小专题培优7 “十”字模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

小专题培优7 “十”字模型 /IU典例精讲/I/ 类型 过顶点 不过顶点 【拓展】若在三角形中出 D A EM 现“十”字，可以先构造特 D 正方形 常见 H 殊四边形，如： 中的 模型 G “十” B E B 字模型 △ABE≌△BCF, △EFM≌△HGW, △DAN≌△CDM, 结论 AE=BF EF=GH EF=GH N K D 矩形中 常见 的“十” 模型 V-- B B 字模型 B 结论 △ABWA△DAM △EFM∽△KHN △ABN∽△DAM 从而得到△BCD∽△CAG 例1如图，在正方形ABCD中，点F,G分别在边BC,CD上，且AF⊥BG于点P.求证：AF=BG 变式如图，正方形ABCD的边长为5，E,F,G分别为CD,AB,BC边上的点.若DE=1, BF=2,EF⊥AG,则AG的长为 0 E 例2如图，在矩形ABCD中，E,F分别是CD,AD上的点，且BF⊥AE于点M.求证：AB·DE= AE·AM. 17 变式如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,AD上，且 EG⊥HF于点P.若EG·HF=48,则HF的长为 H B /I/IIU巩固练习III/// 1.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上的点，且AE⊥BF于点P,G为AD的中 点，连接GP,过点P作PH⊥GP交AB于点H,连接GH. (1)求证：BE=CF; (2)若AB=6,BE=3BC,求GH的长. 2.(1)如图1，四边形ABCD为正方形，E,F分别为边CD,AD上的点，BF⊥AE,那么BF与 AE相等吗？为什么？ (2)如图2，在Rt△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E,BE 的延长线交AC于点F,则AF:FC的值为 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E,BE的延长线 交AC于点F.若AB=3,BC=4,则CF的长为 图1 图3 183.2【解析】如解图，延长CB到点 H,使BH=DF=1,连接AH.四 边形ABCD内接于⊙O,.∠ABC+ ∠ADC=18O°..·∠ABH+∠ABC= H 180°，∴.∠ABH=∠ADF.在△ABH AB=AD. 和△ADF中. ∠ABH=∠ADF BH=DF, ∴.△ABH≌△ADF(SAS),.∴.AH=AF,∠BAH=∠DAF .∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD=120°，∴.∠BAD=60° ∠EAF=30°，∴.∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30°， .∠EAH=∠BAE+∠BAH=30°.在△AHE和△AFE中， (AH=AF. ∠EAH=∠EAF,∴.△AHE≌△AFE(SAS),∴.HE=EF=3. AE=AE .BE=HE-BH=3-1=2. 4.解：(1)DM+BN=MW (2)BN-DM=MN.理由如下： 如解图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B 重合，得到△ABE, ∴.DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE= 90°，∴.点E在BC上. ·四边形ABCD是正方形 .∠BAD=∠BAE+∠EAD=90° ·.∠DAM+∠EAD=∠EAM=90°. .:∠MAN=45°，∴.∠EAN=∠MAN=45. ,'AN=AN,∴.△EAN≌△MAN(SAS), .EN=MN,∴.BN-BE=MN, ·.BN-DM=MN. M BE C E B 解图1 解图2 (3)DM+BN=MN.理由如下： 如解图2，将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B 重合，得到△ABE, .DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE .:∠BAD=120°，∠MMAN=60°. .∠DAM+∠BAN=120°-60°=60°， ·∠BAE+∠BAN=∠EAN=60°， .∠EAN=∠MAW .·∠ABC+∠D=180° .∠ABE+∠ABC=∠D+∠ABC=180°， .E,B,N三点共线 AN=AN, ∴.△EAN≌△MAN(SAS), .EN=MN,∴.EB+BN=MN, .∴.DM+BN=MN. 小专题培优7“十”字模型 例1证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABF=∠C=90°，AB=BC .·AF⊥BG,∴.∠APB=90°， ∴.∠BAF=∠CBG=90°-∠ABG. I∠BAF=∠CBG, 在△ABF和△BCG中 AB=BC. N∠ABF=∠C, .△ABF≌△BCG(ASA),∴.AF=BG. 【变式】√29 例2证明：.四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠D=90°，.∠BAE+∠EAD=90°. .·BF⊥AE,.∠AMB=90°，∴.∠BAE+∠ABM=90°， ..∠EAD=∠ABM. 又.·∠D=∠AMB=90° △40Ea侣 ∴.AB·DE=AE·AM. 【变式】26【解析】如解A D 图，过点E作EM⊥CD于点 M,交F于点J,过点H作E M HN⊥BC于点N,交EM于点B N F I,则∠EMC=∠INB=90°..·四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD∥BC.,:∠B=∠C= ∠EMC=90°，·.四边形EBCM是矩形，.EM=BC=8. EMBC,.EM∥AD.∠A=∠B=∠HNB=90°，.四边 形ABNH是矩形，.HN=AB=4,∠AIW=90°，.∠HI= ∠AHIN=90°.EG⊥HF于点P,.∠EPJ=90°， ∴.∠NIF=∠MEG=90°-∠EJH.又.：∠HNF=∠EMG= HF HN 4 1 90,△F△EMG.E8mS=2EG= 2HF..EG·HF=48,.∴.2HF·HF=48,∴.HF=2W6 1.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， .∠ABE=∠C=90°，AB=BC .AE⊥BF,∠ABE=90°， ∴.∠EAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠FBC=90°， ∴.∠EAB=∠FBC. 在△ABE和△BCF中， I∠EAB=∠FBC, 〈AB=BC. I∠ABE=∠C, .△ABE≌△BCF(ASA),.BE=CF (2)解：∠EAB=∠FBC,∴∠GAE=∠PBH. .PH⊥GP,∴.∠GPH=90° .∠APB=90°，∴.∠GPA+∠APH=∠APH+∠HPB, ∠GPA=∠HPB,.△CPA△HPB,HBBD GA AP ian∠EAB=EBBP =BpAB=BC,E=了BC, 23 BP 1 GA 六D3心B3 ·G为AD的中点，AD=AB=6,∴.AG=3, ∴.HB=1,.AH=5,.GH=√AG+A㎡=√34 2.解：(1)BF与AE相等.理由如下： .·四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠D=90°. ∴∠BAE+∠DAE=90°. .'BF⊥AE,∴.∠BAE+∠ABF=90°， ∴.∠ABF=∠DAE,∴.△ABF≌△DAE(ASA),∴.BF=AE. 22(39 小专题培优8线段最值问题 例1(3,0)【解析】根据题意，当A,P,B三点共线时， PA+PB的值最小，则点P为直线AB与x轴的交点.将 4(-3,4)代人y=m,得m=-3×4=-12,则反比例函数的 解折试为y=是将B以6代入y=,得a=长 =-2 6 则B(6,-2).将A(-3,4),B(6,-2)分别代入y=+b, 得{3+64解得 3’.一次函数的解析式为y= (6k+b=-2, b=2, +2令y=0,得x=3,则点P的坐标为(3,0). 2 例225 例312【解析】如解图，连接AP,AH..:AB=AC=13, △ABC的周长为36，BC=36-2×13=10.H是BC的 中点B阳=号BC=5:△ABC是等服三角形，M上 BC,.AH=√AB-B=√32-5=12.：MN是线段 AB的垂直平分线，.点B关于直线MN的对称点为点 A,.AP=PB,∴.PB+PH=AP+PH≥AH,∴.AH的长为PB+ PH的最小值，.PB+PH的最小值为12. A D B 例3题解图 例4题解图 例4√码【解析】如解图，过点P作PH⊥BC于点H. Sam=8CPH=6,BC=8H=子过点P作直 线l∥BC,作点B关于直线I的对称点B.:∠ABC= 90°，点B'在AB上，且BB'=2PH=3,PB'=PB,.IDP- BPI=IDP-PB'I.连接DB并延长，交直线I于点P',则 当点P与点P'重合时，IDP-BPI的值最大，最大值为线 段DB的长.过点D作DK⊥BA的延长线于点K 24 ∠DAB=120°，4D=6,∠DAK=60°，AK=2AD=3, DK=AD=35AB=4.BB=3.AB=1..RK- 2 AB'+AK=4,.DB=√B'K+D=√4+(33)2=√3， ∴.IDP-BPI的最大值为√J43. 例5解：如解图，分别作点P关于BC,AC的对称点E,D, 连接PE,PD,分别交BC,AC于点G,H,连接DE,交AC 于点M,交BC于点N,此时△PMN的周长最小，且 ∠PHM=∠PGN=90°. .∴∠DPE=360°-∠PM-∠PGN-∠C=140°， ∴.∠D+∠E=180°-∠DPE=40°. .·PM=DM.NP=NE, .∠MPD=∠D,∠NPE=∠E, .∴.∠MPD+∠NPE=∠D+∠E=40°， ∠MPN=∠DPE-(∠MPD+∠NPE)=140°- 40°=100°. D.H M GB 例5题解图 变式题解图 【变式】5【解析】如解图，分别作点M关于CA,CB的 对称点P,Q,连接PQ,分别交CA,CB于点E,F,连接 CP,CQ,MP,MQ,此时，△MEF的周长有最小值，且为 PQ的长.：点M关于CA的对称点为P,.ME=PE, CM=CP,∠PCA=∠MCA.:点M关于CB的对称点为 Q,∴.MF=QF,CM=CQ,∠QCB=∠MCB,∴.CP=CQ=CM= 5,∠PCQ=∠PCE+∠MCE+∠QCF+∠MCF=2∠ACB= 60°，△PCQ是等边三角形，.PQ=CP=CQ=5, 即△MEF的周长的最小值为5. 例624【解析】如解图，作点G关于CD的对称点G',作 点B关于AD的对称点B',连接B'G',B'E,FG',则BE= B'E.FG=FG',..BE+EF+FG+BG=B'E+EF+FG'+BG. :B'E+EF+FG'≥B'G',.当B'E+EF+FG=B'G'时，四边 形BEFG的周长取得最小值，最小值为BG+B'G'.BG -CG-CG4.AP-AR-8..B-AR+AP-1. BG'=BC+CG'=12,..B'G'BG+BB'=20,..BG+ B'G'=24,即四边形BEFG周长的最小值为24. B'