小专题培优5 对角互补模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

到CF,连接BF,DF,则△CDF为等边三角形..∠BCA+ ∠ACF=∠DCF+∠ACF,.∠BCF=∠ACD.在△BCF和 (BC=AC, △ACD中，{∠BCF=∠ACD,∴.△BCF≌△ACD(SAS), CF=CD. ∠BFC=∠ADC=30°，BF=AD=12.∠CFD=60°， ∴.∠BFD=90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得DF= √BD2-BF=9,∴.CD=9. 例2√2【解析】如解图，连接BD, BF.在正方形ABCD中，∠ABD= 45°，BD=√2AB,在正方形BEFG 中，∠GBF=45°，BF=√2BG ∴.∠ABG=∠DBF=45°-∠DBG AB-BG-,△BDF△BMG, BD BF 例3证明：.：AB=BC,AP=PD,∠APD=∠ABC, 六∠RC=∠PD△MBC△Am-8 ∠BAP+∠PAC=∠CAD+∠PAC,.∠BAP=∠CAD .△BAP∽△CAD,.∠ABC=∠ACD. 1.22.4 3.证明：.AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=60°， .△ABC和△DEC均为等边三角形， ∴.∠BCA=∠ECD,∴.∠BCE+∠ECA=∠ECA+∠ACD .·.∠BCE=∠ACD. (BC=AC. 在△BCE和△ACD中 ∠BCE=∠ACD. CE=CD, ∴.△BCE≌△ACD(SAS),.BE=AD, .∴.AE+AD=AE+BE=AB=AC,即AC=AE+AD 4.解：如解图，连接BD,设∠BAB'=α. AB=AB'∠AB'B=90°-) ∠B'AD=90°-Q,AD=AB',.∠AB'D=45+ 2 ..∠EB'D=180°-∠AB'D-∠AB'B=45 .·DE⊥EB' .∠EDB'=∠EB'D=45°， .△DEB'是等腰直角三角形， DB' 0E2 :四边形ABCD是正方形 ,mc-4580 :CD =√2 .·∠EDB'=∠BDC,∴.∠EDB'-∠B'DC=∠BDC-∠B'DC 即∠B'DB=∠EDC, BB'BD- △B'DB△EDC,.CECD 小专题培优5对角互补模型 例1(1)证明：如解图，过点P作PF⊥OB于点F .·OP平分∠BOA,PE⊥OA,PF⊥OB ∴.∠OEP=∠PFB=90°，PE=PF. 在Rt△APE和Rt△BPF中， ∫AP=BP, PE=PF. ∴.Rt△APE≌Rt△BPF(HL),∴.∠1=∠PBO. ∠PB0+∠2=180°，.∠1+∠2=180°. (2)解：OP平分∠BOA,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90°，PE=PF .OP=OP,∴.Rt△EOP≌Rt△FOP(HL), .∴.OE=OF,∴.OA+OB=OE-AE+OF+BF. 由(1)得Rt△APE≌Rt△BPF, .AE=BF,..0A+OB=OE+OF=20E 例2弩【解标】解法一：如解图1，过点E分别作BM1 BC于点M,EN⊥CD于点N.四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°，四边形EMCW是矩形，.EM=CW .EF⊥BE∴.∠EBM+∠EFC=360°-∠BCD-∠BEF= 180°.又：∠EFC+∠EFN=180°，.∠EFN=∠EBM.又 ∠EF=LBB,△ENO△EMB5-品C EF ENEN EN⊥CD,AD⊥CD,.EN∥AD,.△CNE∽△CDA, EN AD 5 EF 5 CNCD3“EB3 解图1 解图2 解法二：如解图2，连接BF,取BF的中点O,连接OE, OC.:四边形ABCD是矩形，EF⊥BE,.∠BEF= ∠BCF=90°，∴.OE=OB=OF=OC,∴.B,C,F,E四点共圆， 六LBF=∠ECF=LACD.tan∠FBF=un LACD. ER= AD 5 CD 3 1.26【解析】如解图，连接AD,过 点D分别作DG⊥AB于点G,DHL AC于点H.,△ABC为等边三角 形，.∠BAC=60.∠EDF=120°， ∴.∠EAF+∠EDF=180°，∴.∠AED+ ∠AFD=180°.·LAED+∠DEG=BP D 180°，.∠DEG=∠DFH.:D为BC边的中点，.AD平 分∠BAC,.DG=DH.在△DEG和△DFH中， 1∠DEG=∠DFH, ∠EGD=∠FHD,.△DEG≌△DFH(AAS),∴.DE= DG=DH. 21 DF=6.过点E作EP⊥BC于点P,·∠BDE=45°，∴EP= EP gDB32.∠B=60BE孕 sin60 =2√6 2.3【解析】如解图，作PQ⊥AB 于点Q,PR⊥BC于点R.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB+BC=5.:∠PQB=MBE ∠QBR=∠BRP=90°，∴.四边 形PQBR是矩形，PR=BQ PQ∥BC,∠QPR=90°=∠MPN,.∠QPE=∠RPF △0Ps△F…0- =2,.PQ=2PR=2BQ. .PQ∥BC,..AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5,设PQ= 4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,∴.AB=BQ+AQ=2x+3x 5x,..AP=AB=3. 3.(1)①CD+CB=√2CA ②将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADM (2)证明：①如解图，延长CD至点 M,使DM=BC,连接AM. ·四边形ABCD为对角互补四边形， B .∠B+∠ADC=180°. .·∠ADC+∠ADM=180° ∴.∠B=∠ADM. .·AB=AD,.△ABC≌△ADM(SAS), ∴.AC=AM,∠BAC=∠DAM,∠ACB=∠M. .∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°， ∴.∠CAM=∠CAD+∠DAM=60°. 又：AC=AM,.△ACM是等边三角形，.∠ACM=∠M. ·∠ACB=∠M,.∠ACB=∠ACM,即CA平分∠BCD ②由(1)知△ACM是等边三角形，∴.CA=CM. BC=DM...CM=CD+DM=CD+CB. ∴.CA=CB+CD. 小专题培优6半角模型 例解：结论：EF=DF+BE 理由：解法一：如解图1，延长CD到点G,使得DG=BE, 连接AG. :四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=90°，∠B=∠ADG, .△ABE≌△ADG(SAS),∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG .·∠EAF=45°，∴.∠BAE+∠DAF=45°， .∠DAG+∠DAF=45°，.∠EAF=∠GAF .·AF=AF,.△AFE≌△AFG(SAS), ∴.EF=FG=DF+DG=DF+BE 1G E E E 解图1 解图2 22 解法二：如解图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，使 AB与AD边重合，得到△ADE', ∴.AE=AE',BE=DE',∠BAE=∠DAE',∠ABE=∠ADE'= 90°. .∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴.∠BAE+∠DAF=45° ∠BAE=∠DAE',.∠FAE'=∠DAF+∠DAE'=45°， ∴.∠FAE'=∠FAE. .∠ADE'=∠ADF=90°， .∠ADE+∠ADF=180°，∴E',D,F三点共线. 又：AF=AF,AE=AE', .△EAF≌△E'AF(SAS),.EF=E'F E'F=DF+DE'.BE=DE'...EF=DF+BE. 1.55【解析】如解图，将CE绕点C顺时针旋转90°得到 CG,连接GB,GF.∠BCE+∠ECA=∠BCE+∠BCG=90°， tAC=BC, .∠ECA=∠BCG.在△ACE和△BCG中， ∠ACE=LBCG, CE=CG. ∴.△ACE≌△BCG(SAS),.∠A=∠CBG,AE=BG. ∠ACB=90°，CA=CB,∴.∠A=∠ABC=45°，.∠CBG= 45°，∴.∠FBG=∠ABC+∠CBG=90°，.∴.FG2=BG2+BF2= AE+BF2..∠ECF=45°，∴.∠FCG=∠ECG-∠ECF=45°= CE=CG. ∠ECF.在△ECF和△GCF中. ∠ECF=∠GCF,.∴.△ECF≌ CF=CF, AGCF(SAS),..EF=GF,.'.EF=AE+BF.AE=10,EF= 15,.BF=√15-10=5W5. E N 第1题解图 第2题解图 2.45+4【解析】如解图，将△ACV绕点A顺时针旋转 90°得到△ABE.由旋转得∠NAE=90°，AW=AE,EB=CV, ∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN.·∠BAC=∠D=90°， .∠ABD+∠ACD=180°，.∠ABD+∠ABE=180°.又.·点 M在BD上，.E,B,M,D四点共线.·∠MAN=45°，∠BAC= 90°，·.∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM= ∠BAC-∠MAN=45°，·.∠EAM=∠MAN.在△AEM和 AE=AN, △ANM中，∠EAM=∠NAM,.△AEM≌△ANM(SAS), AAM=AM. ∴.MN=ME=EB+BM=CN+BM.在Rt△BCD中，∠BDC= 90°，∠CBD=30°，BC=8,∴.BD=BC·cos∠CBD=4W3, CD= )BC=4,品△DMN的周长为DM+DN+MN=DM DN+BM+CN=BD+DC=43+4.小专题培优5对角互补模型 7/iiiu典例精讲i// 模型特点 在四边形中，存在一对对角互补 方法1：作垂线 方法2：作等角 解题策略 过，点C分别作OA,OB的垂线，垂足分别 在BE上找一点F,连接CF,使∠ECF= 为G,H LDCO 常见模型 D D八 O HE B 0 E (1)△CGD∽△CHE; (1)△CDO∽△CEF; 结论 (2)当CD=CE时，△CGD≌△CHE (2)当CD=CE时，△CDO≌△CEF 例1如图，OP平分∠BOA,PE⊥OA于点E,若BP=AP. (1)求证：∠1+∠2=180°； (2)求OA+OB与OE之间的数量关系. 例2多解法如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点E在对角线AC上，连接BE,作EF⊥ BE,垂足为E,EF交DC于点F,则 F EB 13 IIII巩固练习IIII/II//I 1.如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且∠EDF= 120°.若∠BDE=45°，DF=6,则BE的长为 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4.在Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC 上，PM交AB于点E,PN交BC于点F.当PE=2PF时，AP的长为 3.四边形ABCD若满足两组对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，则我们称该四边 形为“对角互补四边形”. (1)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD.求证：CA平 分∠BCD. 小东同学是这么做的：延长CD至点M,使DM=BC,连接AM,可证明△ABC≌△ADM,得 到△ACM是等腰直角三角形，由此证出CA平分∠BCD. ①还可以知道CB,CD,CA的数量关系为 ②请描述△ABC如何旋转得到△ADM: (2)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD,请你仿照小东 的做法，求证：①CA平分∠BCD:②CA=CB+CD. 图 图2 14