第4章 第1节 线段、角、相交线与平行线(含命题)-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（河北专用）

第四章 第一节 线段、角、相 一阶基础分点练 考点1直线与线段(10年3考) 1.(2021河北1题变式)如图，P为下列某条直线 上的一点，利用直尺判断，该直线为( A.直线a B.直线b C.直线c D.直线d 第1题图 第2题图 2.如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周 长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象 的数学知识是 A.四边形周长小于三角形周长 B.两点之间，线段最短 C.两点确定一条直线 D.经过一点有无数条直线 变式如图，将甲、乙两把尺子拼在一起，两端 重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺 (填“是”或“不是”)直的，判断依据是 考点2角与角平分线(10年5考：202410,2023.26) 3.用量角器测量∠MON的度数，下列操作正确 的是 0 D 三角形 交线与平行线（含命题) 4.(2025石家庄一模)如图，已知点0在直线AB 上，OC为一条射线，射线OM和ON分别平分 ∠A0C和∠B0C,若∠C0N=68°，则∠A0M= ( A.34° B.33° C.22° D.11° 11 12 10 3 M B 第4题图 第5题图 5.如图，钟表上的时间是下午3：30，时针与分针 所组成的小于平角的角的度数是 6.比较大小：52°15 52.15°.（填“>” “<”或“=”) 7.一个角的补角是它的余角的4倍，这个角的度 数是 考点3垂线与相交线(10年4考：2024.11) 8.如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂 线的条数有 () -m A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 9.（2025石家庄新华区校级期中)如图是一把剪 刀，在使用过程中，若∠C0D增加20°，则 ∠AOB () A.减少20° B.增加20° C.不变 D.增加40° P Q04 B A 第9题图 第10题图 10.如图，已知PB⊥AC于点B,若PA=7,PB=5, PC=9,Q是线段BC上一动点，则线段PQ的 长度可能是 () A.4 B.4.9 C.9.1 D.7 53 11.跨学科物理-光的折射光线从空气射入玻 璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象.如 图，光线a从空气中射入玻璃，再从玻璃中射 入空气，形成光线b,下列说法不正确的是 空气 2 玻璃 入3 空气 A.∠2与∠4是内错角 B.∠2与∠3是同旁内角 C.∠1与∠2是对顶角 D.∠3与∠4互为邻补角 12.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆 心，大于)C的长为半径面弧，两弧相交于 点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于 点E,连接BD.若AC=16,BD=5,则AD的长 为 考点4平行线的性质与判定（必考） 13.(2025湖北)数学中的“≠”可以看作是两条平 行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图 所示.若∠1=56°，则∠2的度数是 2 A.34° B.44° C.46° D.56° 14.[中华优秀传统文化](2025河北2题3分) 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方 式.如图是某个构件的截面图，其中ADBC, ∠ABC=70°，则∠BAD= A.70° B.100° C.110° D.130° 54 15.（2025邯郸广平县期末)如图，能判定直线 a仍的条件是 () 3 b- A.∠3=∠4 B.∠1=∠2 C.∠1=∠4 D.∠1+∠2=909 16.如图，已知点C在AE上，AB∥CD,∠1=∠2. 求证：AE∥DF E 考点5命题与定理(2021.13) 17.(2021河北13题变式)嘉淇在证明“角的内 部到角的两边的距离相等的点在角的平分线 上”时给出如下过程： 已知：如图，点P在OC上，PD⊥OA于点D, PE⊥OB于点E,且PD=PE B 求证：OC是∠AOB的平分线。 证明：通过测量可得∠A0C=23°，∠B0C=23°， ∴.∠AOC=∠B0C, .OC是∠AOB的平分线 关于这个证明，下面说法正确的是 A.嘉淇用到了从特殊到一般的方法证明该 定理 B.只要测量一百个到角的两边的距离相等的 点都在角的平分线上，就能证明该定理 C.不能只用这个角，还需要用其他角度进行 测量验证，该定理的证明才完整 D.嘉淇的方法可以用作猜想，但不属于严谨 的推理证明 二阶综合提升练 18.(2025齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和 直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数 是 30 A.50° B.60° C.70° D.80° 19.数学课上，嘉嘉进行了如下操作： ①作射线AM; ②在射线AM上依次截取AC=CD=a; ③在线段DA上截取DB=b: ④分别找到线段AC,BD的中点E,F. a b A广 E CB F D M 下列说法错误的是 ( A.AB=2a-b B.AD=2a C.EF-7 31 31 D.EF=20+26 2 20.(2022河北11题2分)要得知作业纸上两相 交直线AB,CD所夹锐角的大小，发现其交点 不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了 如下间接测量方案（如图1和图2）： 方案I B N -D 图1H ①作直线GH,交AB,CD于点E,F; ②利用尺规作∠HEN=∠CFG: ③测量∠AEM的大小即可. 方案Ⅱ D 图2H ①作直线GH,交AB,CD于点E,F; ②测量∠AEH和∠CFG的大小； ③计算180°-∠AEH-∠CFG即可. 对于方案I、Ⅱ，说法正确的是 () A.I可行、Ⅱ不可行B.I不可行、Ⅱ可行 C.I、Ⅱ都可行 D.I、Ⅱ都不可行 21.