三 分类讨论思想——深究细查,各个击破-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

三 分类讨论思想——深究细查,各个击破 分类讨论的原则 分类讨论的常见类型 1.不重不漏 2.标准要统一，层次要分明 3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论 1.由数学概念而引起的分类讨论 2.由数学运算要求而引起的分类讨论 3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 4.由图形的不确定性而引起的分类讨论 5.由参数的变化而引起的分类讨论 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别进行研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略 应用1 由概念、运算、性质引起的分类讨论 ［例1］ （1） [2024·上海春季卷]已知函数，若满足，则的取值范围为____________. （2） 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，则数列的前项和____________________________________________________________________. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 由已知得 当 时，，解得，因此；当 时，，不等式恒成立，因此.综上，的取值范围为. （2） 由数列 是等和数列，且，公和为5，所以，解得.当 时，数列 的前 项和.当 时，数列 的前 项和,又,也满足上式.所以 解决由概念、运算、性质引起的分类讨论问题的步骤 第一步:确定需分类的目标与对象.一般把需要用到公式、定理来解决问题的对象作为分类的目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分. 第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.对“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理. ［对点训练］． 1．[2024·南宁适应性测试]已知集合，，，，且，则的取值集合为（ ） A. B. ， C. ， D. ，0， 2．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为______. 【答案】1．D 2．2 【解析】 1．选D.当 时， ，满足；当 时，，又，所以 或，所以 或.故满足题意的 所有取值组成的集合是，0，. 2．因为函数 是幂函数，则，解得 或，当 时，函数，其定义域为 关于原点对称，，则 是偶函数，满足题意；当 时，函数 是奇函数，不满足题意.综上，实数 的值为2. 应用2 由参数变化引起的分类讨论 ［例2］ [2024·全国甲卷节选]已知函数，求的单调区间. 解：由题意得，的定义域为，,当 时，，故 在 上单调递减；当 时，令 得,故当 时，，单调递增，当 时，，单调递减. 综上所述，当 时，的单调递减区间为； 当 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 由参数取值引起的分类讨论问题的解题策略 （1）含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论. （2）若参数有明确的几何意义时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，有时需要适当地运用数形结合思想，做到分类标准明确、不重不漏. ［对点训练］．设函数若，则______. 【答案】6 【解析】当 时，，， , 因为,所以， 解得 或（舍去）. 所以. 当 时，，所以, ， 所以，无解. 综上，. 应用3 由图形位置引起的分类讨论 ［例3］ （多选）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】ABC 【解析】设 的中点为B，过B作 的垂线交直线 于，连接，当点A在圆外时，如图1，图2所示，则，则，又，则此时 的轨迹为以，A为焦点的双曲线； 图1 图2 当点A在圆内（非原点）时，如图3所示，此时，又，则此时 的轨迹为以，A为焦点的椭圆； 图3 当点A在坐标原点时，如图4所示，此时B，重合，，则此时 的轨迹为以 为圆心，半径为1的圆； 图4 当点A在圆上时，如图5所示，由垂径定理，可知 与 重合，则此时 的轨迹为点. 图5 （1）涉及图形位置不同、大小差异不确定时，要进行分类讨论； （2）破解此类问题的关键： ①确定特征：一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定； ②分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类； ③得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理. ［对点训练］．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为 和 ,则两平行截面间的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 1或7 D. 2或6 【答案】C 【解析】选C.画出球的轴截面图,是球的一个大圆,两平行直线是球的两个平行截面的直径,设两个平行截面的圆心分别为 和，由题意可得，两个平行截面的半径分别为3和4，则,.如图1，当两个平行截面在球心的两侧时,两平行截面间的距离是; 图1 如图2,当两个平行截面在球心的同侧时,两平行截面间的距离是. 图2 学科网（北京）股份有限公司 $