第4章 第20节 相似三角形(含位似)-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第二十节 相似三角形（含位似) 一阶教材知识全梳理 知识点①比例的性质及成比例线段 1.比例的性质 性质 举例 (1)若9=C(bd≠0)，则ad=bx; b d 基本性质 若3x=5y,则=② 5 （2)若ad=c(a,6c,d都不为0)，则号=① 等比性质 b+d+…+n 若”-c=2 n b 合比性质 若分d0),则- db-d 若”2 2。山2= 2.成比例线段 对于四条线段a6c,d如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如片合（即 ad=bc),我们就说这四条线段成比例. 3.黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段4C和BC,且ACBC,那么就说线段AB被点C黄金分制，点C叫作线 AB AC 长短√5-1 段4B的黄金分割点，4C与4B的此叫作黄金比，即C5,-0.618简i记全天子) AB 2 B 4.平行线分线段成比例 文字语言 符号语言 图形语言 两条直线被一组平行 基本 如图，马儿，%，则B-DE BCEF' D 线所截，所得的对应 B E 事实 线段成比例 AB_DEBC-⑤ F AC DF'AC 平行于三角形一边的 直线截其他两边（或 推论 如图，DE/BC,则A0_4EAD DB EC'AB 两边的延长线)，所得 ⑥ 的对应线段成比例 69 知识点2)相似三角形的性质与判定（重点） (1)相似三角形的对应角⑦ ,对应边⑧ 性质 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于⑨ (3)相似三角形的周长比等于⑩ 面积比等于① 文字语言 符号语言 图形语言 平行于三角形一边的直 线和其他两边相交，所构 DE//BC, 成的三角形与原三角形 .△ADE∽△ABC AX刘 相似 三边对应② 的 AB BC AC 判定 A'B'B'C A'C 两个三角形相似 .△ABC∽△A'B'C 两边对应成比例且 AB BC B 相等的两个 A'BBC,∠B=∠B, 三角形相似 ∴.△ABC△A'B'C 两角对应④ 的 ∠A=∠A',∠B=∠B', 两个三角形相似 .∴.△ABC△A'B'C 【特别提醒】相似三角形的分类讨论：①当对应顶点不确定时，需要分类讨论：②当两个相似三角形没有 用“一”连接时，需分类讨论。 【技巧点拨】相似三角形的判定思路： (1)有平行截线→用平行线的性质找等角； (2)有一对等角找另一对等角， 该角的两边对应成比例： (3)有两边成比例我 (夹角相等， (第三边也对应成比例； 「斜边和一条直角边对应成比例， (4)有两个直角三角形找 对锐角相等， 两组直角边对应成比例」 知识点③位似 图形 如果一个图形上的点A,B,…,P,…和另一个图形上的点A',B',…,P',…分别对应，并且它 定义 们的流线4从，服一，p…经过时一点0，=一郑么这商个性 OA'OB' 形叫作位似图形，点0是⑤ 70 续表 (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质； (2)对应点的连线所在直线都经过同一点； (3)对应边互相平行或在同一条直线上： (4)位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于⑥ 性质 (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，使它与原 图形的相似比为k,那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为⑦ (注意：有两种情况) 【特别提醒】位似必相似，相似不一定位似 (1)确定位似中心： 作图步骤 (2)确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； (3)顺次连接各点画出新图形 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1比例的性质及成比例线段(8年2考) 1.（人教九下P29探究改编)如图，AB∥CD∥EF,直线1，L,与这三条平行线分别交于点A,C,E和点 B,D,F.已知AC=3,CE=6,BF=6,则BD的长为 A B E M入六 第1题图 变式题图 变式下面是小明画线段AB的三等分点的步骤（如图）：①以A为端点画一条射线；②用圆规在射 线上依次截取3条等长线段AC,CD,DE,连接BE;③过点C,D分别作BE的平行线，交线段AB于 点M,N.M,N就是线段AB的三等分点， 这个过程体现的数学依据是 A.两直线平行，同位角相等 B.两条平行线之间的距离处处相等 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2.(2022陕西11题3分)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种 “优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框 ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为2米，则线段 BE的长为 米 D E C 71 考点2相似三角形的性质与判定（除2020年外每年必考） 3.[A字型]（人教九下P31T2改编）如图，在△ABC中，点D为AB上一 重难点与相似三角形有 点，DEBC交AC于点E.若AD=3,AE=2,BD=6,则△ADE∽ 关的模型 AE AE AC= ,△ADE与△ABC的周 模型1A字型 EC AC (1)正A字型 若DE∥BC,则△ADE 长比为 S△ADE- S AABC △ABC. D B4 (2)斜A字型 B 若∠1=∠2，则△ADE 4.[A字型]如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB,垂 △ABC 足为D.求证：△ABC∽△EBD. 2 B C C(D 【解题策略】 (1)隐藏条件：公共角 相等； (2)找平行线或另一组等 角或公共角的两边对应成 比例. 【模型拓展】射影定理 若∠1=∠2=90°，则△ABC ∽△ACE∽△CBE. E 变式如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高线.若AD=4,CD= B C(D 更多结论： 2,则BD的长为 ①CE=AE·BE; ②BC2=BE·BA; ③AC2=AE·AB; ④AC·BC=AB·CE. D 模型28字型 5.[8字型](2023陕西6题3分)如图，DE是△ABC的中位线，点F在 若∠1=∠2，则△ADE∽ DB上，DF=2BF,连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若 △ABC. (1)正8字型(X型) BC=6,则线段CM的长为 () E1/D B (2)反8字型（蝶型） D、 13 15 A. 2 B.7 C. D.8 B 72 6.[8字型]如图，在△ABC中，射线CD交AB于点D,E是射线CD上一 【解题策略】 点，且∠AEC=∠ABC,连接BE. (1)隐藏条件：对顶角 (1)求证：△ACD∽△EBD; 相等； (2)若CD平分∠ACB,求证：AE2=DE·CE. (2)找平行线或另一组 等角或对顶角的两边对 应成比例； (3)当题目中未标明相 B 似三角形对应顶点时， 需要分类讨论 ©【链接】一线三等角模 型、旋转（手拉手）模型、 对角互补模型等更多与 7.[一线三等角型](2025陕西7题3分)如图，正方形ABCD的边长为4， 相似三角形有关的模型 点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则△CEF的面积为() 见重难题型册P8~14, 17~18. A.10 B.8 C.5 D.4 E B E 第7题图 第8题图 8.易错如图，在正方形ABCD中，AB=2,E为BC中点，两个动点M和N 分别在边CD和AD上运动，且MN=1.若△ABE与以D,M,N为顶点的 三角形相似，则DM的长为 考点3位似 9.(人教九下P50T2改编)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,6),B(-9,-3),以原点0为位 似中心，相似比为了，把△AB0缩小，则点A的对应点A的坐标是 () A(-3,6)y B(-9,-3) A.(-1,2) B.(-9,18) C.(-9,18)或(9，-18)》 D.(-1,2)或(1，-2) 新教材素材新北师七上阅读·欣赏一生活中的截面 10.3D打印技术是将打印线材加热熔化后，按照设定程序进行有序凝固，常被用于制作模型.小博 利用3D打印机制作出来的各种模型的横截面中，一定相似的是 () A.两个等腰三角形 B.两个矩形 C.两个五边形 D.两个正八边形 温馨提示请完成分层练习册P44~P46习题 731.略.2.(1)AB=DE(2)∠A=∠D (3)AC=DF和AB=DE(4)AC=DF3~4.略.5.D 6.略.7.∠C0G:∠DOG:△EOG:△FOG 第二十节相似三角形（含位似） ①片②③号④号5部0⑦相等 ⑧成比例⑨相似比O相似比①相似比的平方 ②成比例B夹角④相等⑤位似中心6相似比 ⑦(kx,y)或(-kx,-hy） 1111 12【变式D2(5-1)3△4BC,236:39 4.略.【变式】225.C6.略.7.C &气2义D1nn 第二十一节锐角三角函数与几何测量问题 、1 ,⑤5⑥a2+b=c2⑦909 c 1√3 (1)560:30(2)22(3)771(4)-7 4 ①北偏东30°①南偏东60°②北偏西45°3上方 ④下方5上033.183.15 1.D2.C3.山顶C点处的海拔高度约为1690m 4.信号杆的高AB约为16m. 5.(1)海轮位于点B处时与灯塔P之间的距离为30√2海里 (2)航程AB为(30√3+30)海里 6.楼AB的高度约为17.9米.7.旗杆的高AB是3米. 8.这棵古树的高度AB为18米 9.商业大厦的高MW为80m10.教学楼的高AB约为17m 第四章易错题专练 1.C【变式】C2.C【变式1】105或70°或559 【变式2】这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4 【变式3】这个等腰三角形的底角的度数是65°或25°. 33或号 【变式1】3或4或6 【变式2】经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似. 第五章四边形 第二十二节平行四边形及多边形 ①(n-2)·180°②360°③(n-3)④n(m-3） 2 ⑤n-2)·180 6360 ⑦偶⑧奇⑨同心 ①平行且相等①相等②互补B∠BCD④180° 5∠ADC6平分⑦中心⑧对角线的交点9平行 ②四AD/∥BC①相等②2AD=BC②平行且相等 2④AB=CD5互相平分260B=OD 1.(1)①900°：360°：14②5：3：2③6 (2)①9②140°：40°③是：不是④6 2.144°3.2+24.(1)10(2)60；120 6 (3①152235③7,9(41(52 9W2 【变式】7.26.略.7.3：28.B9.3【变式】5 第二十三节矩形 ①平行且相等②直角③90④相等⑤平分⑥2 ⑦直角⑧90⑨三①相等①AC=BD 1.(1)50:50:80(2)①10：5②28：48③12④24 4 2.5 3.D4.(1)略.(2)S四边ABcp=18. 5(I)①2：△ADc和△AEC:△CDF②等腰3 5 (2)①1：4 ②以点C为圆心，BC长为半径的圆弧：2√41-10 第二十四节菱形 ①相等②相等③∠ADC④垂直平分⑤平分⑥1 ⑦2⑧对角线的交点⑨4①邻边①相等②垂直 BAC⊥BD④垂直平分 115,20242)号4(a)2 55 2.62°3.C 4.略.5.(1)AD=BC.理由略.(2)略.【变式】43 第二十五节正方形 ①平行②相等③直角④90⑤垂直平分⑥平分 ⑦45⑧45⑨40对角线的交点①4②】 B相等 ④直角5相等6直角⑦垂直⑧AC⊥BD9相等 国AG=BD①片② 2 3菱形2④矩形5正方形 1.(1)90:45(2)67.5:22.5(3)①82：42②32：16 ③4V52.B3.略.4.A5.D6.D 7.(1)略.(2)①当AC=5时，四边形BECF是菱形.证明略. ②当AF的长为1时，四边形BECF是正方形. 8壬【变式1】16【变式21写【变式310 第五章易错题专练 1.5,6,7【变式1】5或6或7【变式2】A2.D 【变式1】B【变式2】①③3.D【变式1】B【变式2】C 4.解：如解图1，在□ABCD中，BC=AD=8,BC∥AD,CD= AB,∴.∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC D B B E 解图1 解图2 :AE平分∠BAD,DF平分∠ADC, ∴.∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF ∴.∠BAE=∠AEB,∠DFC=∠CDF, .AB=BE.CF=CD. .·EF=2, ∴.BC=BE+CF-EF=2AB-EF=8,∴.AB=5. 如解图2，在□ABCD中，BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB 同理可得，AB=BE,CF=CD.