精品解析：重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 -

2025 年重庆西附九上第二次月考 数学试题 （全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间120 分钟） 注意事项： 1 ．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2 ．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3 ．作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4 ．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式抛物线y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的顶点坐标为（ ），对称轴为x ． 一、选择题：本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、 B 、 C 、D 四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列四个数中，为有理数的是（ ） A. π B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查有理数以及无理数的定义，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数就是无限不循环小数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意； B、不能表示为分数，是无理数，不符合题意； C、3是整数，是有理数，符合题意； D、不能表示为分数，是无理数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. X B. D C. F D. Z 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查北碚区初三学生的课外阅读情况 B. 调查“阳光二号”柑橘的质量情况 C. 调查重庆市火锅店底料的卫生合格情况 D. 调查全班学生对数学学科的喜爱情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、调查北碚区初三学生的课外阅读情况，适合抽样调查，不符合题意； B、调查“阳光二号”柑橘的质量情况，适合抽样调查，不符合题意； C、调查重庆市火锅店底料的卫生合格情况，适合抽样调查，不符合题意； D、调查全班学生对数学学科的喜爱情况，适合全面调查，符合题意； 故选：D． 4. 如图，若与是以点O为位似中心的位似图形，已知，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由得出，再由位似图形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，且相似比为， ∴与的周长之比为， 故选：B． 5. 估计 的值应在 （ ） A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算以及无理数的估算．解题的关键在于熟练运用二次根式的乘法法则进行计算．先根据乘法分配律计算的结果，再对结果中的无理数部分进行估算，从而确定其所在的取值范围． 【详解】∵ 且 ，， 介于和之间， ∴ ∴ ∴ ∵ ，， ∴ ∴ ∴ ∴ 值在和之间， 故选 C． 6. 小西用大小相同的正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有7个正方形，第④个图案中有13个正方形…… 按此规律，则第10个图案中正方形的个数是（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，由图形得出规律第个图案中有个正方形，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得： 第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， …… 故第个图案中有个正方形， ∴第10个图案中正方形的个数是， 故选：D． 7. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 8. 如图，在中，，，，以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式，由直角三角形的性质可得，求出，，再由题意可得，，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E， ∴，， ∴ ， 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，作的角平分线交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，得到，设，则，，，由等腰直角三角形的性质可得，又由得，即得，得到，，即得到，，得，再由可得，最后代入计算即可求解， 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 10. 已知函数，函数，其中s为正整数，均为自然数，且满足，其中表示中最大的数，例如．则下列说法中，正确的个数为（ ） ①若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点； ②若且关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为或； ③若，则函数的图象上有4个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的综合问题． 先求出，则，①根据函数经过点，得到，即，，此时，当时，，则函数的图象一定经过点；②根据要求可知，，即，根据根的判别式计算即可；③由可知，得到，找出所有整数点即可． 【详解】解：∵s为正整数， ∴， ∵表示中最大的数， ∴， ①∵函数经过点， ∴． ∵， ∴，， 此时，则， ∴， 当时，，则函数的图象一定经过点，①正确； ②∵，均为自然数，， ∴，此时，则， 则，， ∴， 即， ∵关于x的方程恰有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或，②正确； ③∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 即， ∴，， 即， 由可知，。因为均为整数， ∴和也为整数，则必须为整数， ∴是2的整数因数，即的可能取值为 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 即整数点：，共4个，③正确； 综上所述，正确的个数为3个． 故选：D． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 某互联网公司 2025 年第一季度的用户活跃量达到了672800000 人次，把“672800000”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把“672800000”用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是________． 【答案】十边形 【解析】 【分析】明确任意多边形的外角和为固定值，多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，根据题目给出的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意多边形的外角和为，边形内角和公式为， 根据题意列方程得， 解得， 故这个多边形是十边形． 13. 一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：记2 块巧克力味饼干为、，2 块牛奶味饼干为、， 列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次都拿到牛奶味饼干的情况有种， ∴两次都拿到牛奶味饼干的概率为， 故答案为：． 14. 若，求：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解绝对值方程，求代数式的值，通过解绝对值方程，得到唯一解，代入表达式计算即可得解，得到唯一解是解此题的关键． 【详解】解：当，即时，方程化为， 解得，经检验满足条件， 当，即时，方程化为， 解得：，当，不满足条件，故舍去， ∴方程的解为， 将代入可得， 故答案为：． 15. 如图，四边形 内接于半径为 的，且 ， ．过点 作 于点，则 _________ ；延长 交 于点，交 于点 ．连接 交 于点，连接，则 的面积为 ______． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据题意先、都是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求得； （2）利用含角的直角三角形边的关系，证得，得到，再利用等腰三角形性质，求得与作差即可． 【详解】解：（1）连接、、， ∵， ∴，故，， ∵，， ∴、都是等腰直角三角形， ， ∵圆的半径， ∴ 在中， （2）连接、、，过点作，过点作 由（1）得，， ∴， ∵ ∴， ∴为直径，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（） ∴ ∴是等腰三角形， ∴是的中点，即， ∴， ∴ ∴ 故答案为1；． 【点睛】本题考查了圆的性质（圆周角、弧弦关系）、等腰直角三角形判定、勾股定理，运用了转化思想与数形结合法，技巧是利用垂直构造直角三角形，解题关键是通过角的关系推导线段与图形特征，易错点是弧弦对应关系及线段长度的推导． 16. 若一个四位正整数（各数位数字均不为0），满足，，则称其为“特异数”．去掉M任意一个数位的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和除以3的结果记．例如：对于四位数，，，所以是“特异数”．将其中一个数位上的数字去掉，得到四个新三位数：，则．求最大的“特异数”的_____________ ；若，满足：被13除余2，且是自然数的平方，求符合条件的M的最小值________. 【答案】 ①. 1291 ②. 1232 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算，实数的新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 对于最大的“特异数”，千位数字应尽可能大，且满足千位与百位不等、十位与个位不等，因此千位和十位取9，百位和个位取8，得到，计算，对于M的最小值，根据条件是自然数的平方，解得为或，再结合被13除余2这个条件，当时得到，为最小值，即可作答． 【详解】解：∵一个四位正整数（各数位数字均不为 0），满足，，则称其为“特异数”． ∴最大的“特异数”为9898， 去掉千位数字得898，去掉百位数字得998，去掉十位数字得988，去掉个位数字得989， 四个三位数的和为， ∴， 设，， 则， ∵是自然数的平方， ∴为自然数的平方， 设（k为自然数） 即， 当，时，的值最大， 且为， 则， ∴最大的， ∵k为自然数， 故或或或或或， 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴（舍去） 故不符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴，此时（舍去） 故不符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴， 故符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴， 故符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴找不出满足题意的值， 故不符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴找不出满足题意的值， 故不符合题意； 综上：或； 依题意得，， 因此 ， ∵被13除余2， ∴（为整数）， 当时，则 ∵求符合条件的M的最小值， ∴，则， ∵， ∴此时最小的， 则，符合题意； 则； 当时，则 ∵求符合条件的M的最小值， ∴，则， ∵， ∴此时最小的， 则，不符合题意； 依次类推，找不出比更小的数， 即符合条件的M最小值为， 故答案为：1291，． 三、解答题：本大题 9 个小题，共 86 分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出所有整数解，求和即可． 【详解】解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解集为， ∴满足不等式组的所有整数解为、、、、， ∴所有整数解的和． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究，他发现：在平行四边形中，通过尺规作图，作角和边相等，可以得到新的特殊的四边形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成基本作图：在平行四边形的边的左边，作交边于点E，在边上取一点F，使得，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）利用相关知识，证明小明的发现． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴ ∵ ∴③ ，即． ∵， ∴四边形是④ ． 【答案】（1） 如图，点、点即为所作， （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴，                                                     ∴． ∵， ∴ ∵ ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，再以点为圆心，线段长为半径画弧交于点，连接； （2）先证明． 再结合，即可得出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 由作图可得：， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 19. 重庆蜜雪冰城旗舰店推出川渝限定新品“火锅味脆筒”（结合冰淇淋与火锅风味），招募体验员，分为本地组和游客组，并为该新品打分．从两组各随机抽取20名体验员进行百分制打分，并对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，分为四组：A．；B．； C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的本地组打分：68，71，75，78，78，82，83，85，85，85，85，88，91，93，93，96 ， 98，100，100，100． 抽取的游客组打分在B 组中的数据：81，84，85，86，86，86，86，89； 抽取的对“火锅味脆筒”的打分情况统计表 组别 平均数 中位数 众数 本地组 86.7 85 b 游客组 86.7 a 86 抽取的游客组打分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； ； （2）根据以上数据，你认为“火锅味脆筒”会更受本地组还是游客组喜爱？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）若本地组与游客组共有2500人对“火锅味脆筒”进行打分，请估计本地组与游客组本次对“火锅味脆筒”打分在C等级的人数共是多少? 【答案】（1），， （2） 解：“火锅味脆筒”会更受游客组喜爱，理由 由表格可得，游客组和本地组打分的平均分相同，但游客组打分的中位数和众数都高于本地组，“火锅味脆筒”会更受游客组喜爱 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数的定义即可得出，求出游客组等级的人数即可得出的值，再由中位数的定义即可得出的值； （2）根据中位数和众数分析即可得解； （3）用乘以本地组与游客组本次对“火锅味脆筒”打分在C等级的人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：由本地组得分情况可得，分出现的次数最多，故众数； 游客组等级的人数为人， 游客组等级的人数为人， 游客组等级的人数为人， 故游客组等级的人数为人， 故，即； 将游客组打分情况按照从小到大排列，处在第10、11位的为85，86，故中位数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 故估计本地组与游客组本次对“火锅味脆筒”打分在C等级的人数共是人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，二次根式的运算，利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂和负整数指数幂的法则求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． （1）求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ （2）为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 【答案】（1）喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元． （2）m的值为2． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，可化为一元一次方程的分式方程的应用，根据题目条件找出等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设喜洋洋挂件的销售单价为元，根据喜洋洋挂件单价比乐融融摆件的销售单价少10元，可表示出乐融融摆件的销售单价．再根据购买3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件共花费310元，列出方程求解； （2）先分别表示出降价后喜洋洋挂件和乐融融摆件的单价，再根据乙顾客购买两种商品的数量关系列出方程求解． 【小问1详解】 解：设喜洋洋挂件的销售单价为元，则乐融融摆件的销售单价为元．根据题意，得 ， 解得， ， 答：喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元； 【小问2详解】 降价后喜洋洋挂件的单价为元，乐融融摆件的单价为元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：的值为2． 22. 如图，点O为矩形的对角线的中点，，，点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），连接、，过点P作交于点H ．以x表示线段的长度，的面积为，的面积与线段的长之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 画出函数图象如图所示： 由图象可得：当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，由勾股定理可得，从而可得，作于，由等面积法得出，分两种情况：当点在线段上时，即时，当点在线段上时，即时，分别利用三角形的面积公式计算即可得出的表达式，证明，由相似三角形的性质可得，再求出，即可得出的表达式； （2）根据（1）所求解析式画出函数图象即可，结合函数图象写出性质； （3）令，解得，再结合函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵点O为矩形的对角线的中点，，， ∴，， ∴， 如图，作于， ， ∵， ∴， ∵点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），以x表示线段的长度， ∴当点在线段上时，即时，，则，此时的面积为； 当点在线段上时，即时，，则， ， 此时的面积为； 综上所述，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴的面积与线段的长之比为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故由函数图象可得：当时x的取值范围． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数的应用、反比例函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 23. 如图， 甲、乙两架救援无人机从 点出发沿不同的路线前往点，甲无人机沿路线前往，乙无人机沿路线前往．已知调度中心在的正北方向，、、三点位于同一直线上，位于的北偏东方向，且在 的正东方向，位于的西北方向，且位于的正西方向千米处，位于的正北方向，位于的正东方向且位于的西北方向．（ ，，） （1）求之间的距离；（结果保留根号） （2）救援过程中，受地形影响，在调度中心定位两架无人机存在信号盲区，当距离调度中心千米外均为信号盲区，两架无人机速度相同，请通过计算说明甲、乙无人机谁呆在信号盲区的时间更长? （结果保留一位小数） 【答案】（1）千米 （2）甲无人机呆在信号盲区的时间更长． