1)解：如解图，记AP与过AB两点的圆的交点为C,连接 周角定理可知∠ACB= ∠ADB.由三角形的内外角关 BC,AQ,BQ. 系可知∠ADB>∠AC'B, ∴.∠ACB>∠ACB, ∴.当⊙P与边OM相切时， ∠ACB最大 ·AB=AB '∠ACB=∠APB+∠PBC, .∠AQB>∠APB, 射门好 【理解应用】 (2)如图3，在正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上， AB为球门，球员丙带球沿CD方向进攻，最好的射点在 A.点C B.点D或点E C.线段DE(异于端点)上一点 D.线段CD(异于端，点)上一点 31 类型7点圆最值问题(8年1考) 已知平面内一定点A和⊙0，P是⊙0上一动点，设⊙0的半径为r,OA=d,求A,P两点之间 距离的最值 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 D 图形背景 0 D A(P)--0 最小值 当点P在OA的延长线上 当，点P与点A重合时，AP取 当点P在OA上（即点P (即点P处)时，AP取得最 得最小值0 处)时，AP取得最小值d-T 小值r-d P 10 最大值 当点P在AO的延长线上 当点P在AO的延长线上 当点P在A0的延长线上 (即点P,处)时，AP取得最 时，AP取得最大值2r (即点P,处)时，AP取得 大值r+d 最大值d+r 例10如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2√3，BC=3.P为△ABC内一点，且满足PA2+ PC2=AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是 () 33 A.3 B.33 C. 4 例11如图，正方形ABCD的边长为4，P是以AB为直径的半圆O上一点，则CP的最小值 为 32 类型8线圆最值问题(8年2考) 已知⊙0与直线l,M是⊙0上一动点.若⊙0的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.求点 M到直线l距离的最值. 直线1与⊙0相离 直线1与⊙0相切 直线1与⊙0相交 图形背景 0. 0 M 0. M P场，点1 0, 0 0. M M 6 P(M) M M' 过点0作直线1的垂线，交 连接OP,当点M与，点P重 当，点M为直线1与⊙O的 最小值 ⊙O于点M,当，点M运动 合时，点M到直线l的距离 交点（点M1,M)时，点M 到点M1的位置时，点M到 取得最小值0 到直线1的距离取得最小 直线1的距离取得最小值 值0 d-r 过点O作直线1的垂线，其 过点O作直线1的垂线， 最大值 连接OP,其反向延长线交 反向延长线交⊙0于点M, 其反向延长线交⊙0于，点 ⊙O于点M,当点M运动 M2,当，点M运动到点M2 当点M运动到，点M,的位置 到点M,的位置时，点M到 的位置时，点M到直线1 时，点M到直线I的距离取 直线1的距离取得最大值2 的距离取得最大值r+d 得最大值d+r 例12如图，⊙0的半径是5，点A在⊙0上.P是⊙0所在平面内一点，且AP=2,过点P作 直线l,使I⊥PA. (1)点0到直线l距离的最大值为 (2)若直线1与⊙O相交，且交点为M,N,则当线段MW的长度最大时，OP的长 为 33 //I1/III巩固练习III/II// 1.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P在矩形ABCD的内部，连接PA,PB,PC.若 ∠PBC=∠PAB,则PC的最小值是 D 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=√5，D为平面内一点，且∠BDA=∠C,过点B 作BE⊥BD,与DA的延长线相交于点E,则△BDE面积的最大值为 3.如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道OB上由点O出发沿OB方向行走.已知 ∠AOB=30°，MN=2OM=40m,当观景视角∠MPW的度数最大时，游客P行走的距离OP 是 m. D B 第3题图 第4题图 4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将 △AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是 5.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ACD=30°，AD=2,E是AC的中点，连接 DE,则线段DE长度的最小值为 B B D 第5题图 第6题图 6.原创如图，工人师傅现要在一张足够大的板材上裁剪出一个形状为△ABC的部件，已知 △ABC的部件要满足∠BAC=60°，BC边上的中线AD=15cm,且边AB与边AC之和要最 大，则AB+AC的最大值为 cm. 7.如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为√3，P为AB上一动点，过点P作⊙C的 切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 34