专题1 提升点2 三角形中的特殊线段 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．在中，,,,则点到边的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.在 中，由,得,由余弦定理有,故. 设点A到边 的距离为,由三角形面积公式得,，故. 2．[2024·哈尔滨三模]已知的内角，，的对边分别为,,,且,边上中线的长为1，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由题意得 ， 所以， 又，且D是 的中点，所以，在 中， , 在 中，, 所以, 即,由，得,当且仅当 时取等号. 3．[2024·海南模拟]在中，的平分线与对边交于点，若的面积为面积的2倍，且， ，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】选A.由，则有，即有， 又， 则有，即，即有，即. 4．[2024·长沙模拟]（多选）已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的三个内角，，满足关系 C. 的外接圆半径为 D. 的中线的长为 【答案】BC 【解析】选.因为 满足,所以,设,,,,利用余弦定理得，, 由于,所以. 因为，所以,解得（负值已舍去）. 所以,,, 对于A，的周长为,故A不正确； 对于B，因为，所以，故，故B正确； 对于C，由正弦定理得 的外接圆半径为,故C正确； 对于D，如图所示，在 中，利用正弦定理, 解得,又,所以,,在 中，利用余弦定理得,解得（负值已舍去）,故D不正确. 5．[2024·扬州调研]在中，，，为的中点， ，则________. 【答案】 【解析】在 中，取 的中点，连接，由 为 的中点， 得, 在 中，由余弦定理得，则， 而,所以. 6．在中，，， ，为的高线，则________. 【答案】 【解析】在 中，由余弦定理得, 即，所以， 所以, 由向量数量积的几何意义得. 7．[2024·东北三省四市模拟]在中，角，，所对的边分别为,,，已知,角的平分线交于点，且. （1） 求； （2） 若，求的面积. 【答案】 （1） 解：因为， 所以由正弦定理可得， 因为 ，所以, 所以， 故，又 , 所以 . （2） 由题意可知， 即 ,化简可得. 在 中，由余弦定理的推论得 , 解得 或（舍去），所以. ［B 综合运用］ 8．在中，内角，，的对边分别为,,，且. （1） 求角； （2） 若,,求边上的高. 【答案】 （1） 解：由题及正弦定理得, 即. 因为,所以，所以，又,所以. （2） 设 边上的高为,由，得,解得（负值已舍去），由,解得,即 边上的高为. 9．[2024·福建省适应性考试]在中，为的中点，且 . （1） 求； （2） 若，求. 【答案】 （1） 解：如图，由 ， 可得.在 中，由正弦定理， 得.在 中，由正弦定理， 得.故. 因为 为 的中点， 所以，即. （2） 由（1）不妨设，，，,. 在 中，由余弦定理的推论， 得. 在 中，由余弦定理的推论， 得. 所以, 解得. 故. 10．[2024·河南质量检测]在锐角三角形中，角，，所对的边分别为,,,已知,且. （1） 求证：； （2） 若的平分线交于点，且,求线段长度的取值范围. 【答案】 （1） 证明：根据题意及余弦定理可得,故,由正弦定理得. 所以在 中，或 . 若 ，又 ，故， 因为,所以，故 不满足题意，舍去，所以. （2） 解：在 中，由正弦定理可得,即, 所以. 因为 是锐角三角形，且， 所以 得, 所以, 所以. 所以线段 的长度的取值范围是. 真题解构与重构 解三角形 三角形是几何学中十分重要的几何图形，它不但是最重要的几何学知识，也是其他几何学中最基本、最常见、最重要的构件.无论是初中的平面几何，还是高中的立体几何与解析几何，三角形都扮演着十分重要的角色，其特性是研究相关几何问题的基石.三角形问题是初、高中教学的重点问题，更是中、高考的重要组成部分.解三角形问题是每年高考的必考试题，有的在选择题、填空题中出现，有的渗透在立体几何与解析几何中，有的直接在解答题中呈现，近年来的新课程高考试题中，主要占据着解答题第15题的位置，彰显了三角形问题在学习与考试中的重要地位与作用，是教师与学生高度重视的教学问题.以下对2024年新课标Ⅰ卷第15题解三角形问题进行解构与重构,激活试题本质属性，感悟三角形知识体系的和谐，提升解三角形问题的能力. ［真题呈现］．[2024· 新课标Ⅰ卷]记的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1） 求； （2） 若的面积为，求． ［真题分析］本题是在余弦定理的“呈现形式”逐层设置.考查正、余弦定理、特殊角的三角函数值、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理与面积公式.考查数学运算、逻辑推理等核心素养.考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现“四基四能”,是教材问题的最基本呈现. 【答案】 （1） ［规范解答］解：由余弦定理的推论得, 注解① ［关键步骤］①已知三边关系时，首选余弦定理 又 ,所以.所以,所以, 又 ，所以. （2） 由（1）得， 注解② ②解三角形时，时刻注重内角和定理 由正弦定理,得,所以. 注解③ ③已知对边与对角首选正弦定理 所以 的面积, 注解④ ④三角形面积公式很多，根据题目条件正确对照选择 得. ［源头与活水］ 类别 教材题（必修第二册 ） 考题 关联特征 条件 , 关系转化 问题 ① 求角 求角 都是求角 ② 已知一边与面积求另外两边 已知面积求其中一边 都是面积与边角 ［真题解构］ 解构1．已知三个内角，，的对边分别为,,.在中， ，,. （1） 求; （2） 求的面积. 【答案】 （1） 解：方法一：由正弦定理得 ， 因为,所以. 由于 ,所以 或 . 当 时， , 此时，. 当 时， ， 此时. 方法二：因为 ，,, 由余弦定理得，整理得,即, 所以,故. （2） 方法一：由（1）知当 时，, 此时 的面积. 当 时，,此时 的面积. 方法二：同方法一. 解构2．如图，在锐角三角形中，，垂足为，角的平分线交于点，，，. （1） 求; （2） 求与的面积. 【答案】 （1） 解：由， 可设，则. 由，得 ， 由于 , 所以， 整理得， 即， 解得 或（舍去）, 即,. 因此. （2） 由（1）知，又,所以. 因此，， . 在 中，由正弦定理得， . ［真题重构］ 重构1．（多选）已知的三个内角，，的对边,,是依次增大的三个连续自然数，且，则（ ） A. B. C. D. 内切圆半径 【答案】ABD 【解析】选.对于A，由 得. 由正弦定理与余弦定理的推论得, 即, 即, 化简得,A正确； 对于B，由题可设,,代入 得, 化简得,解得 或（舍去），B正确； 对于C，方法一：由 得. 由于， 所以,C错误. 方法二：由余弦定理的推论得， 由 得,C错误; 对于D，因为, 由 得 ,D正确. 重构2．已知面积为的三个内角，，的对边分别为,,，且. （1） 求; （2） 求的取值范围. 【答案】 （1） 解：由于,由余弦定理与面积公式得. 故,由 得. （2） 由 得. . 由，知, 所以, 故. 因此 的取值范围为. 重构3．在中，三个内角，，的对边分别为,,,，，成等差数列且. （1） 求 的值，并求证为定值; （2） 若， ，求的面积. 【答案】 （1） 解：由已知得 ，， 所以 ， . 又，由余弦定理得,所以. . 所以 为定值. （2） 由 ， ，知 . 又,由正弦定理得， 所以. 所以. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $