第5章 加练6 几何图形中的等分面积与周长问题&综合与实践 几何剪拼构造特殊四边形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（河北专用）

第四节菱形 1.C2.D【变式】65°3.2 4.菱形ABCD的面积为1，周长为42. 5.D6.菱：127.38.证明略 9.C10.111.112.613.3 14.5【解析】如解图，经历三次折叠后，四边形JHF为菱 形.：四边形ABCD为菱形，AB=AD=BC=CD=3, ∴.DF=CE=a-3..四边形GCEH为菱形，∴.GC=CE=a 3,.DG=FH=3-(a-3)=6-a.四边形DGⅡ为菱形， ∴.D1=DG=6-a,.IF=a-3-(6-a）=2a-9.四边形 IJHF为菱形，.IF=HF,即2a-9=6-a,解得a=5. 15.(1)证明略 (2)AE=27 第五节正方形 1.2:22;W2:45;等腰直角：8；42.B3.B 4.75°【变式B 5.A6.正方：42：27.5 8.D9.B10.D【变式】411.36 12(1030:(2) ·【解析】(1)连接DH,如解图.根据正方 形的性质，得∠1+∠CHD=90°，∠CDH+∠CHD=90°， ∠2+∠CDH=90°，∴.∠2=∠CHD=90°-∠1=30°；(2)连 接CG,OD,过点O作OB⊥CH于点B,如解图.根据正方 形的性质，得∠0GcB=45”,0c=CG=×V2+2 2,0B=BC=×2=1Cn=H=1CD=0n= BC=1.:OB∥CD,四边形OBCD是正方形，∴.OD=1, ∠ODC=90°，∠0DH=30°，过点0作0F⊥I于点F,交 Dm于点E,则EF=2,0E=20n= 2OF=EF+0E G E 13.S正方形Pw=40. 加练6几何图形中的等分面积与周长问题 14.5:2 2.3w5 3.解：(1)如解图1.（前两个图画法不唯一，过中心即可） 圆 平行四边形 等腰三角形 解图1 16 (2)如解图2，连接AC,BD交于点O,连接OP并向两边延 长分别交AD,BC于点M,N,则直线MP即为所求. 解图2 解图3 (3)如解图3. 【拓展设问】存在过点P的等分线.AP= 2 4.解：(1)如解图1，直线AD即为所求， (2)如解图2，直线BE即为所求 B B 解图1 解图2 5.23-n 6.解：【问题思考】(1)=.(2)= 【深入思考】SAEc;SAE4C;S△HBE;S△AwE 【推广探究】：O是BD的中点， .OA平分△ABD的面积，OC平分△CBD的面积， ·.折线A-O-C平分四边形ABCD的面积， 1 即S助形am25a形 AC∥OP,.SAHc=S△PHc, SAARG+SAONC=SAANG+SAPAC 1 即S动形0=S边形F之S边形D, ,AP平分四边形ABCD的面积 综合与实践几何剪拼构造特殊四边形 【操作发现】△EAG 【探究证明】(1)1. (2)证明：如解图，由题意得，E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180 得到四边形EAQL,将四边形OHDG绕点H旋转180°得到 四边形JHAP,将四边形OGCF放在左上方空处， 则AO=BF=CF,AP=DG=CG,∠BFO=∠AOL,∠CFO =∠AOK .·∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°，∠QAE=∠B,∠PAH= ∠D,∠PAQ=∠C. .∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ=360° .·∠BF0+∠CF0=180°，.∠AQL+∠AQK=180°、 .K,Q,L三点共线，同理K,P,J三点共线. 由操作得，∠2=∠L,∠3=∠1. .·∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， ,∠1+∠L=180°，∠1+∠J=180°， ∴.OJK,OLK, ·四边形OKL为平行四边形. 第六章圆 第一节圆的相关概念与性质 1.B:C2.4【变式】43.D4.50 5.证明略.6.87.58.(2，-2) 9.B10.B11.60°12.113.B14.559 15.D16.C17.69°18.116°19.23 20.(1)喷泉的半径为5米. (2)大约需要安装25盏景观灯 21.(1)∠C=76°，AB≈6.8m. (2)画出线段DH略.最大水深约为2.6m 22.C23.30°或150 第二节与圆有关的位置关系 1.C2.B3.C【拓展设问】44.C5.证明略 6.(1)证明略.(2)0E=20cm 7.B8.59.B【变式】B10.C11.25° 12.(1)证明略.(2)a=50°.(3)40°<a<90°. 13.B14.C15B16.D17.C18.37 4 19.(1)①证明略.②∠2=∠1+∠C.理由略 2)当∠C最大时，CP与小半圆相切.Sm=, 20.D 第三节圆的相关计算（含圆与正多边形） 1A2A3c424057g 6.15π 7.80°8.A9.3 10.2w55 F11.B12.A1B.6+2 2 14.(1)劣弧A,A,更长 (2)A,A,⊥PA,.理由略 (3)PA,=123 15.C 综合与实践探究平面图形的最小覆盖圆 解：【探究一】三角形的任意两边之和大于第三边. 【探究二】点C在⊙O上.理由如下： 连接OC,.·∠ACB=90°，0为AB的中点 ∴.0C=OA=0B,.点C在⊙0上 【拓展应用】(1)如解图1，⊙O即为矩形ABCD的最小彩 盖圆. 解图1 (2)5. (3)2【解法提示】如解图2，作AD的垂直平分线1， 分别交AD于点L,交BC于点J,∴.