第3章 综合与实践 桔槔拉力实验与F-l关系探究&电流最值问题的数学探究-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（河北专用）

综合与买践 河北2024、2025年连续考查@ 桔槔拉力实验与F-1关系探究 (2025贵州)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gā0)的古代汲水工具（如图1），有一横 杆固定于桔槔上0点，并可绕0点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且 OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距离1时，横杆始终处于水平 状态，小星发现F与1有一定的关系，记录了拉力的大小F与1的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a (1)表格中a的值是 (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与1之间的关系.在如图2所示的平面直角坐标 系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由. ↑FN "T 300 竿 O坠石B 200 100 0 3 l/m 图1 图2 51 综合与买践 河北2024、2025年连续考查@ 电流最值问题的数学探究 【学习主题】探究电流最值 【课题背景】数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设 计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模 型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习。 【学习素材】 名称 内容 备注 用总长60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S(单位：m)随矩形 素材1 课本例题 边长l(单位：m)的变化而变化 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大.1×100,2×99,3×98,4× 素材2 课本数学活动 97,…,99×2,100×1 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：R点=R,+R 素材3 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和尽人+化 物理学知识 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系1= R R 【研究步骤】1.画出电路图.在如图1所示的电路中，R= 22,R2=32,滑动变阻器的最大电阻R3=52,其等效电 R R A 路图如图2所示，其中Rp+Rp=R,: -52 5 2.根据电路图连接实验器材，图略. 图1 图2 3.闭合开关，在滑片从M端滑到N端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据. 【解决问题】(1)在素材1中，当1= m时，场地的面积S最大 (2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由. (3)设Rwp=x2,总电阻为Ra ①当x为何值时，R急有最大值？并求出这个最大值； ②电流表A示数的最小值为 52大面积为72m2 点()Ψ与：的函数关系式为W=了 (2)①Q与x的函数关系式为Q=12-4x. ②当x为2时，Q是W的3倍. 6.(1)y1=0.6x,y3=-0.2x2+2.2x. (2)①W=-0.2(t-4)2+9.2. 甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得 的销售利润之和最大，最大利润是9200元. ②乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适 综合与实践桔槔拉力实验与F-(关系探究 (1)100.(2)描点并画图略.(3)减小.理由略 综合与实践电流最值问题的数学探究 (1)15 (2)50×51和51×50的积最大.理由略. (3)①当x=3时，R6有最大值，最大值为】1②2 第四章三角形 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题) 1.C2.B【变式】不是：经过两点有且只有一条直线 3.D4.C5.75°6.>7.60°8.D9.B10.D11.C 12.1113.D14.C15.C 16.证明：.ABCD,∴.∠ACD=∠1. ∠1=∠2，∴.∠ACD=∠2，∴.AEDF 17.D18.C19.D20.C21.C 22.B【解析】.·ABL,CD∥l,∴.AB∥CD,∴.∠BCD=∠ABC =60°..·∠BAC=50°，.∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC= 70°，∴.当AM∥BE时，∠MAC=∠ACB=70°. 23.90°24.130° 第二节三角形的分类及其基本性质 1.A2.C3.D 4.B【拓展设问】70：锐角：112：钝角 5.B6.105°7.45 8.2(答案不唯一，也可填3或4或5或6) 9.证明：，'∠1=∠C,∴.∠C+∠CAD=∠1+∠CAD=90° ,·在△ADC中，∠ADC=180°-（∠C+∠CAD)=90°， .AD⊥BC. 10.B11.B12.C13.D 14.70°15.<16.7217.减少；1018.360°19.85 第三节三角形中的重要线段 1.B2.A【变式设问】B:C 3.C4.B5.C 6.(1)130:(2)100:(3)= 7.(101:(2)①=：22：3 8C9B10.C11.0<MN<412. 7 13.(1)AF=8.(2)∠BAF=50. 第四节等腰三角形 1.D2.D3.B 4.65.55°【拓展设问】35°：3 6.60°【拓展设问】6：√3 14 7.100°8.105°9.C10.C11.C12.D 13.1514.3【变式】6或4.5 15.35°或72.5°或110 16.x的值为2或5或3.5. 第五节直角三角形 1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.2W3 9.(1)BC=10W3.(2)CD=15-53 10.C11.B12.B13.B14.B15.B16.B17.C 18.2719.(1)20:(2)1320.2或25 8 21.76:6【解析】A,A2⊥A0,∠0=7°，∴.∠2=90°-∠0= 83°，.∠1=∠2=83°，.∠A4,A2=180°-83°×2=14°， .∠A=90°-∠AM,A2=90°-14°=76°；如解图，设从点A, 到点A。处时，光线反射能沿原路返回到点A,此时， An-1An⊥0A或An-1An⊥OB.当An1An⊥0A时，∠3=∠4= 83°，∴.∠6=∠5=∠4-∠0=83°-7°=76°=90°-2×7°， ∴.∠8=∠7=∠6-∠0=76°-7°=69°=90°-3x7°，.∴∠9= ∠8-∠0=69°-7°=62°=90°-4×7°.由以上规律可知， ∠A=90°-2n·7°，当n=6时，∠A取得最小值，最小度数 为6°：当An-14n10B时，同理可得∠A=90°-(2n-1)·7°， 当n=6时，∠A取得最小值，最小度数为13°.综上所述， 锐角∠A的最小值为6° B A A.-3A 欧 A -0 A 78 22.(1)42+1. (2)(n2-1)2+(2n)2. (3)这个直角三角形的面积为336. 第六节全等三角形 1.A2.B3.B4.8 5.证明略.6.证明略.7.证明略 8.(1)全等.理由略. (2)△CDE是直角三角形.理由略. 9.D 10.315 11.(1)1:(2)7【解析】(1)如解图，连接B,D,C,D SAc=2,AD为BC边上的中线，.SAm=SAGn= 厂)SAc=1.由题意，得AC=AC,=CC,=C,C,=CC, 5 CC..AD AD,D:D:D:D, 1 DD.ABAB 4 (AC)=AC, 服.在△1Cn和△1CD中 ∠C,AD,=∠CAD. AD,=AD. .△AC,D1≌△ACD,∠C,D,A=∠CDA,S△cB,=S△ACn= (AB,=AB, 1;(2)在△AB,D,和△ABD中， ∠B,AD1=∠BAD, AD =AD, △AB,D1兰△ABD,S△B,L,=S△Am=1,∠BDA= ∠BDA..∠BDA+∠CDA=180°，∴.∠B,D1A+∠C,D1A= 180°，C1,D1,B三点共线，.S△B6,=S△，+S△4c0,= 2.AC,=C,C2=C,C3=C,C4,.S△B,6=4S△4B,91=8.