一 函数与方程思想——巧妙转化，相辅相成-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

该高中数学高考复习资料聚焦函数与方程思想核心考点，按“思想内涵—应用场景—问题解决”逻辑架构整合方程、不等式、数列等模块应用，通过考点梳理明确转化方法，方法指导提炼建系、变量引入策略，真题训练结合2024年天津卷等典型例题，帮助学生构建动态与静态问题分析框架，突破最值求解难点。 资料以“数学思维”和“数学眼光”为导向，创新采用“问题情境—函数建模—性质应用”教学流程。例如构造函数解决问题时，引导学生变形抽象出f(x)=x+lnx模型，利用导数分析单调性，培养抽象能力与创新意识。设置分层训练配合真题反馈，确保学生掌握动态转化技巧，提升应考能力，为教师提供精准复习进度把控依据。

第一部分 自学篇 思想方法 一 函数与方程思想——巧妙转化，相辅相成 函数思想 方程思想 函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 应用1 借助函数解决问题 在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解. ［例1］ [2024·天津卷]在边长为1的正方形中，为线段的三等分点，,，则________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为__________． 【答案】； 【解析】方法一：因为，即， 则， 可得，，所以. 由题意可知,，， 因为 为线段 上的动点， 设，， 则 ， 又因为 为 中点，则， 可得 ， 又因为，所以当 时，取到最小值，最小值为. 方法二：以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，， 可得，，， 因为， 则 所以. 因为点 在线段，，上， 设，， 且 为 中点，则， 可得，， 则 ， 且，所以当 时，取到最小值，最小值为. 解答此类问题需通过建系或引入变量建立目标函数，运用一次函数、二次函数、不等式、导数等求出最值. ［对点训练］．甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，，则甲以获胜概率的最大值为____________. 【答案】 【解析】甲以 获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，若所求概率用 表示，所以，，则.令，得；令，得.所以 在，上单调递增，在，上单调递减，所以当 时，取得最大值，. 应用2 转换函数解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解. ［例2］ [2024·新课标Ⅱ卷]设函数，.当时，曲线与恰有一个交点.则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】方法一：令，即，可得， 令，， 原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点， 注意到，均为偶函数，可知该交点只能在 轴上，可得， 即，解得. 若，令，可得，因为，则，，当且仅当 时，等号成立，可得，当且仅当 时，等号成立，则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，所以 符合题意. 综上所述,. 方法二：令，， 原题意等价于 有且仅有一个零点， 因为，则 为偶函数， 根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即,解得. 若，则，， 又因为，,当且仅当 时，等号成立， 可得，当且仅当 时，等号成立， 即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意． 方法三：由曲线 与 恰有一个交点知，有且仅有一个根，即,令,,知 是偶函数，故. 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现. ［对点训练］．[2024·昆明模拟改编]已知函数，,当时，，则的取值范围为________________. 【答案】 【解析】因为当 时，, 等价于，令，，则 恒成立. , 当 时，由， 得，，时， ，单调递减，所以当，时，，不符合题意； 当 时，，因为， 所以，则，在 上单调递增，所以，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 应用3 构造函数解决问题 在数学各分支的形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是利用函数思想解题的更高层次的体现. ［例3］ 已知,分别满足,，则______. 【答案】2 【解析】由于,于是，从而,又由于,于是,从而,.则,构造函数,,根据其导函数 得到函数 在 上单调递增，从而 转化为,因此. 构造函数的策略 （1）直接构造：如果关系式的左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数. （2）变形构造：如果关系式的左右形式稍有差异，可适当变形后得到已知中出现的“两个变量”，然后利用结构相同，构造出一个函数，最后利用函数的性质解题. ［对点训练］． 1．设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2．已知，则“”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】1．A 2．C 【解析】 1．选A.因为指数函数，为 上的减函数，所以，.因为幂函数 为 上的增函数，所以，所以.因为对数函数 为 上的减函数，所以，即，所以. 2．选C.构造函数，则 在定义域 上恒成立，所以函数 为增函数，又因为，所以 ，所以，即，即 ，所以 ，即“”能推出“ ”，充分性成立；由 ，可得 ，即，所以，所以 ，即，所以“ ”能推出“”，必要性成立.所以“”是“ ”的充要条件. 应用4 借助方程（组）形式解决问题 把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理（如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件）使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法. ［例4］ [2024· 新课标Ⅰ卷]已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知条件及三角函数公式， 得 所以，， 故 利用条件建立待求量的方程（组），通过解方程（组）求出有关量，进而达到解题的目的. ［对点训练］． 1．[2024·全国甲卷]已知且，则__． 2．设非零向量，，满足，，， ，则的最大值为________. 【答案】1．64 2． 【解析】 1．由题意可知，，整理得，解得 或，又，所以，故. 2．因为，所以，两边平方，得，即，所以，解得，即 的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $