小专题培优9几何图形中的面积问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

小专题培优9几何图形中的面积问题 /iuiU典例精讲u/ 类型1等分面积问题(8年2考) 园方法解读 例1如图，在△ABC中，∠BAC是钝角.请用尺规作图法，求情形1：过三角形顶点作直线 作线段AP,使AP平分△ABC的面积，点P在边BC上. 将三角形的面积平分 三角形的三条中线分别将三 (保留作图痕迹，不写作法) 角形的面积平分 情形2：过三角形边上一点 (非顶点)作直线将三角形的 面积平分 问题：过△ABC的边BC上 例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,点D为 定点D作一条直线将△ABC 边AC上一点且AD=2,过点D作线段DE交△ABC的一 的面积平分 边于点E,使得△ABC被DE分成面积相等的两部分，求 DE的长 作法1：如图1，过BC的中点 E作AD的平行线，交AC于 点F,则直线DF即为所求（在 证明的过程中需连接AD,AE) 图1 图2 作法2：如图2，过，点B作AD 的平行线，交CA的延长线于 例3如图，刘老伯有一块筝形OACB的养鸡场，在平面直角 点E,取CE的中点F,则直线 DF即为所求.（在证明的过 坐标系中，0(0,0)，A(4,0),B(0,4),C(6,6).若在边AC 程中需连接AD,DE) 上存在一点P,过B,P两点修一面笔直的墙（墙的宽度不 情形3：过不规则四边形顶点 计)，这面墙将养鸡场分成面积相等的两部分，求直线BP 作直线平分四边形面积 的表达式 问题：在BC上找一点M,使 2 得AM平分四边形ABCD的 面积 D 作法：连接AC,过，点D作AC 的平行线，交BC的延长线于 点E,取BE的中点M,则直线 AM即为所求.（在证明的过 程中需连接AE) 24 例4(2020陕西14题3分)如图，在菱形ABCD中，AB=6, 情形4：利用图形的中心对称 ∠B=60°，点E在边AD上，且AE=2.若直线1经过点E, 性平分图形面积 将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F,则线 （1)过中心对称图形的对称 段EF的长为 中心的直线将这个图形分成 D 面积相等的两部分； (2)由两个中心对称图形组 合成的图形，连接两个对称 B 例5如图，在一块平行四边形空地中有一个矩形乒乓球场， 中心的直线可以平分组合图 现在物业公司要对除乒乓球场之外的不规则空地进行绿 形的面积 化，要求以一条直线为分界线把这块不规则空地分成面积 相等的两块，一块用来种花，一块用来铺草坪，请画出面积 的等分线1.（作图并保留痕迹，不写作法） 类型2利用割补法求不规则图形的面积(8年3考) 园方法解读 例6如图，在一块直角三角形绿地ABC上开辟一块四边形 在遇到不能直接求出面积的 花圃CDFE,AC=CB=10米，四边形花圃CDFE的最长边CD= 不规则图形时，可以结合已 知条件，利用割补的方法将 8米，且CE⊥AB,DF⊥CB,则△BDF的面积是 平 不规则图形的面积巧妙地转 方米，四边形花圃CDFE的面积是 平方米。 化为几个规则图形的面积的 和或差进行计算 例7如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8厘米，BC=6厘 米.分别以AC,BC为边作正方形AEDC,BCFG,连接DF, EF,EB,BF,则△BEF的面积是 平方厘米，六边 形AEDFGB的面积是 平方厘米 25 类型3利用二次函数的性质解决面积最值问题(8年2考) 园方法解读 例8（人教九上P52T6改编）一块三角形材料如图所示，∠A= (1)对于规则的几何图形 30°，∠C=90°，AB=20,用这块材料剪出一个矩形CDEF,其 (如三角形、平行四边形 中点D,E,F分别在BC,AB,AC上.设AE=x. 等)，可依据几何图形的面 (1)求AF的长（用含x的代数式表示）； 积公式直接建立函数关 (2)要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？ 系式； (2)对于不规则的几何图 形，则要用割补法，将不规 则的几何图形转化成规则 的几何图形，通过几何图 形的面积和（或面积差） 建立函数关系式.要注意 确定自变量的取值范围， 保证自变量和函数满足实 际意义 变式如图，在△ABC中，BC=10,SABc=50,矩形DEFG的顶 点D,E分别在边AB,AC上，顶点F,G在边BC上，若设DG= x,求当x取何值时，矩形DEFG的面积最大？ 26 ////11111AI巩固练习II/II/// 1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,延长BA至点E,使AE=AB,以AE为边向右侧作正 方形AEFG,O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分 别交EF,BC于点M,N,则线段MN的长为 D E 0 G 第1题图 第2题图 2.如图，在一块五边形余料ABCDE中，AB=AE=6,BC=5,∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E> 90°.若在这块余料上截取一块矩形材料AMFV(点F在CD上)，其中一条边在AE上.设 AM=x,矩形AMFN的面积为y,则y关于x的函数表达式为 ,当AM= 时，矩形AMFN的面积最大，最大面积为 3.原创问题探究 在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们 称这条直线为这个图形的“好线” (1)如图1，四边形ABCD是平行四边形，请画出这个平行四边形的一条“好线”； (2)如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD,垂足为F,交BC于点E. 已知AB=3,BC=8,CD=5,求证：直线EF为四边形ABCD的“好线” 图1 图2 图3 备用图 问题解决 (3)西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处，在某地的街 心花园中有一块如图3所示的五边形空地ABCDE,其中∠A=∠B=∠C=90°，AE=3,AB= 7,BC=6,CD=3.现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在 的直线既平分五边形ABCDE的周长，又平分五边形ABCDE的面积，且要求这条水渠必 须经过BC边上一点N,则BN的长度为 273.3√5【解析】如解图，取AB的中 点H,连接DH,CH.AB=BD,H 是AB的中点，E是BD的中点， ∴.AH=BH=BE=DE=3.又.·AB=BD,∠ABE=∠DBH. ∴.△ABE≌△DBH(SAS),.AE=DH,.AE+CD=DH+ CD,∴.当D,H,C三点共线时，DH+CD有最小值，即AE+ CD的最小值为CH的长..·CH=√AC+A=√36+9= 3√5，∴.AE+CD的最小值为3√5 4.8 5.3【解析】如解图，分别作点D关于BC,AC的对称点 D',D”,分别交BC,AC于点E,F,连接D'D"分别交BC,AC 于点P,Q,则DQ=DQ,DP=D'P,.△DPQ的周长为 PQ+DQ+DP=PQ+D"Q+D'P,∴.D'D"的长即为△DPQ周 长的最小值.△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=60° .·∠BED=∠AFD=90°，∴.∠1=∠2=90°-60°=30°， ∴.∠D'DD”=180°-∠1-∠2=120°..D为AB的中点， 六M0=分B=-14P=40=子，F=0·m0= 2 .DD=2DF=√3.同理，DD'=√3，DD”=DD',.∠D'= ∠D"=30°，.DD'=2DD·cos30°=3，.△DPQ周长的 最小值为3. D 2 B E D' CG 第5题解图 第6题解图 6.5√2【解析】如解图，在BC上取点G,使CG=1,连接 4G,MG.BC=9,CM=3,÷ CG MC 1 CM BC 3 .又：∠MCG= MG CG 1 LBCM.△MCG∽△BCM...BMC3MG=3BM. AM+亏BM=AM+MG≥AG.在Rt△ACG中，AG= VAC+CC=VT+T=5EAM+3BM≥52，即当M 在AG上时，AM+了BM的最小值为5万. 7.4【解析】如解图，作点B关于直线CD的对称点E,连 接AE并延长，交CD于点F,连接CE,PE.由轴对称的性 质可知PB=PE,BC=CE,∠PCE=∠BCD=15°，∴.IPA PBI=IPA-PEI≤AE,即当P,E,A三点共线，且点P在 AE上时，IPA-PBI取得最大值，最大值为AE的长 :△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,∴.∠ACB=90° CE=BC=AC=4,.∠ACE=∠ACB-(∠BCD+∠PCE)= 26 60°，.△ACE是等边三角形，.AE=AC=4,即1PA-PB1 的最大值为4 小专题培优9几何图形中的面积问题 例1解：如解图，线段AP即为所求」 、 例2解：如解图，连接BD,取AC的中点A, F,作FEBD交BC于点E,DE即为所D 求.连接BF,DE交于点O. AF=FC,SArB=S△BrC BD∥EF,∴.S△Be=S△Be, .SADFO=S△B0E, .S△RCD=S四边形BED, .DE平分△ABC的面积 .AC=8.AD=2...AF=CF=4...DF=2. EF//BDCDCB' CF CE 66cB=4, 4CE .DB=√CD+CE=√6+4=2√3. 例3如解图，连接AB,过点O作OF∥AB,交CA的延长线 于点F,连接BF,交OA于点G. OFAB,.S△Br=S△AoF, .S△0Bc+S△oer=S△Are+S△oGr, S△oBc=S△AGS回边形0AB=S△BCr 取CF的中点P,作直线BP,直线 BP即为所求， A(4,0),B(0,4),C(6,6), ∴.线段AB所在直线的表达式为y=-x+4, 线段AC所在直线的表达式为y=3x-12, .直线OF的表达式为y=-x, 联立解得= (y=3x-12, =3,F(3,-3) （y=-3. :点P是CF的中点，P2,2), 93 设直线BP的表达式为y=mx+4, 39 2=2n+4,5.m=-9, 六直线BP的表达式为)=- 9+4 例42√万【解析】如解图，过点A 和点E分别作AG⊥BC,EH⊥BC 于点G和点H,.四边形AGHE 为矩形，.EH=AG,GH=AE=2. 在菱形ABCD中，AB=6,∠B= B GFHC 60°，.BG=3,AG=EH=3√5，.HC=BC-BG-GH=6-3 2=1.EF平分菱形的面积，.EF经过菱形对角线的交 点，FC=AE=2,FH=FC-HC=2-1=1.在Rt△EFH 中，根据勾股定理，得EF=√E+FⅢ=2万. 例5解：所求的面积等分线1如解图. 例62；23【解析】AC=BC=10米，∠ACB=90°，.∠A= ∠B=45°，∴.AE=AC·co0s45°=5√2（米）..·CD=8米， DFLBC.BD=-F=2米△BDF的面积为7X2x2= 2(平方米)..CE⊥AB,∠A=45°，∴.EC=AE=52米 :△4CE的面积为×5万x5万=25（平方米，四边 形花周c0FE的面积为号×10x10-25-2=23(平方米)， 例766：148【解析】易知△DCF≌△ACB(SAS),DF= AB,∠CDF=∠CAB.:四边形AEDC为正方形，DE= AE,∠EDC=∠EAC,.∴∠EDF=∠EAB.在△EDF和△EAB (DE=AE, 中 ∠EDF=∠EAB,·.△EDF≌△EAB,.EF=EB DF=AB. AC=8厘米，BC=6厘米，.正方形AEDC的对角线长 为√⑧2+8=82（厘米），正方形BCFG的对角线长为 √6+6=62（厘米），.△BEF中BF边上的高为82+ 2=112(厘米).BF=62厘米，心△BEF的面积 分×6x1万=6（平方里米），六边形AFDFGR的面积 为8+6+x6x8 +2×6×8=148(平方厘米). 例8解：(1)四边形CDEF为矩形，.∠EFA=90°. 在Rt△EFA中，∠A=30°，AE=x, 六AF=AE·0os30= 2 (2)在Rt△ABC中，.·∠A=30°，AB=20 ÷AC=AB·os30=105CF=AC-4F=105-5 1 EF=AE·in309=2AB=2 六Seer=EF.C= 2t·(1063 2)、3 (x-10)2+ 25√5. 4 <0,∴.当x=10时，矩形CDEF的面积最大， 即要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应为AB的 中点. 【变式】解：如解图，过点A作AN⊥BC于点N,交DE于 点M. .·四边形DEFG为矩形，.DE∥BC DE AM 、△ADE∽△ABC,BCAN ABC的面积为)BC·AW=50,BC= ∴.AN=10. .·DG=x,∴.MN=x,AM=10-x, DE 10-x 六10=10DE=10-x, ·.矩形DEFG的面积为DE·DG= (10-x)·x=-(x-5)2+25. G N ·-1<0,.当x=5时，矩形DEFG的面积最大 1.45【解析】如解图，连接AC, E BD交于点H,过点O和点H的 直线MW平分该组合图形的面 积，且交AD于点S,取AE的中 D 点P,取AB的中点Q,连接OP, Q HQ,过点0作0T⊥QH于点T,B 四边形ABCD是矩形，.AH=HC.又Q是AB的中 点0h=之BC=4,0H/BC,4A0=B0=2,同理可得P0= G=2,PO/AC,EP=AP-2..PO//AD//BC//EF//QH. 21 EP=AP=AQ=BQ,.∴.MO=OS=SH=HN,∠OPQ=∠PQH =90°..0T⊥QH,.四边形P0T0是矩形..P0=QT= 2,0T=PQ=4,.TH=2,.0M=√0T+Tr=√/16+4= 25.MN=20H=45. 2.y=-x2+11x;5.5:30.25 3.(1)解：如解图1，连接AC,BD交于点O,作过点0的任 意直线1即为所求作. 解图1 解图2 (2)证明：如解图2，连接AE,DE,设BE=x,则EC=8-x, EF垂直平分AD,AE=DE,AF=DF, .SAAEF=S△DEF, .·∠B=∠C=90°，AB=3,BC=8,CD=5. 在Rt△ABE和Rt△ECD中，由勾股定理得AB+BE2= AE=DE2=EC2+CD, .32+x2=(8-x)2+52,解得x=5, 27 .∴.BE=5,CE=3,∴.AB+BE=CE+DC .AF+AB+BE=DF+EC+DC,即直线EF平分四边形 ABCD的周长 (AB=EC. 在△ABE和△ECD中 ∠B=∠C. BE=CD, .△ABE≌△ECD(SAS),.S△HBe=S△CD, 'S四边形ABEr=S△BE+S△HEP,S四助形DCEr=S△DEF+S△DCE, S四边形BEr=S四边形CBP, 即直线EF平分四边形ABCD的面积， 直线EF为四边形ABCD的“好线” A M C B 解图3 解图4 (3)6【解法提示】如解图3，延长AE,CD相交于点F, ∠A=∠B=∠C=90°，.四边形ABCF是矩形，.∠F= 90°，AF=BC=6,CF=AB=7,.EF=3,DF=4,.DE=5. ∴.五边形ABCDE的周长为AE+AB+BC+CD+DE=24,五 边形ABCDE的面积为SEcr-SAOrE=6x7-2X3×4= 1 36,.五边形ABCDE的周长的一半为12，面积的一半为 18.设BN=x,当过点N的直线与AB相交于点M时，如 解图4，则BW=2-5an=BN·BM=子·(12- 1 x)=18,解得x=6,.BN=6. 小专题培优10隐形圆（辅助圆） 及与圆有关的最值问题 例11O0【解析小：AB=AC=AD,.B,C,D三点都在以点 A为圆心，AB长为半径的圆上.∠CBD=20°，∠BDC= 30°，∴.∠CAD=2∠CBD=40°，∠BAC=2∠BDC=60°， ∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=100° 例22W√13-2【解析】如解图，连接CE.:P是直线AB上 的一个动点，EF=AE=2,·点F在以点E为圆心，AE长 为半径的圆上运动.四边形ABCD为矩形，.CD=AB =4,AD=BC=8,∴.DE=AD-AE=6.在Rt△CDE中，由勾 股定理得CE=√DE+CD=2√3，当E,F,C三点共线时， FC取得最小值为CE-EF=2√13-2. 例3√5-1【解析】在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC= AB=BC. ∠BCD.在△ABE和△BCF中，了∠ABE=∠BCF,.∴.△ABE≌ BE=CF. △BCF(SAS),∴.∠BAE=∠CBF..·∠CBF+∠ABF= 28 90°，.∠BAE+∠ABF=90°，.∠APB=90°，点P在以 AB为直径的圆上，如解图，当O,P,D三点共线时，PD有最 小值..：AB=AD=2,.A0=OP=1.在Rt△OAD中，OD= √A0+AD=√5，.PD的最小值为0D-0P=√5-1. F D B 例3题解图 例4题解图 例43 3 【解析】：△ABC为等边三角形，.∠BAC=60°， AC=AB=2..·∠PAB=∠ACP,∠PAC+∠PAB=60°，. ∠PAC+∠ACP=60°，∠APC=120°，∴点P的运动轨 迹是劣弧AC,如解图，过点P作PD上AC于点D,当O, P,B三点共线时，直线OB与AC的交点为D,此时PD的 长度最大，印△PC的面积最大.PA=PC,A机=号1C 1,∠PAC=∠AP=30,PD=AD·ta30°=5 3 AC面积的最大值为宁4C.Pm=2x号号 33 例5C【解析】四边形ABCD是矩形，∴.∠BAE=90° OE⊥BD,.∠BOE=90°，.四边形ABOE对角互补， ∴.A,B,0,E四点共圆，∴.∠AOE=∠ABE=20°. 例633 【解析】如解图，连 4 接BD,取BD的中点O,连 H 接OE,OF.∠BAC= 120°，AB=AC,.∠ABC= B F G ∠C=30°..DE⊥AB,DF⊥BC,OB=OD=OE=OF= )BDB,D,E,F四点共圆，∠E0F=2∠EBF=60 六△OEF是等边三角形，EF=0F=2BD.:∠C= ∠EBF=30°，AB=3,过点A作AG⊥BC于点G,则BG= 34R-33 2,·BC=2BG=33.当BD L CD时，BD的值 外卸m:宁：誓小值为子心-9 4 例7解：能.如解图，连接AC :井O为□ABCD的对称中心， 且0A=40W3,∠BAD=120°， .AC=805,∠ADC=60°， B 作△ADC的外接圆⊙R,则点 D在优弧ADC上，取ADC的 中点D',连接D'A,D'C, 则D'A=D'C,且∠AD'C=60°.