江西省全南中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

全南中学高二年级12月份月考数学试卷 命题人 202512 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上. 1。已知空间向量=(1,2,4)，b=(1,-4,2),则d·=（) A。0 B.-1 C. D.月 2。椭圆9x2+16y2=144的右焦点坐标为（) A。(5,0) B。(0,5) C。(7,0) D。(0,V万 3。集合M={-3,-2-1,0,1,2,3,4,N={4,-3,-2,-1,1,2,3}，从集合M中取一个元素作为点的横坐标， 从集合N中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第二象限内有()种情况 A.9 B.12 C.15 D。16 4.已知a>0,b>0,两直线：a-2y+3=0,1:x+(1-b)y-4=0,若114，则上+2的最小值为 a b () A.3 B.2 9 4 5。已知点A为圆C1:x2+y2-8叶12=0上的动点，点B为圆C2:x2+y2-8x+2y叶8=0上的动点，下列说法 正确的有() A。两个圆心所在直线的斜率为- B。两圆恰有3条公切线 C。两圆公共弦所在直线的方程为4x-5叶2=0 D。AB的最小值为V4I-5 6.已知原点为0，椭圆C若+茶-1a≥6>0)与宜线：x-y1-0交于AB两点，线段A6的中点为M, 若直线Q的斜率为}，则椭圆C的离心率为() A. B.3 c.5-1 2 D.6 2 3 7.已知双曲线E:少2=1，若抛物线)2=2px(p>0)的焦点到双曲线E的渐近线的距离为V3,过焦点 倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点，则AB1的值为() A.165 B.8V5 C.8 D。45 第1页（共8页） 8.如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，AM=2AC(0≤1≤1) FN=uFB(0≤≤)，AB=2,则MW的最小值为() A.2v2 B.25 c.2w5 D.√2 3 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 的要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于空间向量的命题中，正确的有() A.若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底，则ā∥b; B.已知两个向量a=(m,2,3),b=(-2,4,n),且a∥i,则m+n=5 C.若平面ABC的法向量=(1,2,1)，PA=(0,1,0),则点P到平面ABC的距离是2 D.在空间直角坐标系中，点P(-1,3,5)关于坐标平面Oz的对称点是P(1,3,5) 10.如图，长方体ABCD-ABCD中，A4=2,AB=AD=2V3,E是侧面AADD的中心，F是底面ABCD 的中心，点M在线段AD上运动，则下面选项正确的是() A.四面体M-ABC的体积为定值 G B.点E到平面4BC的距离 B E 2 C.异面直线F与AC所成的角为 A… M>D F B D.存在点M,使得直线AM与平面ABC所成的角为 是由怎点在坐标抽上的猫圆绕其中心旋转一定角度日日一K:乙鬼到的 C:x'+y2-y=9的图象是如图所示的斜椭圆，点P(m,n)是C上任意一点，点A26,0),B0,2V6), O为坐标原点，则下列说法正确的为（) A.该椭圆的焦点在直线y=x上 B.该椭圆的离心率为V6 C.n的最大值为2√3 D.PA·PB的最大值为12+6√6 第2页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12。已知点A(-3,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的标准方程为 13.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的 不同选法有 种。 14.在正四棱柱ABCD-AB,CD中，AA=2AB,E为棱AB的中点，F为线段CC1上的一点，且 AC⊥EF,则直线BF与直线AC所成角的余弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知直线：2x-3y+7=0与12：3x+y-6=0的交点为P,圆C的圆心在x轴上，且过点P和点 23,V5). (1)求C的标准方程； (2)若过点(-1,1)的直线1与C交于A,B两点，且AB=2V5,求1的一般方程 16.如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°，F为PA的中点， PD-V5,.4B=ADCD-1,四边形PDCB为矩藏 (1)求证：AC/平面DEF; (2)求直线DP与平面BCP的夹角的正弦值. 第3页（共8页） 已知双曲线C山，0片双曲线1的渐新近线相同，且经过点亿，3列 62 (1)求双曲线C的方程； 2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F,F2,直线1经过下2，倾斜角为3元，1与双曲线C交于A,B两点， 求△FAB的面积. 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD,AB/CD,且CD=2, AB=1,BC=2W2,PA=1,AB⊥BC,E,F分别为PD,BC的中点. (1)求证：EF//平面PAB; (2)求二面角B-PA-D的余弦值： D (3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是二？若存在，求出 D4的值，若不存任，说明理由： D 19。 已知椭圆2： +后京-1(a>b>0)的短轴长为23，离心率为；. ,y2 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(0,)的直线1交E于M,N两点， ①若P=3PM,求直线1的方程 ②若点A(1,1),求AAMN的面积的取值范围。 第4页（共8页） 高二上学期12月份月考数学试题参考答案 一。选择题 题号 1 2 5 6 8 9 10 11 答案 0 0 B ABD ABD ABC 8.【详解】建立上图所示坐标系，则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),F(2,0,0) 即AC=(0,2,2)，FB=(-2,2,0),则AM=AC=(0,21,2), F=uFB=（2,2,0): 可得M(0,2元，2)，N(2-2,24,0),则MN=(2-24,2-2,-21), 即网-2-2w+e-2a+0-2j-a- 3 得最小值为25，故选：B. 11.【详解】对于A,点(x,y)关于直线y=x,y=-x对称的点分别为(y,x),（-y,一x),可知点(y,x),（-y,-x) 在曲线C上，∴曲线C的图象关于直线y=x和y=一X对称；由图象可知：曲线C的长轴在y=x上，则焦点在直线 y=x x=3「x=-3 y=X上，A正确：对于B, 由 {r+2-=9得 或 y=3y=-31 y=-x x=V3x=-5 ∴椭圆C长轴长2a=V62+62=6√2，则a=32;由 +y2-y=9得： 或 y=-5y=51 “椭圆C短轴长2b=1 25+(25=2后，则6=6：c=V-b=2w5,·离心率 e=c-23V6 3万3，B正确1对于C,当直线y三n>0)与曲线C相切时，n取得最大值 的ysn x+y-y=9得：-m+-9=0,A=n-4n-9）=0,解得：n=-25(會)成=25 .n的最大值为2√，C正确：对于D,4B中点为椭圆的焦点FV6,V6), pi.p店-(i+P-(i-P}pF-所-P-12,P网列sa+c=3+25, PF=(32+2V5°=30+126，(PA.PB)n=18+2W6,D错误放选：ABC 第5页（共8页） 三。填空题（满分15分） 12.(x+2)2+y2=2 13.14 4.6 15 14.详解如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，不妨设AB=2,则A(2,0,4),B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,1,0), 设F(0,2,a),a∈[0,4]，则AC=(-2,2,-4),EF=(-2,1a,因为AC⊥EF,所以 4c=4+2如-o,aPo2引则a-（20》所 AC·BF cos(4CBF) 2√6 AC BF 2√6×了1了，即直线BF与直线AC所成角的余弦值为V6 15 2 四。解答题（共5小题） 2x-3y+7=0 15.