(2023河北15题2分)如图，直线11∥亿2，菱形 ABCD和等边三角形EFG在L1,l2之间，点A, F分别在L1,l2上，点B,D,E,G在同一直线 上.若∠=50°，∠ADE=146°，则∠B=() G F A.42° B.43° C.44° D.45 22.[生活情境]某市为了方便市民绿色出行，推 出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车 放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其 中AB,CD都与地面1平行，∠BCD=60°， ∠BAC=50°，当AM∥BE时，∠MAC=( 图1 图2 A.15° B.70° C.85° D.115 23.跨学科音乐-五线谱五线谱是一种记谱 法，通过五根等距离的平行线上标以不同的 音符构成旋律.如图，AB和CD是五线谱上 的两条线段，点E在AB,CD之间的一条平行 线上.若∠1=120°，∠2=30°，则∠BEC的度 数是 B 2 D 24.如图，AB∥CD,直线l分别交AB,CD于点E, G,EF平分∠BEG,若∠2-∠1=20°，则∠EFD 的度数是 55大面积为72m2 点()Ψ与：的函数关系式为W=了 (2)①Q与x的函数关系式为Q=12-4x. ②当x为2时，Q是W的3倍. 6.(1)y1=0.6x,y3=-0.2x2+2.2x. (2)①W=-0.2(t-4)2+9.2. 甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得 的销售利润之和最大，最大利润是9200元. ②乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适 综合与实践桔槔拉力实验与F-(关系探究 (1)100.(2)描点并画图略.(3)减小.理由略 综合与实践电流最值问题的数学探究 (1)15 (2)50×51和51×50的积最大.理由略. (3)①当x=3时，R6有最大值，最大值为】1②2 第四章三角形 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题) 1.C2.B【变式】不是：经过两点有且只有一条直线 3.D4.C5.75°6.>7.60°8.D9.B10.D11.C 12.1113.D14.C15.C 16.证明：.ABCD,∴.∠ACD=∠1. ∠1=∠2，∴.∠ACD=∠2，∴.AEDF 17.D18.C19.D20.C21.C 22.B【解析】.·ABL,CD∥l,∴.AB∥CD,∴.∠BCD=∠ABC =60°..·∠BAC=50°，.∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC= 70°，∴.当AM∥BE时，∠MAC=∠ACB=70°. 23.90°24.130° 第二节三角形的分类及其基本性质 1.A2.C3.D 4.B【拓展设问】70：锐角：112：钝角 5.B6.105°7.45 8.2(答案不唯一，也可填3或4或5或6) 9.证明：，'∠1=∠C,∴.∠C+∠CAD=∠1+∠CAD=90° ,·在△ADC中，∠ADC=180°-（∠C+∠CAD)=90°， .AD⊥BC. 10.B11.B12.C13.D 14.70°15.<16.7217.减少；1018.360°19.85 第三节三角形中的重要线段 1.B2.A【变式设问】B:C 3.C4.B5.C 6.(1)130:(2)100:(3)= 7.(101:(2)①=：22：3 8C9B10.C11.0<MN<412. 7 13.(1)AF=8.(2)∠BAF=50. 第四节等腰三角形 1.D2.D3.B 4.65.55°【拓展设问】35°：3 6.60°【拓展设问】6：√3 14 7.100°8.105°9.C10.C11.C12.D 13.1514.3【变式】6或4.5 15.35°或72.5°或110 16.x的值为2或5或3.5. 第五节直角三角形 1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.2W3 9.(1)BC=10W3.(2)CD=15-53 10.C11.B12.B13.B14.B15.B16.B17.C 18.2719.(1)20:(2)1320.2或25 8 21.76:6【解析】A,A2⊥A0,∠0=7°，∴.∠2=90°-∠0= 83°，.∠1=∠2=83°，.∠A4,A2=180°-83°×2=14°， .∠A=90°-∠AM,A2=90°-14°=76°；如解图，设从点A, 到点A。处时，光线反射能沿原路返回到点A,此时， An-1An⊥0A或An-1An⊥OB.当An1An⊥0A时，∠3=∠4= 83°，∴.∠6=∠5=∠4-∠0=83°-7°=76°=90°-2×7°， ∴.∠8=∠7=∠6-∠0=76°-7°=69°=90°-3x7°，.∴∠9= ∠8-∠0=69°-7°=62°=90°-4×7°.由以上规律可知， ∠A=90°-2n·7°，当n=6时，∠A取得最小值，最小度数 为6°：当An-14n10B时，同理可得∠A=90°-(2n-1)·7°， 当n=6时，∠A取得最小值，最小度数为13°.综上所述， 锐角∠A的最小值为6° B A A.-3A 欧 A -0 A 78 22.(1)42+1. (2)(n2-1)2+(2n)2. (3)这个直角三角形的面积为336. 第六节全等三角形 1.A2.B3.B4.8 5.证明略.6.证明略.7.证明略 8.(1)全等.理由略. (2)△CDE是直角三角形.理由略. 9.D 10.315 11.(1)1:(2)7【解析】(1)如解图，连接B,D,C,D SAc=2,AD为BC边上的中线，.SAm=SAGn= 厂)SAc=1.由题意，得AC=AC,=CC,=C,C,=CC, 5 CC..AD AD,D:D:D:D, 1 DD.ABAB 4 (AC)=AC, 服.在△1Cn和△1CD中 ∠C,AD,=∠CAD. AD,=AD. .△AC,D1≌△ACD,∠C,D,A=∠CDA,S△cB,=S△ACn= (AB,=AB, 1;(2)在△AB,D,和△ABD中， ∠B,AD1=∠BAD, AD =AD, △AB,D1兰△ABD,S△B,L,=S△Am=1,∠BDA= ∠BDA..∠BDA+∠CDA=180°，∴.∠B,D1A+∠C,D1A= 180°，C1,D1,B三点共线，.S△B6,=S△，+S△4c0,= 2.AC,=C,C2=C,C3=C,C4,.S△B,6=4S△4B,91=8.