专题6 第2讲 基本初等函数、函数与方程-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第2讲 基本初等函数、函数与方程 考情分析 备考关键 考点 基本初等函数的图象和性质、函数与方程、函数模型及其应用. 考法 基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.函数零点的个数判断及参数取值范围是高考热点，常以压轴题的形式出现． 熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性与对称性问题；灵活应用处理函数零点的基本技巧，特别是数形结合的数学思想方法． 做真题 明方向 1．[2024·天津卷]若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由函数 单调递增可知，,又,故. 2．[2024·北京卷]已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为,为函数 的图象上两个不同的点，所以,,且,则,所以,所以,所以. 3．[2023·新课标Ⅰ卷]（多选） 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级／ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 己知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.因为随着的增大而增大，且，，所以,所以，故A正确；由，得，因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确. 研考点 破重难 考点一 基本初等函数的图象和性质 1.幂函数 的图象都过点，且第四象限内无图象，当时，在上单调递增，且图象过点；当时，在上单调递减. 2.指数函数，且与对数函数，且互为反函数，其图象关于直线对称，它们的图象和性质分，两种情况，着重关注两种函数图象的异同. ［例1］ （1） [2024·福建三校联考]已知幂函数的图象过点，设，,,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. （2） [2024·江西名校联盟]已知且，函数在上的最大值为，则在上的最小值为______. 【答案】（1） D （2） 5 【解析】 （1） 因为幂函数 的图象过点，所以,解得,即,故函数 在 上为增函数.因为,，,所以，故. （2） 函数 的定义域为,关于原点对称，由,得,令,，则，所以函数 为奇函数，因为函数 在 上的最大值为，所以函数 在 上的最大值为，所以函数 在 上的最小值为4，所以 在 上的最小值为. 基本初等函数的性质的应用技巧 （1）对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数的值不确定时，要注意分和两种情况讨论． （2）由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，往往通过换元法转化为若干个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断． ［对点训练］ 1．已知且,且，则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为 且，且,所以，所以，所以,所以函数 与函数 互为反函数，所以函数 与 的图象关于直线 对称，且具有相同的单调性． 2．[2024·乌鲁木齐检测]（多选）已知函数,,则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数是奇函数 C. 函数与的图象关于原点对称 D. 【答案】D 【解析】选.对于A，因为 在 上单调递增，在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故A正确； 对于B,因为, 所以,且 的定义域为，关于原点对称，所以 为奇函数，故B正确； 对于C，因为 为奇函数，图象关于原点对称，而 为偶函数，图象关于 轴对称，所以 与 的图象不会关于原点对称，故C错误； 对于D，,故D正确. 考点二 函数与方程 1.函数的零点与方程解的联系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标，所以方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点． 2.函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． ［例2］ （1） 若函数,则方程的实根个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （2） [2024 ·会宁考试]函数 有且只有一个零点的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） A （2） A 【解析】 （1） 由 则作出函数 的图象如图.由方程,得 或,所以方程 的实根个数为3. （2） 易知函数 的图象恒过点，所以函数 有且只有一个零点 函数 没有零点 函数 的图象与直线 无交点．分别作出函数 和 的图象如图所示，数形结合可得，或，即函数 有且只有一个零点的充要条件是 或，结合选项可知，A中条件是函数 有且只有一个零点的充分条件. 利用函数零点的情况求参数值 （或取值范围）的3种方法 ［对点训练］ 1．已知实数,,则函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为,,, 所以 在 上为增函数， 所以,, 所以， 则由零点存在定理可知，仅在区间 上存在零点. 2．已知函数,若存在2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. ， B. C. , D. , 【答案】D 【解析】选D.存在2个零点，故函数 的图象与 直线 有2个交点，画出函数图象，如图， 平移直线,可以看出当且仅当，即 时，直线 与函数 的图象有2个交点， 即,. 考点三 函数模型及其应用 应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键： （1）一般程序： . （2）解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答． ［例3］ （多选）第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物“蓉宝”备受人们欢迎.某大型超市推出“单次消费满1 000元可参加抽奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”．抽奖结果分为五个等级，等级与获得“蓉宝”的个数的关系式为，已知三等奖比四等奖获得的“蓉宝”多2个，比五等奖获得的“蓉宝”多3个，且三等奖获得的“蓉宝”个数是五等奖的2倍，则（ ） A. B. C. D. 二等奖获得的“蓉宝”个数为10 【答案】ABD 【解析】依题意，得 解得 所以 对于A，易知, 即, 得，所以，故A正确； 对于B，由，可知， 所以,所以， 所以，故B正确； 对于C，因为三等奖获得的“蓉宝”个数是五等奖的2倍，所以，所以，解得，故C错误； 对于D，由A，B，C得，即，所以，即二等奖获得的“蓉宝”个数为10，故D正确． 解决新概念信息题的关键 （1）仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析； （2）有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题. ［对点训练］．[2024·东北三省模拟]酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量大于或者等于，小于认定为饮酒驾驶，及以上认定为醉酒驾驶.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他能够正常驾驶至少要经过(结果取整数，参考数据：,)（ ） A. 1小时 B. 2小时 C. 3小时 D. 4小时 【答案】D 【解析】选D.设至少要经过 小时，则有，即，两边同时取对数得,即，因为,所以，又,所以，,即他能够正常驾驶至少要经过4小时. 数学美 “超级反比例”函数 ［问题背景］ 众所周知，反比例函数有下列性质. （1）图象无限靠近坐标轴但与坐标轴永远不相交.也就是说其图象是以直线为对称轴，两坐标轴为渐近线的等轴双曲线. （2）当时，在,上单调递减，当时，在,上单调递增.当，若是在定义域上的递增函数或递减函数，我们称函数是定义域上的“超级反比例”函数.2024年北京卷就是“超级反比例”函数. ［真题展示］．[2024·北京卷]生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中,分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.由题意，得,. 若 不变，则, 即,所以. ［试题演变］．（多选）函数的图象可以是（ ） 【答案】BC 【解析】选.的定义域为，由复合函数的单调性得，当 时,在,上单调递减,又当 时，，当 时，，结合选项知 符合；当 时,在,上单调递增，又当 时，,当 时，，结合选项知 符合. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $