四 转化与化归思想——化繁为简，峰回路转-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

四 转化与化归思想——化繁为简，峰回路转 转化与化归的原则 常见的转化与化归的方法 1.熟悉化原则 2.简单化原则 3.直观化原则 4.正难则反原则 1.直接转化法2.换元法3.数形结合法4.构造法5.坐标法6.类比法7.特殊化法8.等价问题法9.加强命题法10.补集法 转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种措施将问题转化，进而使问题得到解决的一种数学思想 应用1 正与反的相互转化 ［例1］ 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为____________________. 【答案】， 【解析】方法一：由题意得，. ①若函数 在区间 上单调递增， 则 在 上恒成立， 即当 时，恒成立， 则，所以； ②若函数 在区间 上单调递减， 则 在 上恒成立， 即当 时，恒成立， 则，所以. 综上，若函数 在区间 上单调， 则实数 的取值范围为 或. 所以若函数 在区间 上不单调， 则实数 的取值范围为，. 方法二：由 得. 由于函数 在区间 上不单调， 故,使, 即,， 故实数 的取值范围为,. （1）本题是正与反的转化，可先求出其反面情况，遵循“正难则反”的原则. （2）题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中. ［对点训练］ 1．若“，”为假命题，则实数的取值范围为____________________. 【答案】, 【解析】由条件可知“,”为真命题，则，解得. 2．已知甲、乙两人三分球投篮的命中率分别为0.4和，则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的概率为____. 【答案】0.37 【解析】设“甲两个三分球都投中”为事件，“乙两个三分球都投中”为事件，“至少有一人两球都投中”为事件，则，，，，，由题可知，事件 与事件 互相独立，所以,所以至少有一人两球都投中的概率为0.37. 应用2 常量与变量的相互转化 ［例2］ 已知函数，，其中是的导函数.对任意，都有，则实数的取值范围为______________________. 【答案】, 【解析】由题意知,令，. 由题意得 即 解得. 故实数 的取值范围为,. （1）本题是把关于的函数转化为区间内关于的一次函数的问题. （2）在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（参数），将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的. ［对点训练］．对于满足的所有实数，使不等式恒成立的实数的取值范围是________________________. 【答案】 【解析】由题意设,,则当 时，，所以. 在 上恒成立，等价于 即 解得 或.故实数 的取值范围为. 应用3 特殊与一般的相互转化 ［例3］ （1） 过抛物线的焦点，作一直线交抛物线于,两点.若线段与的长度分别为,，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数满足对，，有，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】（1） C （2） D 【解析】 （1） 抛物线 的标准方程为，焦点为，.取特殊情况，过焦点 作直线垂直于 轴（图略），直线与抛物线交于，两点，则，所以. （2） 方法一：令，得，令，得，令，，得，令，，得，解得.方法二：取，满足 及，所以. （1）一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果. （2）对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案. ［对点训练］ 1．已知一个等差数列的前项和为48，前项和为60，则它的前项和为（ ） A. B. 84 C. 72 D. 36 【答案】D 【解析】选D.方法一（直接法） 因为数列是等差数列，所以，，也是等差数列，所以，即，解得. 方法二（特值法） 选项中不含，故本题答案与 的取值无关，可对 取特殊值，如，此时，，,所以前 项和为36. 2．设四边形为平行四边形，，.若点，满足，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】选C.方法一（特例法） 若四边形 为矩形，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图1. 由，， 知，， 所以，， 则. 方法二：如图2所示，由题设知， ， ， 所以 . 应用4 函数、方程、不等式之间的相互转化 ［例4］ 若不等式（为参数）在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. , B. , C. , D. 【答案】C 【解析】若 因为关于 的不等式 在 上有解，所以 （为参数）在 上有解. 设,,易得 在区间 上单调递减， 所以 有最小值，为, 所以实数 的取值范围是,. 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值（值域）问题，从而求出含参变量的范围. ［对点训练］．已知,,,则的最小值为______. 【答案】6 【解析】方法一：由已知得， 即， 当且仅当，即，时取等号， 令，则 且， 解得，即. 故 的最小值为6. 方法二：因为， 当且仅当，即，时取等号. 所以， 所以， 又，,所以， 所以，所以， 即 的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $