第3章 第8节 二次函数图象与性质的应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（河北专用）

第八节 二次函数图象与性质的应用 核心设问1交点问题(2025.24,2021.25) 在一起得到新的图形记作G.将直线NP向下 1.(2025北京丰台区模拟)如图，在平面直角坐 平移t个单位长度(t>0),得到直线1.若直线1 标系中，点A,B的坐标分别为(-2,2)，（-4， 与图形G有四个不同的交点，请直接写出t的 2),若抛物线y=ax(a>0)与线段AB没有交 取值范围. 点，则a的取值范围是 B 2.如图，矩形OABC的边OA,OC分别在x轴和 y轴上，其中顶点B的坐标为(2,1).若抛物线 y=2x2+k与矩形OABC的边总有两个公共点， 则k的取值范围是 3.对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤ x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为 整数，确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙 的结果是c=3或c=4,则 A.甲的结果正确 核心设问2整点问题(2019.26) B.乙的结果正确 5.定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标 C.甲、乙的结果合在一起才正确 都是整数的点称为“整点”.若抛物线y=ax2 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 2ax+a+3与x轴围成的区域内（不包括抛物线 4.(2025邯郸二模节选)如图1，抛物线L:y=a(x+ 和x轴上的点)恰好有8个“整点”，则a的取 1)(x-3)(a是常数，a≠0)与x轴交于点M,N, 值范围是 点M在点N的左侧，与y轴交于点P(0,3). 6.(2025秦皇岛抚宁区一模)如图，已知抛物线 a:y=-x2+2x+m,线段b:y=x+2(-1≤x≤3). 若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点 均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数 m的值为 图1 图2 (1)求抛物线L的函数表达式； (2)如图2，将抛物线L在x轴上方的部分沿x 轴向下翻折，与抛物线L在x轴下方的部分合 44 7.(2024邯郸二十三中二模节选)抛物线L:y=x29.已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-6(m是常数)， -2bx+c与直线L':y=x+2交于A,B两点，且 无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的 A(2,0) 距离都等于 (1)求k和c的值（用含b的代数式表示c); 10.如图，直线1：y=x+6与坐标轴分别交于点A, (2)在抛物线L和直线'所围成的封闭图形的 C,抛物线L:y=ax2-2x+c经过点B(2,0)和 边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美 点C. 点”，当b=-20时，直接写出“美点”的个数， (1)求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛 物线L是否经过点A; (2)若P是第二象限抛物线L上的一个动点， 求点P到直线距离的最大值 核心设问3距离问题(2025.24,2024.26,2019.26) 8如图，已知点4〔-”，.B,C0,3均在 物线y=ax2+c(a,c为常数，a≠0)上，若点B在 第一象限，且到y轴的距离为，则点B到 x轴的距离为 3 B.v30 2 c D1 20 45 加练4含参函数图象过定点问题 (2024.26(2),2020.25(3)) 1.题目：“无论m为任何实数，抛物线y=x2+(2-5.对于任意实数k,函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为 m)x+m总是过一个定点，求这个定点的坐 实数)的图象一定经过的两点的坐标为 标.”补全下面的解答过程： 和 方法一（分离参数法，令参数的系数为0）： 6.已知直线y=kx-2k+3. 解：y=x2+(2-m)x+m=x2+2x-mx+m= (1)该直线恒过一定点，这个定点的坐标是 m+ x2+2x. 百 =0,则x= (2)平面直角坐标系中有三点A(-1,0),B(2, 将x= 代入原解析式，得y= 3),C(5,0),若该直线将△ABC分成左右面积 .该抛物线所过定点的坐标为 之比为1：2的两部分，则k的值是 方法二（特殊值法）： 7.(2025石家庄二模节选)在平面直角坐标系 解：当m=0时，y= 中，已知直线11过A(-2,0),B(0,4)两点，直 当m=1时，y= 线l2:y=kx-3(k≠0).将线段AB在平面直角 令 ,解得x= 坐标系内平移得到线段EF,其中点A的对应 将x= 代入原解析式，得y= 点为点E,点B的对应点为点F(m,n).若平移 .该抛物线所过定点的坐标为 后点E落在直线l2上，此时n关于m的函数 2.若关于x的方程kx+b=0的解是x=-1,则直 图象必经过一个定点，请求出该定点的坐标 线y=x+2b一定经过点 ( 3 A.(-2,0) B.(0,-1) 2 C.(1,0) D.(0,-2)》 -4-3-2-1 01234 3.下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2-2(m为 -2 常数)的结论：①该函数的图象与函数y=-x 的图象形状相同：②该函数的图象一定经过点 (0,-2);③当x<0时，y随x的增大而增大； ④该函数的图象与函数y=2x2-4mx-1的图象 的对称轴相同，其中所有正确结论的序号是 ( A.①② B.①②④ C.①③④ D.②④ 4.若抛物线y=ax2+(a2-a)x-a2与直线y=ax+b 都经过同一定点，则代数式a2+ab-3的值是 46 加练5函数图象之间的公共点问题 (2025.24,2020.24,2018.16) 1.若直线y=m(m为常数)与函数y= 新函数的图象有4个交点时，b的取值范围为 [ 2(x≤2) 的图象恒有三个不同的交点，则m 4 (x2) 的取值范围是 A.0<m<2 B.0<m≤2 41 A.4<b<-4 B.-4<b<-13 C.0<m<4 D.0km≤4 2.对于题目“已知一段抛物线L:y=-(x-1)2+4 C.-8<b<-4 D. (0≤x≤3)与直线1：y=k(x-1)+3有两个交 5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与 点，试确定k的取值范围.”甲的结果是k< 双曲线y=只有一个公共点 三，乙的结果是560，则 ( (1)若直线y=-x+b与双曲线y=没有公共 A.甲的结果正确，乙的结果不正确 点，则b的取值范围是 B.甲的结果不正确，乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 (2)若直线y=-x+b与双曲线y=仁有两个公 D.甲、乙的结果都不正确 共点，则b的取值范围是 3.(2025河北样卷)如图，正方形ABCD的顶点 坐标分别为A(-2,4),B(-2,-1),C(3,-1). 抛物线经过点D,顶点坐标为(1,0)，将此抛物 线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图 象G.若直线y=kx-2k+2(k≠0)与图象G有唯 (x2-3x(x≥0) 6.函数y= 的图象如图所示，若直 一交点，则k的取值范围是 (x(x<0) 线y=x+t与该图象只有一个交点，则t的取值 范围是 Ak>2或k< 2 B.,k<0或0<k<2 7.(2024邯郸二模)在平面直角坐标系中，有直 线l:y=m(x+4)-2(m≠0，m为常数)和抛物 C.k>1或k<-3 D.k>1或k<-3或k=-2 线G:y=a(x+5)(x-1)(a≠0，a为常数). 4.(2025秦皇岛开学)将二次函数y=-x2+2x+8 (1)直线1经过的定点的坐标为 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所 (2)若无论m取何值，直线1与抛物线G总有 公共点，则a的取值范围是 得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与 47(2)流水时间为1h时，水面高度为18cm (3)经过150mim,甲容器内的水恰好流完. 7.7000 8.(1)充电1.5小时后的电量为35% (2)若该电动车要从5%充到85%，需要充电3.2小时. (3)第二款电动车的充电时长为1.2小时. 9.(1)该铜棒的伸长量为1.7×10×0.6×50=5.1×104 (m). 1.8×10-3 (2)a.25x80-201.2x10 该铁棒温度的增加量为40℃. (3)该铁棒温度的增加量为68℃. 第五节反比例函数及其应用 1.C2.D3.B4.C5.66.m>5 7.18.B 9.-210.-5(答案不唯一，满足-9<k<-4即可)11.18 12.D13.-1(答案不唯一，是小于0的整数即可) 14.(1)m=3,n=1,k=4.(2)a的取值范围为a>1. 15.C16.D17.C18.B19.420.-4【变式】D 21.(1)(4,15):(2)4 22.(1)m与1之间的函数关系式为=30 (2)它的平均速度是36km/h. (3)行驶时间应不少于22.5分钟 第六节二次函数的图象与性质、图象与系数的关系 1.C【变式设问】下：直线x=-2:(-2,4) 2.C【变式】D3.B4.C【变式】A5.C 6.(1)大；0：(2)y≤-9；(3)y≤-1；(4)-4≤y≤0 7.D8.C9.D10.A11.A【变式】812.22 13.(1)C的对称轴为直线x=6,y的最大值为4，a=7. (2)点P'移动的最短路程为5. 14.A15.C16.1+√5或4-√5 第七节二次函数解析式的确定、图象的 变换、与一元二次方程的关系 1C2y=-2-33y=7+*4 4.y=-x2+x+2(答案不唯一) 5.D6.D7.-68.C9.B 10.(1)A(-3,9),B(1,1).(2)S△A0B=6, (3)y,<y2时x的取值范围为-3<x<1 1.C12.D13.A14.C15.-516. 17.(1)抛物线I的解析式为y=-(x-4)2+2,L的对称轴为直 线x=4,顶点坐标为(4,2). (2)h的值为-2+√2或-7-√2. 第八节二次函数图象与性质的应用 1.0<a<g或w22-8<k1 3.D【解析】抛物线L:y=-x(x-3)+c=-x2+3x+c可以看作 是由抛物线y=-x(x-3)向上平移c个单位长度得到的， 要使抛物线L与直线1在0≤x≤3范围内只有1个交点， 则分两种情况：①如解图1，当￠≤2时，联立 =-+3x+e,整理，得x2-2x+2-0=0.:抛物线L与直线 (y=x+2, 有唯一公共点，.该方程有两个相等的实数根，.(-2)2 4(2-c)=0,解得c=1:②如解图2，当c>2时，将(3,5)代 入y=-x(x-3)+c,得c=5,.当2<c≤5时，抛物线L与直 线1有唯一公共点.c是整数，c可以为3,4,5.综上所 述，c的值为1或3或4或5，.甲、乙均不正确，且合在一 起也不正确. 3 解图1 解图2 4.(1)抛物线L的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2):的取值范围为4<125 1 1 5-2a≤-4 6.2或4 7.(1)k=-1,c=4b-4.(2)90个 8.D9.32 ①抛物线L的解析式为y=-2t2 抛物线L经过点A. (2)点P到直线1距离的最大值为2 加练4含参函数图象过定点问题 1.方法一：(1-x);1-x:1:1;3:(1,3) 方法二：x2+2x:x2+x+1:x2+2x=x+x+1:1;1:3:(1,3) 2.A3.B4.-35.(0,1):(-2,-1) 6.(1)(2,3):(2)3 7.n关于m的函数n=k(m-2)+1的图象必过定点，且该定 点的坐标为(2,1). 加练5函数图象之间的公共点问题 1.A2.B3.A4.A 5.(1)-2<b<2:(2)b>2或b<-2 6>0或=-47①4，-2)：(2)a<0或@2号 第九节二次函数的实际应用 4 1.(1)抛物线的函数表达式为)27x-3)+3, (2)该女生在此项考试中没有得满分.理由略 (3)规出点的高度至少达到努m时，可得分 2.(1)抛物线L,的函数表达式为)=16+4. (2)MN=12m. 3(1)C,的最高点坐标为(3,2)，a=gc=1 (2)符合条件的n的整数值为4和5. 4.(1)此时BE的长为4m. (2)当x为2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最 13