二 数形结合思想——直观快捷,别有洞天-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

二 数形结合思想——直观快捷,别有洞天 以形助数（数题形解） 以数辅形（形题数解） 借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的来解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的来解决数学问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 应用1 借用函数图象解决问题 ［例1］ [2024·全国甲卷]曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】令， 即, 令， 则， 令 得， 当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增，，. 因为曲线 与 在 上有两个不同的交点， 所以等价于直线 与曲线 在 上有两个交点，所以. 研究函数的零点及方程的根、不等式的求解及参数范围等问题，常转化为函数图象的交点问题，其思维流程为： ［对点训练］． 1．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，单调递增，,若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2．已知正实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】1．A 2．B 【解析】 1．选A.因为函数 是定义域为 的奇函数，所以,,又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，由此可作出函数 的大致图象，如图，则不等式 可转化为 或,解得 或. 2．选B.由题意，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数，,的图象，结合图象可得，. 应用2 巧借几何性质解决问题 ［例2］ [2024· 九省联考]已知平面向量,满足，,的夹角为,若,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意，作出如图的示意图： 其中，，的长度均为1， ,, 且点C在以B为圆心，1为半径的圆上运动， 所以, . （1）对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解. （2）应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有： ①比值——可考虑直线的斜率； ②二元一次式——可考虑直线的截距； ③分母为根式的分式——可考虑点到直线的距离； ④根式——可考虑两点间的距离. ［对点训练］． 1．[2024·北京三模]已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是的右支上异于顶点的任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足是，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】1．B 2．C 【解析】 1．选B.说明点 在以 为直径的圆 上，而 又在圆C上，因此两圆有公共点，所以，即，又，解得. 2．选C.设半焦距为，如图，延长 交 于点，因为 是 的平分线，，所以 是等腰三角形，所以，且 是 的中点.根据双曲线的定义可知，所以.由于 是 的中点，所以 是 的中位线，所以，又双曲线的离心率为，故，所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $