基础知识-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

基础知识 知识点一 集 合 1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知集合,,,0,2,，则（ ） A. , B. C. ,, D. ,0, 【答案】A 【解析】选A.因为，，，0，2，，且注意到，从而，. 2．[2024·开封质量检测]已知集合，，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】选B.因为 的最小正周期，且，当 时，，当 时，，当 时，，当 时，，所以，0，，又，，所以，，，，，故A，C，D不正确，B正确. 3．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. ,0,1, D. ,0,1,2, 【答案】A 【解析】选A.易知.则，题图中阴影部分为. 4．已知集合,,,,则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】选C.由题意，中的元素满足 且,,由,得,所以满足 的有，，，，故 中元素的个数为4. 5．[2024·合肥质量检测]已知集合，，若 ，则实数的取值范围为________________________. 【答案】 【解析】由题意得，，因为 ，所以 或，解得 或，则实数 的取值范围为. 集合的基本运算的解题技巧 （1）以“形”定“法”：看集合的表示方法，用列举法表示的集合，宜用图求解；用描述法表示的数集，常借助数轴分析得结果. （2）先“简”后“算”：运算前先对集合进行化简，分清是数集还是点集，是函数定义域还是值域，是方程的解还是不等式的解集等. 警示 遇到 时，需注意到“极端”情况： 或 ；同样在应用条件时，不要忽略 的情况. 知识点二 常用逻辑用语 1．[2024·新课标Ⅱ卷]已知命题，；命题，.则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】选B.对于 而言，取，则有，故 是假命题，是真命题，对于 而言，取，则有，故 是真命题，是假命题，综上，和 都是真命题. 2．[2024·青岛三模]已知命题,,，则（ ） A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 【答案】D 【解析】选D.命题,,为全称量词命题，则,,. 3．[2024·长沙模拟]若古典概型的样本空间，2，3，，事件，，甲：事件 ，乙：事件，相互独立，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选A.若 ，，，则，而，，所以，所以事件A，B相互独立， 反过来，若事件A，B相互独立，则满足，当，时，，此时，，所以不一定 ，所以甲是乙的充分不必要条件. 4．[2024·大连模拟]“函数是奇函数”的充要条件是实数______. 【答案】0 【解析】若 为奇函数，则，所以，即，所以，若,则 是奇函数，所以函数 是奇函数的充要条件是. 判断充分、必要条件的三种方法 （1）定义法：根据命题 命题，命题 命题进行判断，适用于定义、定理判断性问题 （2）集合法：根据命题，成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. （3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形后利用数形结合的思想求解. 警示 要弄清先后顺序：“的充分不必要条件是”是指能推出，且不能推出；而“是的充分不必要条件”则是指能推出，且不能推出. 知识点三 不等式的性质及解法 1．设,则关于的不等式的解集是（ ） A. , B. C. , D. , 【答案】D 【解析】选D.因为,所以,,原不等式可化为,解集为 ,. 2．已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.根据题意，不妨取,，对于A，此时,,不满足,故A错误；对于B，易得,,此时,故B错误；对于D，无意义，故D错误；对于C，由指数函数的单调性可得，当 时，,故C正确. 3．已知不等式的解集为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】由题设知，3是方程 的两根，所以 且，可得,. 所以 在 上恒成立，设 且 在 上单调递增，故只需 即可，所以. 明确解不等式的策略 （1）一元二次不等式：先化为一般形式（或）（）.再结合相应一元二次方程的根及二次函数的图象确定一元二次不等式的解集. （2）含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解. 警示 解形如的一元二次不等式时，易忽视对系数的讨论导致漏解或错解，要注意分,进行讨论. 知识点四 基本不等式 1．若,则有（ ） A. 最大值0 B. 最小值9 C. 最大值 D. 最小值 【答案】C 【解析】选C.因为,所以. ,当且仅当，即 时取等号.故 有最大值. 2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.当 时，不等式 恒成立，；当 时，由题意可得 恒成立，又，当且仅当,即 时取等号，所以，解得.所以实数 的取值范围是. 3．[2024·贵阳适应性考试]（多选）已知,,且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.对于A，,当且仅当 时，取等号,A正确；对于B，,当且仅当 时，取等号，B正确；对于C，,当且仅当 时，取等号，C正确；对于D，，当且仅当 时，取等号，D错误. 4．已知,,,则的最小值为______. 【答案】3 【解析】由于,,,则两边同除以 可得,两边再同乘,得，当且仅当,即,时等号成立.因此,当且仅当,时取等号，故 的最小值为3. 基本不等式求最值的3种解题技巧 （1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值. （2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值. （3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为，恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值. 警示 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到. 知识点五 复数 1．[2024· 新课标Ⅰ卷]若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.因为，所以. 2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由 得，故复数 的虚部为. 3．[2024·湖北联考]已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】选B.设，则，所以，即，解得，所以 的虚部为，所以 的虚部为1. 4．[2024· 湘豫名校联考]已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】选C.因为， 所以， 所以， 所以， 所以 在复平面内对应的点的坐标为，，位于第三象限. 5．[2024·郑州质量预测]（多选）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量对应的复数是1 D. 【答案】AD 【解析】选.因为，则其对应的点为，,, 则复数 对应的点为，. 对于A，，，所以选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，向量，则向量 对应的复数为，所以选项C错误； 对于D，，，所以，所以选项D正确. 复数的概念及运算问题的解题技巧 （1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为且，利用复数相等求解. （2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设，利用待定系数法求解. 警示 在复平面内，复数对应的点为，不是，当且仅当为坐标原点时，向量与点对应的复数相同. 知识点六 平面向量的线性运算 1．在正六边形中，用和表示,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.如图，记正六边形的中心为，连接，交 于，则 在 上，为 的中点，且 为 的中点， 所以， . 2．已知向量,.若与共线，则________；若,且，，三点共线，则实数的值为________. 【答案】； 【解析】因为向量,,所以,不共线.由题意知,. 若 与 共线，则,解得. 因为,,且，，三点共线，所以，即,解得. 3．在中，点为线段上任一点（不含端点），若,则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】选D.由题意知A，C，三点共线，则,且,,故,当且仅当,即时，等号成立，故的最小值为16. 运算遵法则，基底定分解 （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系． （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 警示 同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一个基底下的分解都是唯一的． 知识点七 平面向量的数量积 1．[2024· 新课标Ⅰ卷]已知向量,，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】解析：选D.因为，所以，所以，即，故. 2．[2024·黄山质量检测]已知向量,,满足,,,则向量,的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.根据题意，由 可得. 又,,可得, 设向量,的夹角为 ,, 所以, 可得,即. 3．[2024·湖北七市联考]已知正方形的边长为2，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选B.方法一（基向量法） 由题意可知点 为 的中点，所以. 方法二（坐标法） 如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则，，，，所以，，所以. 4．[2024·广州综合测试]（多选）已知向量,不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量与在上的投影向量相等 D. 【答案】BC 【解析】选.在 中，令,,由题意可知，为菱形，所以，即,,.对于A,因为,,所以只有当,时，才有，故A错误；对于B，由菱形的性质知，即,故B正确；对于C,因为,所以,即，因为 在 上的投影向量为,在 上的投影向量为,所以向量 与 在 上的投影向量相等，故C正确；对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误. 5．[2024· 江南十校联考]如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为1的圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.如图，以 为原点，建立平面直角坐标系. 由题意，梯形 的高为 ，则，，. 因为以 为圆心的半径为1的圆的方程为,可设点. 则,其中，,故当 时，. 平面向量数量积问题的解题方法 （1）借“底”数字化：要先选取一个合适的基底（一般用已知的向量表示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解． （2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决． 警示 求两向量夹角的注意点 两向量夹角的范围是，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或 的情况． 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $