第4章 第17节 三角形及其基本性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第十七节 三角形及其基本性质 一阶教材知识全梳理 知识点①三角形的分类及基本性质 1.分类 按边分： 按角分： 三边都不相等的三角形 锐角三角形（三个角都小于90°） 底边和腰不相等的 三角形 ③ 三角形（有一个角是90°）》 三角形 ① 三角形等腰三角形 钝角三角形（有一个角大于④ ② 三角形 2. 稳定性：三角形的稳定性是其特有的性质，只要三角形的三边长度固定，其形状和大小就固定不变.例如： 衣架、钢架桥、自行车的三角支架都是以三角形形状构造的 3.三角形的三边关系及内外角关系 图示 结论 依据 三角形两边之和大于第三边：三角形两边之差小于第 三边 a+b⑤ c;b-a 【技巧点拨】三角形的三边关系常用于：(1)判断三角 ⑥ 形的存在性；(2)求边长的取值范围；(3)求解线段最 值问题 ∠A+∠B+∠ACB= 三角形三个内角的和等于180° ⑦ ∠1=∠A+⑧ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角⑨ 任意一个与它不相邻的 ∠1>∠A,∠1>∠B 内角 若∠A<∠B,则a 在同一个三角形中，大边对① 10 b 4.三角形的面积公式 (1)三角形的面积= 2×底×高.如图1，S=D 6 图1 图2 (2)同底（等底）等高（同高）的三角形面积相等.如图2，若AB∥CD,则h,B h,(平行线间的距离 处处相等)，SaB 60 知识点②三角形中的重要线段（重点） 重要线段 图示 性质 (1)AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=⑤ (2)锐角三角形的高都在三角形⑥ :直角三角形的两条高恰好 是两条⑦ 边，另一条高在三角形⑧ ;钝角三角形的两 高 条高在三角形四 ,另一条高在三角形0 .（三角形的三 条高所在的直线一定交于一点) 【易错警示】在解与三角形的高有关的题目时，若未指明三角形的形状， 也无图示，通常需要分类讨论 BD=CD=① BC;S△D=SAACD=2 中线 【知识拓展】三角形的重心是三角形三条中线的交点，它到三角形顶点的 距离等于它到该顶，点对边中点的距离的2倍 (1)∠BAD=∠CAD=B ∠BAC; (2)三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.三角形的内心到三 角平分线 角形三边的距离④ ,是三角形内切圆的圆心 【对比学习】三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交，点，到三角 形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心 若E,F分别是边AB,AC的 ,则6 是△ABC的中位 线，EF/BC,且EF=⑦ BC. 中位线 【技巧点拨】解题时遇到中，点，通常构造中位线.特别地，在平行四边形 中，当边上有中点时，通常连接中点和对角线的交点，即为中位线 【知识拓展】三角形的内（外）角平分线所夹的角与第三个内角之间的数量关系： 条件 两内角的平分线 两外角的平分线 一内角、一外角的平分线 图示 结论 LBPC=90°+7∠A ∠BPC=90° 2<A ∠BPC=2LA 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1三角形的分类及基本性质(8年1考) 1.埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最 高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔 铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，从 D 中推断出其运用的数学原理是 第1题图 第2题图 A.三角形的不稳定性 2.(2021陕西4题3分)如图，点D,E分别在线 B.三角形的稳定性 段BC,AC上，连接AD,BE.若∠A=35°，∠B C.三角形两边之和大于第三边 25°，∠C=50°，则∠1的大小为() D.两点之间线段最短 A.60°B.70°C.75 D.85° 61 3.若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别 重难点“等面积转换法”的应用 为2和5，则第三边的长可以为 .（写 5.(2020陕西6题3分)如图，在3×3的网格中， 出一个即可) 每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点 考点2三角形中的重要线段（必考，多数为涉及） 上，若BD是△ABC的高，则BD的长为() 4.(人教八上P8T4改编)如图，已知△ABC. 1013 9√13 A. B. 13 13 C.83 7√13 D. 13 13 图2 6.如图，直线a%,点A,B位于直线a上，点C,D 位于直线b上，且AB:CD=1:2.若SABc=8, 则S△BCD= 图 B 第6题图 第7题图 图5 图6 7.如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是 (1)按图1的折叠方法，折叠后点C落在BD △ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边 上，则AD是△ABC的 .若SAAC=24, AE上的中线，若△ABC的面积是16，则阴影 BC=8,则AD= 部分的面积是 (2)按图2中的折叠方法，折叠后点C落在 园方法总结 AB上，则AD是△ABC的 (1)求非特殊三角形的面积的常用方法： ①若∠B=45°，∠CAD=35°，则∠C= ①和差法、割补法（如T5):②平行线面积转 ②如图3，过点D作DE⊥AB于点E.若S△ABc= 换法（如T6):③等面积转换法（如T7). 132,AB=18,DE=8,则AC= (2)利用同一三角形的不同面积计算方法， ③如图4，∠BCA的平分线CF交AD于点O. 求线段长： 若∠B=40°，则∠C0A的度数为 如图1中，BC·AD=AB·CE; (3)按图5中的折叠方法，折叠后点C与点B 如图2中，ab=ch. 重合，则AD是△ABC的 ①若SABc=24,则S△c= e h ②如图6，G是AB边的中点.若△BDG的周长 B 等于11，则△ABC的周长等于 图1 图2 温馨提示 请完成分层练习册P39习题 62(3)二次函数的解折式为y=子+3x+12 5 (4)二次函数的解析武为y=4-5x (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 2.y=(x-2)2-9:y=(x+1)(x-5)3.D4.D5.C 第十四节二次函数的图象与性质 ①上②下③x-六④r=h⑤r赞 2 0云)(8 2 :⑨小①大 ①减小②增大B左侧④右侧5>6<⑦= ⑧-7>09异号2@c=02Dc<026-4c<05- ②4-1巧-2②6不相等的②⑦两个②四相等的②四上方 团下方 1D2.(1)下：x=1:2;(-1,0)和(3,0)；(0,3)；大；大； 4:(1,4)(2)y=-(x-1)2+4:y=-(x+1)(x-3)(3)略. (4)0;1;2(5)增大：3(6)<：<【变式1】> 【变式2】yB<yc<y43.D4.②③④⑤⑧0 5.(1)x1=-1,x2=3(2)x1=-1,x2=3(3)x1=-1,x2=3 (4)-1<x<36.(1)上：x=2:(2,-1)(2)①8：0②35：3 ③3；-1④24：-1(3)-1或3(4)-1或2+√5 第十五节二次函数的实际应用 1(1)抛物线L,的函数表达式为y=石+4 (2)MN的长为12m. 2.(1)铅球离地面的最高高度为3m,此时的水平距离为 4m. (2)在铅球行进过程中，当它离地面的高度为；m时。 水平距离为8m 3.(1)W=-10x2+200x+15000. (2)当每盒降价10元时，公司每天的利润最大，最大利 润为16000元. (3)当每盒降价20元时，公司每天的利润最大，最大利 润为15000元. 4.(1)y与x之间的函数关系式为y=-2x+40x(0<x<20). (2)当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积 为200m2. 【变式】这个矩形的长为12m、宽为9m时，菜园的面积最 大，最大面积是108m2. 5.(1)5:2000 (2)S=4x2-120x+900(0<x<15). (3)在解决生活中的问题时，可以尝试使用函数（答案不 唯一). 第三章易错题专练 1.-2【变式】12.-2【变式】-13.2【变式】-3 4.C5.y=2x2-4x-6或y=-2x2+4x+6 6.(1)y=-10x+800 (2)当售价定为48元/件时，商家销售该商品每天获得 的利润最大，最大利润为5760元. 第四章三角形 第十六节线段、角、相交线与平行线（含命题） ①两②线段③BC④AC⑤BC⑥AC⑦AB⑧2 ⑨90°090°<a<180°①14224B90°④相等 ⑤180°6相等⑦相等⑧相等9- 20PW@∠2 或∠4②2∠1或∠33180°②④∠35∠4②6相等 ⑦∠52四∠629∠7团∠8①∠832∠58∠5 ④L8图一0垂线段团垂线段的长度⑧相等 砂相等⑩1①=2=B一∥5相等G∠2 4⑦相等4⑧∠349互补⑤①180°+52- 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.(1)2或4(2)1.5；1或23.B【变式】钝；85°4.A 5.(1)60°(2)26.117.B【变式】40：20 8.(1)∠2：∠5(2)∠5；∠7(3)①②(4)①70°：110° ②55°③24°：66°9.D 第十七节三角形及其基本性质 ①等腰②等边③直角④90°⑤>⑥<⑦180 8∠B⑨大于国<①大角卫？h⑧== 590G内部⑦直角⑧内部9外部②0内部 行②行8】3相等雪中点雪F 2 1.B2.B3.6(答案不唯一)4.(1)高：6 (2)角平分线①65°②15③110°(3)中线①12 ②225.D6.167.6 第十八节特殊三角形 ①相等②相等③相互重合④1⑤相等⑥相等 060°⑧轴⑨3060°①4a2互余B90 ④-半50-半m}8a2+b=c'⑩90 2 2 ②0互余①a2+b2=c22相等3相等④45°51 1D2(1)65°(2)03②24 (3)等边三角形；3： 25W3 4 3.5-14.C5.C 00336,99(2 2 (3)3:607.358.A 9.35°【变式1】38°或26°【变式2】80°或20° 【变式3】80°或40°10.16cm或14cm11.90°或40 【特别提醒1(1)180°-a,180- -:180°-2a(2)2a+b:2b+a 2 2 第十九节全等三角形 ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 ⑦三边⑧夹角⑨夹边0对边 5