(1)联立 (3x+y-6=0，得 得3即PC3),设圆心C的坐标为a0,半径为r， 由圆C过点P和点6.v5,则CP到=CO=r,即r=V1-a+(3-0=V3-a+(5-0, 解得a=1,所以r=3,故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=9: 2烟4B到=2V5,则圆心C到直线1的距离为d-9-(V5°2， 当1斜率不存在时，1的一般方程为x+1=0,此时d=2,符合题意；当1存在斜率时，设1的方程为y-1=k(x十1)， 中-小上6.50-2，海为-=0， Vk2+(-1)2V+1 综上所述，直线1的一般方程为3x-4y+7=0或x+1=0, 16.(L设PC交DE于点N,连接FN,因为四边形PDCE为矩形，所以N为PC的中点. 在△PAC中，F,N分别为PA,PC的中点，所以FN/AC,因为FNC平面DEF,AC丈平面DEF, 所以AC/平面DEF. (2)因为PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°，所以DA,DC,DP两两垂直，如图以D为原 点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,2轴， 建立空间直角坐标系.则P(0,0,√2)，A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0）, 第6页（共8页） 所以PB=11,-V2),BC=（-1,1,0),Dp=(0,0,2) 设平面BCP的法向量为i=（x,y,),则 [m.PB=0∫x+y-V2z=0 mBC=0x+y=0 令x=1,则m=(11,V2)设直线DP与平面BCP的夹角为8 所以sm0=co(丽，= Dpm2√2 DPm2x√221 17解⑩漫所求双线c的方程为片代入点，调生1，即=子小双曲线C的方程为。片子即 d. (2)由(1)知，F(一2,0)，F2(2,0),由题意得直线AB的方程为y=一x一2)，即x十y一2=0.设A1,Jy),B2,y)联立 x十y-2=0, r--1,得2+-7=0，满足0且十=一2=一子由弦长公式得AB=1+1一 3 =+（-D女1V（-2》-4-252=6,点E(-2,0国直线，+一2=0的距离-2-2=22 2 所以SFB=ABa=x6×22=6V2. 21 18.L)如图，过E作EG⊥AD交AD于点G,连接EG,GF,PA⊥面ABCD,ADC面ABCD,则PA⊥AD, 又EGC面PAD,PAC面PAD,且EG,PA不共线，故EG/PA,因为E为PD的中点，所以G也为AD中 点，又F为BC的中点，所以GF//AB,而EG丈平面PAB,PAC平面PAB,所以EG//平面PAB,同理 GF//平面PAB,又因为EG∩GF=G,EG,GFC平面EGF,所以平面EGF/平面PAB,而EFC平 面EGF,所以EF//平面PAB: (2)设DM=PD(0≤t≤1)如图，以点A为原点建立空间直角坐标系， 则P(0,0,1),B(0,1,0),C(2√2,1,0)，D(22,-1,0),故 PB=(0,1,-1),PC=(2W2,1,-1),PD=(2√2，-1，-1)，CD=(0,-2,0), 则CM=CD+DM=CD-tPD=(-22t,t-2,t),设平面PBC的法向量n=(x,y,z),则有 iPB=y-2=0 ,取i=(0,1,1), i.pC=2√2x+y-z=0 第7页（共8页） cos元，Ci卡1n.☑ 2t-2| 川©V5×2200-27方数藏得4-161+7-0.解海1-政 舍去，所以 7 DM=时，直线CM与平面PBC所成角的正弦值是 DP 2 3 2b=2W3 19.(1)由题可得： c_1 a=4 ，解得： 6=3'所以椭圆E的方程为 ,y2 4+3 =1 a2=b2+c2 (2)设直线1交E于M(x,y),N(x2,y2)两点，点P(0,1)在椭圆E内， ①若直线1的斜率不存在，易得NWP=√3+1，|MP=√3-1，不满足亚=3PM, y=x+1 放设直线/的方程为y=+l,碳立父+-1化简得：(3+4据)r+8一8=0. 43 -8k -8 所以5+无3+g6=3计次，又7=(1-)小，P7=(,片1，=3PM. 所以-3⊙，由0②两式解特长-±所以立线/的方寇为y-士 x+1 2 直线的率不存在时，直线与E的交点为M(V3,0,N(3.,0,则S4e,二)×1×2V5= 当斜率为0时，直线1过点A(1,1)，故不能构成三角形，当斜率存在且不为0时，由①知， MW=V1+V(x+x)-4x5=1+k2 8k 6 -4× 3+4k2 3+4k2 =V十在×4W1D+6,点41，)到直线1：y=在+1的距商d= ，所以 3+4k2 V1+k2 S.0 号Md=)×+R×4M2k+6 =5x 16k4+8k2 3+4k V1+k2 V(42+3 -5g昌-甘w0行型5wQ5,,aaN省值装Q5 第8页（共8页）