小专题培优6 半角模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

小专题培优6半角模型 112111B838188典例精讲U 模型特点 由一组共端点的等线段和共顶，点的半角组成 (1)“半角模型，必旋转”，根据旋转的性质及等量代换得到相等的线段和角： 解题策略 (2)运用正方形的性质及全等三角形的判定证明三角形全等 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 等边三角形含半角(DB=DC (∠EAF=45) (∠DAE=45°) ∠BDC=120°，∠EDF=60) 模型分析 D △AFE≌△AGE, △DAE≌△DAF △EDF≌△GDF, 结论 EF=BE+DF BD2+CE2=DE2 BD2+BE2=DE2.EF=BE+CF 例 多解法如图，四边形ABCD是正方形，E,F分别是边BC,CD上的点，连接AE,AF,EF, ∠EAF=45°.试判断BE,EF,DF之间的数量关系，并说明理由. 解法一：延长CD到点G,使得DG=BE,连接AG.通过构造全等三角形，利用半 角模型求解。 解法二：将△ABE绕点A逆时针旋转90°，使得AB与AD边重合，得到△ADE 利用旋转的性质和半角模型求解 15 ////I巩固练习1 1111/ 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点E,F在AB边上，∠ECF=45°.若AE=10,EF= 15,则BF的长为 B M 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8,AB=AC,∠CBD=30°，点 M,N分别在BD,CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD,∠BCD=120°，E,F分别为BC,CD上一点，∠EAF= 30°.若EF=3,DF=1,则BE的长为 4.【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题.若 四边形ABCD是正方形，点M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角 模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法 E B N B C 图1 图2 图3 【初步尝试】(1)如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE, 连接MN.用等式写出线段DM,BN,MN的数量关系： 【类比探究】(2)小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M,N分别在正方形ABCD 的边CD,BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关 系，并说明理由； 【拓展延伸】(3)其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD= 120°，∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN, DM,MW的数量关系，并说明理由. 16DF=6.过点E作EP⊥BC于点P,·∠BDE=45°，∴EP= EP gDB32.∠B=60BE孕 sin60 =2√6 2.3【解析】如解图，作PQ⊥AB 于点Q,PR⊥BC于点R.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB+BC=5.:∠PQB=MBE ∠QBR=∠BRP=90°，∴.四边 形PQBR是矩形，PR=BQ PQ∥BC,∠QPR=90°=∠MPN,.∠QPE=∠RPF △0Ps△F…0- =2,.PQ=2PR=2BQ. .PQ∥BC,..AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5,设PQ= 4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,∴.AB=BQ+AQ=2x+3x 5x,..AP=AB=3. 3.(1)①CD+CB=√2CA ②将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADM (2)证明：①如解图，延长CD至点 M,使DM=BC,连接AM. ·四边形ABCD为对角互补四边形， B .∠B+∠ADC=180°. .·∠ADC+∠ADM=180° ∴.∠B=∠ADM. .·AB=AD,.△ABC≌△ADM(SAS), ∴.AC=AM,∠BAC=∠DAM,∠ACB=∠M. .∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°， ∴.∠CAM=∠CAD+∠DAM=60°. 又：AC=AM,.△ACM是等边三角形，.∠ACM=∠M. ·∠ACB=∠M,.∠ACB=∠ACM,即CA平分∠BCD ②由(1)知△ACM是等边三角形，∴.CA=CM. BC=DM...CM=CD+DM=CD+CB. ∴.CA=CB+CD. 小专题培优6半角模型 例解：结论：EF=DF+BE 理由：解法一：如解图1，延长CD到点G,使得DG=BE, 连接AG. :四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=90°，∠B=∠ADG, .△ABE≌△ADG(SAS),∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG .·∠EAF=45°，∴.∠BAE+∠DAF=45°， .∠DAG+∠DAF=45°，.∠EAF=∠GAF .·AF=AF,.△AFE≌△AFG(SAS), ∴.EF=FG=DF+DG=DF+BE 1G E E E 解图1 解图2 22 解法二：如解图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，使 AB与AD边重合，得到△ADE', ∴.AE=AE',BE=DE',∠BAE=∠DAE',∠ABE=∠ADE'= 90°. .∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴.∠BAE+∠DAF=45° ∠BAE=∠DAE',.∠FAE'=∠DAF+∠DAE'=45°， ∴.∠FAE'=∠FAE. .∠ADE'=∠ADF=90°， .∠ADE+∠ADF=180°，∴E',D,F三点共线. 又：AF=AF,AE=AE', .△EAF≌△E'AF(SAS),.EF=E'F E'F=DF+DE'.BE=DE'...EF=DF+BE. 1.55【解析】如解图，将CE绕点C顺时针旋转90°得到 CG,连接GB,GF.