专题1 第1讲 三角函数的图象与性质-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第二部分 专题篇 专题一 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质 考情分析 备考关键 考点 诱导公式及同角三角函数的基本关系式的运算、三角函数的图象变换及由图象确定解析式、三角函数的性质应用. 考法 主要以选择题、填空题的形式考查三角函数的图象变换及解析式，利用三角函数的性质求参数、最值、值域、单调区间及对称性，也可能是解答题的一问. 1.诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，应用基本关系式化简“变异为同，化繁为简”. 2.三种曲线的特征与性质，求解析式的“三定”. 3.性质应用“整体性”，求值域利用“有界性”. 做真题 明方向 1．[2024·天津卷]已知函数的最小正周期为 ,则在,的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】选A.由 的最小正周期为 ， 可得,所以, 所以. 当,时，,, ,,所以. 2．[2024· 新课标Ⅰ卷]当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】选C.因为函数 的最小正周期，所以函数 在 上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数 与 在 上的图象如图所示. 由图可知，这两个图象共有6个交点. 3．[2024· 新课标Ⅱ卷]（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】选.对于A，令，则，，又，故A错误； 对于B,与 的最大值都为1，故B正确； 对于C，与 的最小正周期都为 ，故C正确； 对于D,图象的对称轴方程为 ，，即,，图象的对称轴方程为 ，,即，，故 与 图象的对称轴不相同，故D错误. 4．[2023· 新课标Ⅱ卷]已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则________. 【答案】 【解析】设,,,，由，可得,由，知 ,, ,, 所以, 即，故. 因为,由“五点（画图）法”得， ,, 即 ,， 所以, 所以. 研考点 破重难 考点一 三角函数的基本运算 1.函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.同角关系：, ,. 3.诱导公式：在 ,的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”. ［例1］ （1） 在平面直角坐标系中，角 的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，，则（ ） A. B. C. D. （2） [2023·全国乙卷]若,,,则__________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 因为 的终边与圆 相交于点，,所以,所以 . （2） 由,得 ,代入,可得,因为,，所以,则，所以. 利用公式进行化简求值的策略 （1）利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤：去负—脱周—化锐. （2）利用同角三角函数的关系化简过程的原则：化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. ［对点训练］．已知,则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为, 所以, 即, 所以, 所以 或（舍去）， 所以. 考点二 三角函数的图象 三角函数图象的两种变换 （1）先平移后伸缩 （2）先伸缩后平移 ［例2］ （1） [2024·潍坊二模]将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则（ ） A. B. C. D. （2） [2024·邯郸调研改编]已知函数的部分图象如图所示，，为的图象与轴的交点，为图象上的最高点，是边长为1的等边三角形，，则________________________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数解析式为. （2） 由题图可得，的最小正周期为2，所以,即 ,易得,所以,因为,所以,,,,,,由“五点法”可得， ,,即 ,,又 ,所以,所以. 由“图”定“式”找“对应”的方法 对于函数（,, 为常数）： （1）最值定,根据给定的函数图象确定最值，设最大值为,最小值为，则，，解得,； （2）定由周期的求解公式，可得； （3）点坐标定一般运用代入法求解 值，注意在确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”. 提醒 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，变换只是对其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. ［对点训练］． 1．[2024·长沙模拟]如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 2．[2024·河北模拟]（多选）要得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 B. 向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 C. 纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上的所有点向左平移个单位长度 D. 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上的所有点向左平移个单位长度 【答案】1．C 2．BC 【解析】 1．选C.由各选项可知，,.由题图可知，，所以 ,则 ,所以,则.因为函数 的图象过点，，所以,,即 ,,所以 ,,则. 2．选.对于A，所得图象对应的解析式为，A错误；对于B，所得图象对应的解析式为，B正确;对于C，所得图象对应的解析式为，C正确；对于D，所得图象对应的解析式为,D错误. 考点三 三角函数的性质 函数 的性质 （1）单调性：由可得单调递增区间；由可得单调递减区间. （2）对称性：由可得对称中心的横坐标；由可得对称轴. （3）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. 角度1 三角函数的单调性 ［例3］ 设函数. （1） 求函数的单调递减区间； （2） 当时，的最小值为0，求实数的值. 【答案】（1） 【解】由,可得,所以 的单调递减区间为,. （2） 当 时，,当 或，即 或 时，取得最小值，最小值为，由,得. 求三角函数单调区间的方法 （1）代换法：求形如（或（））（, , 为常数，，）的单调区间时，令，得（或），然后由复合函数的单调性求得; （2）图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间. 注意 求函数的单调区间时，若，则要先将 转化为正数. 角度2 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 ［例4］ [2024·安徽模拟]（多选）已知函数,,的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为 ，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点,为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数在区间,上单调递增 【答案】ACD 【解析】由题图可知，，因为，即，且，可得.对于A，设 的最小正周期为，则 ，即 ，故A正确；又因为，可得,所以,对于B，因为，所以点,不为曲线 的一个对称中心，故B错误；对于C，因为，为最小值，所以直线 为曲线 的一条对称轴，故C正确；对于D，因为,,则,,且 在，上单调递增，所以函数 在区间,上单调递增，故D正确. （1）判断对称中心与对称轴的方法 利用函数的图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点、对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质，通过检验对应函数值进行判断. （2）求三角函数周期的常用结论 和的最小正周期均为，的最小正周期为. ［对点训练］． 1．[2024·北京卷]设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（多选）已知函数的最小正周期满足,且点,是图象的一个对称中心，则（ ） A. B. 的值域是 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是偶函数 【答案】1．B 2．ABC 【解析】 1．选B.因为,且,,,所以 的最小正周期 ,所以. 2．选.由点,为函数 图象的一个对称中心，得,解得.由,且，得,解得,则,故A正确；则,因为,所以,故B正确；将 代入,可得,根据正弦函数的对称性，知直线 是 图象的一条对称轴，故C正确；,显然该函数不是偶函数，故D错误. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $