第7章 第31节 图形的对称(含折叠)、平移、旋转-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第三十一节 图形的对称（含折叠）、平移、旋转 阶教材知识全梳理 知识点①图形的对称（重点） 1.轴对称图形和中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 图示 B (1)找对称中心： (1)找对称轴： (2)图形绕对称中心旋转① 判断 (2)图形沿对称轴折叠： (3)旋转前、后的图形完全重合 方法 (3)对称轴两边的图形完全重合 【技巧点拨】经过对称中心的任意一条直线平分该图 形的周长和面积 2. 轴对称和中心对称 轴对称 中心对称 M 图示 (1)成中心对称的两个图形是全等图形： (1)成轴对称的两个图形是全等图形： (2)对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心 性质 (2)对应点所连线段互相② ④ 且都被对称轴③ (3)对应线段平行（或在同一条直线上）且相等 【技巧点拔】确定对称中心的方法： 方法一：连接一组对应点，所连线段的中点即为对称中心； 方法二：把两组对应点分别连接，两条线段的交点就是对称中心 【特别提醒】(1)轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形，对称轴不一定只有一条：轴对称是指两个全等 图形之间的位置关系，对称轴只有一条： (2)中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形，中心对称是指两个全等图形之间的位置关系 115 知识点2)图形的折叠 举例 性质 已知 结论 折叠的本质是轴对称，折痕所 △ABE与△FBE关于直线⑤ 对称 在的直线就是对称轴 △ABE≌⑧ 如图，将图形沿BE所 AB=⑨ 折叠前后的图形⑥ ,对在直线折叠，点4的 ∠EAB=O 应边、对应角、对应线段、周长、对应点为F ∠ABE=① 面积均⑦ ∠AEB=② 即EB平分∠B 和上④ EB垂直平分AF, 折叠前后对应点的连线被折痕 即AF⑤ BE, 垂直平分 AC16 FG 【技巧点拨】解决轴对称（含折叠）问题的基本思路： (1)关注“全等”一明确对应线段、对应角之间的相等关系： (2)关注“对称轴”一基于“垂直平分线”与“角平分线”挖掘隐含信息； (3)关注“原图形”一将所得结论与原图形的性质相结合展开充分联想 知识点③图形的平移 1.平移的要素：平移⑦ 和平移⑧ 2. 平移的性质 举例 性质 已知 结论 △ABC≌9 平移前、后的图形全等，对应线段 A'B'=②0 相等，对应角相等 如图，将△ABC沿指 ∠ABC=@ 定方向平移2cm得到 △A'B'C AB/②2 平移前、后的对应线段平行（或在 AC//2 同一条直线上) BC/②4 B 对应点的连线平行（或在同一条 AA'/6 /@ AA'= 直线上)，且都等于 8 =29 =30 cm 116 知识点④图形的旋转 1.旋转的要素：旋转① 、旋转2 和旋转3 2。旋转的性质 举例 性质 已知 结论 旋转前、后的图形全等，对应线段 如图，将△ABC绕点O △ABC≌36 34 ,对应角5 逆时针旋转60°得到 A'B'=③⑦ △A'B'C ∠ABC=38 A'O=40 对应点到旋转中心的距离 B'O=① 9 C'0=4② 对应点与旋转中心所连线段的夹 ∠AOA'=∠4④ =∠4⑤ 角都等于④3 46 【技巧点拨】确定旋转中心的方法：找到两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点 就是旋转中心 知识点⑤网格中的变换作图 (1)根据题意，找出作图要素：对称轴、对称中心、平移方向、平移距离、旋转中心、旋转方向、旋转 作图 角：(2)找出原图形的关键点；(3)将关键点按要求进行变换，得到每个关键点的对应点；(4)按原 步骤 图形，依次连接得到的各关键点的对应点，得到变换后的图形 阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1图形的对称(8年2考) 3.(2021陕西2题3分)下列图形中，是轴对称 1.下列图形中，是轴对称图形的是 图形的是 是中心对称图形的是 既是轴 对称图形又是中心对称图形的是 (填序号) B 考点2图形的折叠 等腰等边 平行 4.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°， 三角形三角形 四边形 矩形 AB=2,BC=√13，沿过点A的直线将纸片折 ① ② ③ ④ 叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸 片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点 为E,则AE的长是 菱形正方形正五边形正六边形 圆 B ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 2.（2023陕西2题3分)下列图形中，既是轴对 称图形，又是中心对称图形的是 &平g 4 C. 13 5 D. 6 2 117 5.(2025河南)如图，在菱形ABCD中，∠B=考点5网格中的变换作图(8年1考) 45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将8.(2022陕西19题5分)如图，△ABC的顶点坐 △ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上 标分别为A(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).将 的点F处，则CF的长为 △ABC平移后得到△A'B'C',且点A的对应点 是A'(2,3),点B,C的对应点分别是B',C B A.2B.6-32C.22 D.6W2-6 B 考点3图形的平移(8年1考) 13 6.（北师八下P169T25改编) 如图，△ABC是边长为2的 等边三角形，将△ABC沿直 B 线BC平移到△DCE的位置，连接AE,AD. (1)点A,A'之间的距离是 (1)下列说法中正确的是 .(填序号) (2)请在图中画出△A'B'C' ①AC∥DE,AD=BC=CE; 9.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的 ②∠ABC=∠DCE; 边长都是1个单位长度，△ABC和△A,B,C1 ③平移距离为线段BE的长； 的顶点均在格点上，且△ABC≌△A,B,C1 ④平移的方向是点A到点D的方向. (2)∠ADE的度数为 (3)判断四边形ACED的形状： (4)线段CD与AE的位置关系是： OB 数量关系是： (5)△ABC在平移过程中，AB边扫过的面积 为 (6)AE的长为 (1)对△ABC分别作下列变换： 考点4图形的旋转(8年1考) ①画出△ABC关于直线a对称的△AB2C2 7.如图，在Rt△ABC中， ②画出△AB3C3,使△AB,C3和△ABC关于 ∠ACB=90°，∠A=30°， 点0成中心对称 AB=6.将△ABC绕点C (2)△AB,C3与△A,B,C2是否关于某条直线 顺时针旋转得到△EDC,B 成轴对称？若是，请在图中画出这条直线； 点B的对应点D刚好落 (3)写出一种将△A,B,C,经过轴对称、平移或 在AB边上，DE交AC于点F. 旋转变换得到△A,B,C,的过程. (1)∠B= °，BC的长为 (2)旋转中心为 ,CD的长为 旋转角等于 °，∠CDE= (3)∠CFE= o,EF的长为 变式在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， AB=6.将△ABC绕点C顺时针旋转得到 △EDC,P是DE的中点，连接AP,则线段AP 的最大值为 最小值为 118 重难点图形变化的综合探究 10.在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3. (1)如图1，将Rt△ACB沿CA方向平移，得到Rt△DEF,连接BF.若CE=1,则四边形ABFD的面 积为 D 图1 (2)若G,H分别是边AC,AB上的点，将△AGH沿GH折叠. ①如图2，若折叠后点A与点C重合，求GH的长； 图2 ②如图3，若折叠后点A与点B重合，求GH的长 G 图3 (3)如图4，若P=了4C,4Q=,∠P40=LCB,连接P0,将△P0绕点A旋转，连接OB. PC.求QB的最大值 图4 温馨提示请完成分层练习册P71~P72习题 119.∠BAC=∠EFA.由(1)知，∠AEF=∠ABE, ·△AEF∽△CBA,CBC AE AF ∴.AE·AC=AF·BC. (3)证明：如解图，连接OA·AD⊥BC于点E, ∴.AE=ED,∴.CA=CD. .∠D=∠CAD. .∠DAG=2∠D B ∴.∠CAG=∠CAD=∠D, .·0C=0A, ∴.∠OCA=∠OAC .∠CEA=90°，∴.∠CAE+∠ACE=90°， .∴.∠CAG+∠OAC=90°，.∴.OA⊥AG, OA是⊙0的半径，AG与⊙0相切. (4)解：.BC为⊙0的直径，∴.∠BAC=90° ∠R8-0RAc5号 ·CE=3,.BE=7,.BC=7+3=10, ∴.0C=0A=5,∴.0E=0C-CE=5-3=2 在Rt△0EA中，AE=√OA-OE=√2I. .·∠OAE+∠GAE=90°，∠OAE+∠A0E=90°， ∴.∠AOE=∠GAE. 又：∠AEG=∠OEA,∴.△AEG∽△OEA. gEG.即2IG OE EA 2√2T EG=21 6G-0B=到3-5 第二十八节与圆有关的计算 ①2mr②10③mr④ 180 60 ⑤VF-T⑥SA0贴 ⑦S解形coD 1(1)m:3m(215智 (3)12(4)120° 2.(1)82;120(2)27m3.D4.25.C 第六章易错题专练 1.30°或150°【变式】1或72.55°或125 【变式1】30°或150°【变式2】40°或140 3.D【变式1】0≤d≤6【变式2】R=4.8或6<R≤8 4.D【变式】D 第七章图形的变化 第二十九节尺规作图 ①A②线段a的长③0④0'⑤0C的长⑥C ⑦CD的长⑧0⑨大于2MN的长①LA0B的内部 ①A2BB大于之4B的长中点5P 6大于)D的长@PK的长⑧大于E的长 1.解：作法一： 8 作法二： 作法三： 2.解：(1)如解图1，点P即为所求 B 0 解图1 解图2 (2)如解图2，等腰直角三角形ABC即为所求.（答案不 唯一) (3)如解图3，点P即为所求 解图3 解图4 (4)如解图4，射线CP即为所求.（作法不唯一） (5)如解图5，点P即为所求 B B 解图5 解图6 (6)如解图6，点P即为所求.（作法不唯一） 第三十节视图与投影 ①实线②虚线 1.B2.C3.D4.D5.C6.A7.A8.B 9.C【变式】C10.C11.D12.B 第三十一节图形的对称（含折叠)、平移、旋转 ①180②平行（或在同一条直线上）③垂直平分 ④平分⑤BE⑥全等⑦相等⑧△FBE⑨FB O∠EFB①∠FBE2∠FEB AEF④ABF5⊥ G=⑦方向B距离9△A'B'C'②四AB④∠A'B'C ②A'B②A'C'④B'C'5平移距离函6BB'⑦CC' 四BB'②四CC'02团中心②方向8角④相等 5相等0△A'B'C'⑦ABLA'B'C'9相等④A0 ①B042C0⑧旋转角④BOB'5COC'660 1.①②④⑤6⑦⑧⑨：③④⑤6⑧⑨：④⑤6⑧⑨ 2.C3.B4.C5.D 6.(1)①②④(2)120°(3)菱形(4)垂直；4E=√5CD (5)23(6)25 7.(1)603(2)点C;3;60,60(3)90:2 9 【变式】3w3+3:3w3-3 8.(1)4(2)略. 9.解：(1)①如解图，△A,B,C,即为所求： ②如解图，△AB,C3即为所求 (2)如解图，△A,B,C,与△A,B,C,关于直线1成轴对称 (3)先作△A,B,C,关于直线a对称的△ABC,再将△ABC 向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度即可得 到△A,B,C1.(答案不唯一) O B 10.解：(1)3 (2)①由折叠的性质可得，AG=CG,∠AGH=∠CGH=90°， AG-AC.GH/BC, 六△1o△4082径0m=C-号 Γ2 ②在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB=√AC+BC=5 由折叠的性质，可得A们=BM=分B=子，∠4G ∠BHG=90°，∴.∠AHG=∠ACB. 又：∠A=∠A,.△AHGn△ACB, 5 C4即4 BC AC 34Gm=15 8 (3):AB=5,A0=4 2 将△APQ绕点A旋转， 点Q的运动轨迹是以点A为圆心 AQ长为半径的圆，如解图， .当Q,A,B三点共线，且点A在点Q 和点B之间时，QB最大，此时QB=AQ+ A宁QB的最大值为 2 第七章易错题专练 1.B【变式】A2.D【变式JB3.D 4.(1,-3)或(-1，√3) 第八章统计与概率 第三十二节统计 ①全体对象②一部分对象③最中间位置的数 ④中间两个数据的平均数⑤最多⑥大⑦不稳定 ⑧小⑨稳定0ax+m①a2s22a2s2B个数 ④比值⑤16百分比⑦1⑧百分比四360° 0变化趋势12频率 1.D 2.九年级1500名学生的视力情况：每名学生的视力情况： 被抽取的300名学生的视力情况：300 3.5:5.5:6:6.2 4.(1)84(2)50:80 (3)估计本次竞赛的获奖人数为120. 5.(1)B (2)这30户家庭去年7月份的总用水量为255m3. (3)估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年 7月份的总用水量节约850m3. 6.(1)50:28 (2)本次被抽取到的学生成绩的平均数为10.66分. (3)估计该校学生中成绩在11分及以上的人数为852. 7.(1)7:7.5:7 (2)B人工智能产品的语言交互能力更强.理由如下： 因为B产品的平均数和中位数均大于A产品的平均数 和中位数，所以B人工智能产品的语言交互能力更强。 (3)该公司应该选择使用A人工智能产品. 8.(1)50:16%:144 补全条形统计图略 (2)估计该社区500名老年人中感觉身体不适时，选择 独自去医院就诊的人数为160. (3)①自己在家里服用备用药的老年人有20人，占被调 查总人数的40%：②独自去医院就诊的老年人人数是请 人帮忙购药的老年人人数的2倍.（答案不唯一） 第三十三节概率 ①会②1③不会④0⑤相等6m⑦稳定⑧p 1甲2.①6：⑤：②8④3 4.(1)3 (2)两人迷到的绳了怡好是同一根的概率为了 5.(1)5 4 (2)这两个小组研究方向不同的概率为 6.(1)5 (2)所选两个纸箱里西瓜的质量之和为15kg的概率为 5 70 ,(2)两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为分 第八章易错题专练 1.B2.B 3.(1)红；黑；白(2)4 (3)①4②3③不放回 (4)P(摸出的两个球颜色相同)=8 3 (5)6 (6)这个游戏规则公平.理由略. 9