第3章 第9节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（河北专用）

第九节 二次函数的实际应用 类型1抛物线型问题(2023.23,2018.26) 2.(2025陕西)某景区大门上半部分的截面示意 1.(2025廊坊安次区一模)掷实心球是中招体育 图如图所示，顶部L,左、右门洞L2,L3均呈抛 考试的选考项目，如图1是一名女生掷实心 物线型，水平横梁AC=16m,L,的最高点B到 球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 AC的距离B0=4m,L2,L3关于B0所在直线 y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2 对称.MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1上，点 5 P,Q分别在L2,L3上，MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥ 所示，掷出时起点处高度为3m,当水平距离 AC.以O为原点，AC所在直线为x轴，B0所在 为3m时，实心球行进至最高点3m处 直线为y轴，建立平面直角坐标系 (1)求抛物线的函数表达式： (1)求抛物线L,的函数表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过 (2)已知抛物线L,的函数表达式为y= 程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或 x4,0=m求N的长 3 等于7.80m,此项考试得分为满分10分，判断该 女生在此项考试中是否得满分，并说明理由； (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴 都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成 绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得 满分？ 0 图1 图2 48 3.(2023河北23题10分)嘉嘉和淇淇在玩沙包 类型2几何图形问题(2020.23) 游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请 4.(2024秋张家口万全区期末)如图，ABCD是一 解答这道题. 块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代 改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边 表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看成 上，点G在AD的延长线上，DG=2BE,设BE 点)抛出，其运动路线为抛物线C:y=a(x 的长为xm. 3)2+2的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接住， (1)若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正 然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 方形苗圃ABCD的面积相等，求此时BE的长； G g令+c1的一部分 (2)当x为何值时，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积最大？并求出最大面积. (1)写出C,的最高点坐标，并求a,c的值： (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点 A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙 包，求符合条件的n的整数值 ↑y/m C 6 x/m 49 5.用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的 类型3利润问题(2017.26) 最大承重量，实验室有一些同材质同长同宽而 6.根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏 厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W 季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜 与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x=3 的销售利润y,(千元)与进货量x(吨)之间的 时，W=3. 函数y,=kx的图象如图1所示，乙种蔬菜的销 (1)求W与x的函数关系式 售利润y,(千元)与进货量x(吨)之间的函数 (2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分 y2=ax2+bx的图象如图2所示 割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不 (1)分别求出y1y2与x之间的函数关系式. 计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米)，Q= (2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10 W厚一W薄 吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨 ①求Q与x的函数关系式； ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W ②x为何值时，Q是W的3倍？ (千元)与t(吨)之间的函数关系式，并求当这 【注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围)】 两种蔬菜各进多少吨时，获得的销售利润之和 长 宽 最大，最大利润是多少元； ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400 薄板→ 元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 厚板 y/千元 y/千元 x/吨 x/吨 图1 图2 50(2)流水时间为1h时，水面高度为18cm. (3)经过150min,甲容器内的水恰好流完 7.7000 8.(1)充电1.5小时后的电量为35% (2)若该电动车要从5%充到85%，需要充电3.2小时. (3)第二款电动车的充电时长为1.2小时. 9.(1)该铜棒的伸长量为1.7×10-5×0.6×50=5.1×10-4 (m). 1.8×10-3 (2)a-25x80-201.2x10 该铁棒温度的增加量为40℃. (3)该铁棒温度的增加量为68℃ 第五节反比例函数及其应用 1C2D3.B4C566m>27.18B 9.-210.-5(答案不唯一，满足-9<k<-4即可)11.18 12.D13.-1(答案不唯一，是小于0的整数即可) 14.(1)m=3,n=1,k=4.(2)a的取值范围为a>1. 15.C16.D17.C18.B19.420.-4【变式】D 21.(1)(4,15);(2)4 22(1)m与1之间的函数关系式为=30 (2)它的平均速度是36km/h. (3)行驶时间应不少于22.5分钟 第六节二次函数的图像与性质、图象与系数的关系 1C【变式设问】下；直线x=-2;(-2,4) 2.C【变式】D3.B4.C【变式】A5.C 6.(1)大：0：(2)y≤-9：(3)y≤-1：(4)-4≤y≤0 7.D8.C9.D10.A11.A【变式】812.22 13.(1)C的对称轴为直线x=6,y的最大值为4，a=7. (2)点P移动的最短路程为5. 14.A15.C16.1+5或4-√5 第七节二次函数解析式的确定、图象的 变换、与一元二次方程的关系 1 1C2.=-2x-33=2++4 4.y=-x2+x+2(答案不唯一) 5.D6.D7.-68.C9.B 10.(1)A(-3,9),B(1,1).(2)S△0B=6. (3)y1<y,时x的取值范围为-3<x<1. 11.C12.D13.A14.C15.-516. 6 17.(1)抛物线1的解析式为y=-(x-4)2+2,1的对称轴为直 线x=4,顶点坐标为(4,2). (2)h的值为-2+√2或-7-√2 第八节二次函数图象与性质的应用 1.0<a<8或a>2 2.-8<k<1 3.D【解析】抛物线L:y=-x(x-3)+c=-x2+3x+c可以看作 是由抛物线y=-x(x-3)向上平移c个单位长度得到的 要使抛物线L与直线1在0≤x≤3范围内只有1个交点， 则分两种情况：①如解图1，当c≤2时，联立 =-+3x+,整理，得x2-2x+2-c=0.抛物线L与直线1 (y=x+2, 有唯一公共点，.该方程有两个相等的实数根，∴(-2)2 4(2-c)=0,解得c=1:②如解图2，当c>2时，将(3,5)代 入y=-x(x-3)+c,得c=5,.当2<c≤5时，抛物线L与直 线1有唯一公共点.c是整数，c可以为3,4,5.综上所 述，c的值为1或3或4或5，.甲、乙均不正确，且合在一 起也不正确 A 3 3 解图1 解图2 4.（1)抛物线L的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)的取值范围为4<<4 25 1 1 52a≤-4 6.2或4 7.(1)k=-1,c=4b-4.(2)90个. 8.D9.32 10.(1)抛物线L的解析式为y三-)x2-2x+6. 抛物线L经过点A. (2)点户到直线1距商的最大值为 加练4含参函数图象过定点问题 1.方法一：(1-x):1-x:1:1:3:(1,3) 方法二：x2+2x:x2+x+1:x2+2x=x2+x+1:1:1:3:(1,3) 2.A3.B4.-35.(0,1):(-2.-1) 6.(1)(2,3):(2)3 7.n关于m的函数n=(m-2)+1的图象必过定点，且该定 点的坐标为(2,1). 加练5函数图象之间的公共点问题 1.A2.B3.A4.A 5.(1)-2<b<2:(2)b>2或b<-2 6>0或t=-47.(1)(-4,-2)；(2)a<0或a≥2 5 第九节二次函数的实际应用 4 1(1)抛物线的函数表达式为y27x-3)°+3.， (2)该女生在此项考试中没有得满分.理由略。 (③)出点的高度至少达到号m时.可得满分 2(1)抛物线乙，的函数表达式为y=石+4 (2)MN=12m. 1 3.(1)C,的最高点坐标为(3,2)，a=-9,c=1. (2)符合条件的n的整数值为4和5. 4.(1)此时BE的长为4m. (2)当x为2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最 13 大面积为72m2. 5(1)即与x的函数关系式为W=了子 (2)①Q与x的函数关系式为Q=12-4x. ②当x为2时，Q是W的3倍. 6.(1)y1=0.6x,y2=-0.2x2+2.2x. (2)①W=-0.2(t-4)2+9.2. 甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得 的销售利润之和最大，最大利润是9200元. ②乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适. 综合与实践桔槔拉力实验与F-(关系探究 (1)100.(2)描点并画图略.(3)减小.理由略. 综合与实践电流最值问题的数学探究 (1)15 (2)50×51和51×50的积最大.理由略 (3)①当x=3时，R有最大值，最大值为子Q.②2 第四章三角形 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题) 1.C2.B【变式】不是：经过两点有且只有一条直线 3.D4.C5.75°6.>7.60°8.D9.B10.D11.C 12.1113.D14.C15.C 16.证明：.ABCD,∴.∠ACD=∠1. ·∠1=∠2，∴.∠ACD=∠2，∴.AE∥DF 17.D18.C19.D20.C21.C 22.B【解析】.ABL,CD,∴.AB∥CD,∴.∠BCD=∠ABC =60°.∠BAC=50°，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC= 70°，∴.当AM∥BE时，∠MAC=∠ACB=70°. 23.90°24.130° 第二节三角形的分类及其基本性质 1.A2.C3.D 4.B【拓展设问】70：锐角：112：钝角 5.B6.105°7.45 8.2(答案不唯一，也可填3或4或5或6) 9.证明：.·∠1=∠C,.∴.∠C+∠CAD=∠1+∠CAD=90°. .·在△ADC中，∠ADC=180°-（∠C+∠CAD)=90°， .AD⊥BC. 10.B11.B12.C13.D 14.70°15.<16.7217.减少；1018.360°19.85 第三节三角形中的重要线段 1.B2.A【变式设问】B:C 3.C4.B5.C 6.(1)130:(2)100:(3)= 7.(1)1:(2)①=：22：5 2 8C9.B10.C11.0<MN<412.10 13.(1)AF=8.(2)∠BAF=50° 第四节等腰三角形 1.D2.D3.B 4.65.55°【拓展设问】35°：3 6.60°【拓展设问】6：√3 14 7.100°8.105°9.C10.C11.C12.D 13.1514.3【变式】6或4.5 15.35°或72.5°或110° 16.x的值为2或5或3.5 第五节直角三角形 1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.2√3 9.(1)BC=10W3.(2)CD=15-5N3. 10.C11.B12.B13.B14.B15.B16.B17.C 18.2719.(1)20:(2)1320.2或 21.76:6【解析】.A,A,⊥A0,∠0=7°，∴.∠2=90°-∠0= 83°，.∠1=∠2=83°，.∴.∠AA1A2=180°-83°×2=14°， .∠A=90°-∠A4142=90°-14°=76°；如解图，设从点A1 到点An处时，光线反射能沿原路返回到点A,此时， An-14.⊥0A或An-4.⊥0B.当An-14n⊥0A时，∠3=∠4= 83°，∴.∠6=∠5=∠4-∠0=83°-7°=76°=90°-2×7°， .∠8=∠7=∠6-∠0=76°-7°=6°=90°-3×7，.∠9= ∠8-∠0=69°-7°=62°=90°-4×7°.由以上规律可知， ∠A=90°-2n·7°，当n=6时，∠A取得最小值，最小度数 为6°：当An1An10B时，同理可得∠A=90°-(2n-1)·7°， 当n=6时，∠A取得最小值，最小度数为13°.综上所述， 锐角∠A的最小值为6° B A A -0 A, A4A 76 22.(1)42+1. (2)(n2-1)2+(2n)2. (3)这个直角三角形的面积为336 第六节全等三角形 1.A2.B3.B4.8 5.证明略.6.证明略.7.证明略 8.(1)全等.理由略. (2)△CDE是直角三角形.理由略 9.D 10.315° 1L.(1)1;(2)7【解析】(1)如解图，连接B,D1,C,D SABc=2,AD为BC边上的中线，.S△ABm=S△AD= 2Sac=1.由题意，得AC=AC,=C,C,=C,C,=C,C,= 1 1 1 5 CC.,AD AD,D,D:D.D DD,ABAB, (AC =AC, )BB.在△AC,D,和△ACD中， ∠C1AD1=∠CAD. AD,=AD, △AC,D,≌△ACD∠C,D,A=∠CDA,S△cg,=Sacn= (AB,=AB. 1;(2)在△AB,D,和△ABD中 ∠B,AD1=∠BAD, AD,=AD. △ABD1兰△ABD,SaB,=SaBm=1,∠B,DA= ∠BDA..·∠BDA+∠CDA=180°，∴.∠B,D,A+∠C,D,A= 180°，.C1,D1,B,三点共线，S△B,9=S△4，+SAc,0,= 2.AC=C,C2=C,C=C,C,Sa,6=4Sas,9,=8.