四边形ABL,四边形 DCJL是两个全等的矩形，AL=DL=1=BJ=CJ.用两 个等圆完全覆盖矩形ABCD,.两圆一定过L,J,连接A, BL,CL,DJ,交点分别为Q,K,同理，这样的两个等圆的最 小直径为AJ或BL或CL或D,.最小直径为√+1平= √2.如解图3，作AB的垂直平分线分别交AB,CD于点V, 点W,同法作⊙Q,⊙K,此时不是直径最小的等圆.综上所 述，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD,则这样的两个等圆 的最小直径为√2cm. D 解图2 解图3 第七章图形的变化 第一节尺规作图 1.B2.D3.D4.40°5.56 6.(1)如解图，DE即为所求. A (2)AB=12,∠ADC=60°. 7.(1)如解图，BM即为所求 C 13 (2)AM=5cm. 8.B9.D10.14 11.解：如解图，正方形ABCD即为所求 D B 12.解：如解图，点P即为所求 A -D B 17加练6几何图形中的等分面积与周长问题 (2025.23,2024.19) 类型1过图形的对称中心的直线等分周长 (2)请在图2中画出一条直线MP,使得M在 和面积(2025.23) AD上，且直线MP是口ABCD的等分线， 1.(2024唐山曹妃甸区模拟)如图，在平面直角 坐标系中，口ABCD的顶点分别为A(1,2), B(4,2),C(7,5). 图2 (3)请在图3中画一条直线1，使它既是矩形的 (1)点D的坐标为 等分线，也是圆的等分线 (2)当正比例函数y=x的图象平分口ABCD 的面积时，k的值为 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,延长BA 至E,使AE=AB,以AE为边向右侧作正方形 AEFG,O为正方形AEFG的中心，若过点O的一 图3 条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF, BC于点M,N,则线段MN的长为 拓展设问如图4，在Rt△ABC中，∠A=90°， AB=3,AC=4,点P是边AB上的动点，问是否 存在过点P的等分线？若存在，求出AP的长， 若不存在，请说明理由： B 3.定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周 长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封 闭图形的等分线， 图4 (1)请在图1的三个图形中，分别画出各图形 的一条等分线 圆 平行四边形 等腰三角形 图1 86 类型2三角形的中线（或等分线）等分三 【深入思考】 角形的面积(2024.19) 有了这样思考问题的经历，于是嘉嘉对探究四 4.图1、图2都是6×6的正方形网格，每个小正方 边形ABCD内作一条直线将它分成面积相等 形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点 的两部分给出一种思路：如图3，嘉嘉作如下辅 上，在给定的网格中，按下列要求画图：（只用 助线：①连接对角线AC,②作DE∥AC交BC的 无刻度的直尺，保留作图痕迹，不写画法)》 延长线于点E,连接AE;③取BE的中点M,则 (1)在图1中，过点A画一条平分△ABC周长 直线AM为所求直线 的直线AD: (2)在图2中，过点B画一条平分△ABC面积 的直线BE. 图3 嘉嘉还尝试从理论上给予说明，请你帮助他将 说理过程补充完整： AC//DE, 图1 图2 ∴.S△DAC= (由问题2的结论得)， 5.[规律探索]如图，AP,为△ABC的中线，AP2 .S四边形ABCD=S△ABc+SADAC=SAABG+ 为△AP,C的中线，AP3为△AP2C的中线，… 即S四边形ABcD= M是BE的中点， 按此规律，AP.为△APnC的中线.若△ABC .S△ABw= （由问题1的结论得)， 的面积为8，则△APC的面积为 .AM平分△ABE的面积， 即AM平分四边形ABCD的面积. 【推广探究】 B P P.P 琪琪又给出另一种思路：如图4，琪琪作如下辅 拓展类型3作辅助线转化为中线，从而等 助线：①连接对角线AC和BD:②取BD的中 分面积 点O;③连接OA,OC;④过点0作AC的平行 6.嘉嘉和琪琪在探究四边形ABCD内作一条直 线与CD交于点P,则直线AP则为所求直线. 线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困 请你尝试独立完成琪琪的说理过程. 难，于是两位同学想到了先从三角形开始 研究 图4 图1 图 【问题思考】 (1)如图1，若AD是△ABC的中线，则SAm SA4C(填“>”“<”或“=”)； (2)如图2，若ADBC,则S△ABG S△BcD (填“>”“<”或“=”)； 87 综合与买践 河北2024、2025年连续考查@ 几何剪拼构造特殊四边形 【操作发现】平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2.在图2中，四边形 ABCD为梯形，AB∥CD,E,F分别是边AD,BC上的点.经过剪拼，四边形GHJK为矩形，则△EDK≌ 图1 图2 【探究证明】探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5.在图5 中，E,F,G,H分别是四边形ABCD边上的中点，四边形OJKL是拼接之后的图形. (1)AE与EB的比值为 (2)证明：四边形OJKL为平行四边形. ④/① k4④③ 图3 图4 图5 88