∠BCE+∠ECA=∠BCE+∠BCG=90°， tAC=BC, .∠ECA=∠BCG.在△ACE和△BCG中， ∠ACE=LBCG, CE=CG. ∴.△ACE≌△BCG(SAS),.∠A=∠CBG,AE=BG. ∠ACB=90°，CA=CB,∴.∠A=∠ABC=45°，.∠CBG= 45°，∴.∠FBG=∠ABC+∠CBG=90°，.∴.FG2=BG2+BF2= AE+BF2..∠ECF=45°，∴.∠FCG=∠ECG-∠ECF=45°= CE=CG. ∠ECF.在△ECF和△GCF中. ∠ECF=∠GCF,.∴.△ECF≌ CF=CF, AGCF(SAS),..EF=GF,.'.EF=AE+BF.AE=10,EF= 15,.BF=√15-10=5W5. E N 第1题解图 第2题解图 2.45+4【解析】如解图，将△ACV绕点A顺时针旋转 90°得到△ABE.由旋转得∠NAE=90°，AW=AE,EB=CV, ∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN.·∠BAC=∠D=90°， .∠ABD+∠ACD=180°，.∠ABD+∠ABE=180°.又.·点 M在BD上，.E,B,M,D四点共线.·∠MAN=45°，∠BAC= 90°，·.∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM= ∠BAC-∠MAN=45°，·.∠EAM=∠MAN.在△AEM和 AE=AN, △ANM中，∠EAM=∠NAM,.△AEM≌△ANM(SAS), AAM=AM. ∴.MN=ME=EB+BM=CN+BM.在Rt△BCD中，∠BDC= 90°，∠CBD=30°，BC=8,∴.BD=BC·cos∠CBD=4W3, CD= )BC=4,品△DMN的周长为DM+DN+MN=DM DN+BM+CN=BD+DC=43+4. 3.2【解析】如解图，延长CB到点 H,使BH=DF=1,连接AH.四 边形ABCD内接于⊙O,.∠ABC+ ∠ADC=18O°..·∠ABH+∠ABC= H 180°，∴.∠ABH=∠ADF.在△ABH AB=AD. 和△ADF中. ∠ABH=∠ADF BH=DF, ∴.△ABH≌△ADF(SAS),.∴.AH=AF,∠BAH=∠DAF .∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD=120°，∴.∠BAD=60° ∠EAF=30°，∴.∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30°， .∠EAH=∠BAE+∠BAH=30°.在△AHE和△AFE中， (AH=AF. ∠EAH=∠EAF,∴.△AHE≌△AFE(SAS),∴.HE=EF=3. AE=AE .BE=HE-BH=3-1=2. 4.解：(1)DM+BN=MW (2)BN-DM=MN.理由如下： 如解图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B 重合，得到△ABE, ∴.DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE= 90°，∴.点E在BC上. ·四边形ABCD是正方形 .∠BAD=∠BAE+∠EAD=90° ·.∠DAM+∠EAD=∠EAM=90°. .:∠MAN=45°，∴.∠EAN=∠MAN=45. ,'AN=AN,∴.△EAN≌△MAN(SAS), .EN=MN,∴.BN-BE=MN, ·.BN-DM=MN. M BE C E B 解图1 解图2 (3)DM+BN=MN.理由如下： 如解图2，将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B 重合，得到△ABE, .DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE .:∠BAD=120°，∠MMAN=60°. .∠DAM+∠BAN=120°-60°=60°， ·∠BAE+∠BAN=∠EAN=60°， .∠EAN=∠MAW .·∠ABC+∠D=180° .∠ABE+∠ABC=∠D+∠ABC=180°， .E,B,N三点共线 AN=AN, ∴.△EAN≌△MAN(SAS), .EN=MN,∴.EB+BN=MN, .∴.DM+BN=MN. 小专题培优7“十”字模型 例1证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABF=∠C=90°，AB=BC .·AF⊥BG,∴.∠APB=90°， ∴.∠BAF=∠CBG=90°-∠ABG. I∠BAF=∠CBG, 在△ABF和△BCG中 AB=BC. N∠ABF=∠C, .△ABF≌△BCG(ASA),∴.AF=BG. 【变式】√29 例2证明：.四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠D=90°，.∠BAE+∠EAD=90°. .·BF⊥AE,.∠AMB=90°，∴.∠BAE+∠ABM=90°， ..∠EAD=∠ABM. 又.·∠D=∠AMB=90° △40Ea侣 ∴.AB·DE=AE·AM. 【变式】26【解析】如解A D 图，过点E作EM⊥CD于点 M,交F于点J,过点H作E M HN⊥BC于点N,交EM于点B N F I,则∠EMC=∠INB=90°..·四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD∥BC.,:∠B=∠C= ∠EMC=90°，·.四边形EBCM是矩形，.EM=BC=8. EMBC,.EM∥AD.∠A=∠B=∠HNB=90°，.四边 形ABNH是矩形，.HN=AB=4,∠AIW=90°，.∠HI= ∠AHIN=90°.EG⊥HF于点P,.∠EPJ=90°， ∴.∠NIF=∠MEG=90°-∠EJH.又.：∠HNF=∠EMG= HF HN 4 1 90,△F△EMG.E8mS=2EG= 2HF..EG·HF=48,.∴.2HF·HF=48,∴.HF=2W6 1.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， .∠ABE=∠C=90°，AB=BC .AE⊥BF,∠ABE=90°， ∴.∠EAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠FBC=90°， ∴.∠EAB=∠FBC. 在△ABE和△BCF中， I∠EAB=∠FBC, 〈AB=BC. I∠ABE=∠C, .△ABE≌△BCF(ASA),.BE=CF (2)解：∠EAB=∠FBC,∴∠GAE=∠PBH. .PH⊥GP,∴.∠GPH=90° .∠APB=90°，∴.∠GPA+∠APH=∠APH+∠HPB, ∠GPA=∠HPB,.△CPA△HPB,HBBD GA AP ian∠EAB=EBBP =BpAB=BC,E=了BC, 23