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 根据等腰直角三角形的性质可知千米，利用锐角三角函数求出的长度，再利用等腰直角三角形的性质求出的长度； 分别求出甲、乙无人机在信号盲区飞行的路程，根据路程判断． 【小问1详解】 解：位于的正西方向，在的正北方向，、、三点位于同一直线上， 位于的正北方向， ， ， ， 千米， ， ， ， 千米， ， 千米， 千米； 【小问2详解】 解：千米， 甲无人机从飞往处时均有信号， 如下图所示，设千米， 位于的正北方向，位于的正东方向， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 则千米， 千米， 甲无人机在信号盲区飞行的路程为千米， 如下图所示，设千米，过点作，， 则， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， ，， 千米， 千米， 同理可得：千米， 千米， 乙无人机在信号盲区的路程是千米； ， 甲无人机呆在信号盲区的时间更长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A点坐标为，与y轴交于点C，连接，，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P 作轴，交直线于点．将点B向上平移2个单位长度得到点E，作直线，点G为直线上一个动点，点H为x轴上一个动点，连接，，当取得最大值时，求点P 坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将原抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新的抛物线，点P平移后的对应点为点M ，点 Q 为新抛物线上一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出得到，再结合得出，即，最后利用待定系数法求解即可； （2）由平移的性质可得点，求出直线的解析式为，设点，则，求出，作轴于，则，则，从而可得，，进而可得，，即可得出，表示出，由二次函数的性质可得当时，取得最大值，最大值为，此时，，求出直线的解析式为，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接，，，作轴于，交于，由轴对称的性质可得，，点为的中点，且在直线上，推出，从而可得当点、、在同一直线上，且轴时，的值最小，为，设，求出，即，即可得解； （3）求出直线的解析式为，结合题意可得将原抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到新的抛物线，求出，，作直线交于点，求出直线的解析式为，从而可得，由平行线的性质可得，，求出，得出，推出，则直线的解析式为，联立，计算即可得出此时；作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点，由轴对称的性质可得，点、的中点在直线上，，即点即为所求，设，求出，从而得出直线的解析式为，联立，求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 将，代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵将点B向上平移2个单位长度得到点E，， ∴点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵过点P 作轴，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，作轴于，则， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作点关于直线的对称点，交直线于点，连接，，，作轴于，交于， 由轴对称的性质可得：，，点为的中点，且在直线上， ∴， 当点、、在同一直线上，且轴时，的值最小，为， 设，则， 解得：， ∴，即， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将原抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新的抛物线， ∴将原抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点P平移后的对应点为点M ， ∴，即， 如图，作直线交于点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时； 作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点， 由轴对称的性质可得：，点、的中点在直线上，，即点即为所求， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，解直角三角形的应用，二次函数综合—面积问题，二次函数综合角度问题，等腰三角形的判定与性质，一次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25. 如图，中，，点C为延长线上一点，连接． （1）如图1，已知，，求线段的长度； （2）如图2，点E 为直线上一点，连接，，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于点G，且．若平分，试猜想线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，，，，E为直线上一点，以E为直角顶点作等腰直角，连接，当线段取最小值时，点H为直线上一动点，连接，，将沿着所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，当取得最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下， 如图，过点E作，过点A作的平行线，交的延长线于点M， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 过点E作交于点K， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作交于点E，证明得到对应边成比例，由得出，再证为等腰直角三角形，得到； （2）过点E作，过点A作的平行线，交的延长线于点M，证明，得到，再证明，得到，过点E作交于点K，利用余弦的定义得到，再由为等腰的垂直平分线，得到，进而证得，最后通过线段的等量代换证得； （3）根据已知条件得出的长度，进而得出的度数，过点A作于点R，过点D作交于点T，利用勾股定理计算出的长度，延长至P，使得，连接，，证得，随即得到，此时点M的轨迹是与夹角的直线，当时，取最小值，再证明，得到和的长度，由得出的长度，将沿着所在直线翻折到所在平面内得可知，N的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，当B、A、N三点共线时，取最大值，过点E作于点Q，连接，，此时计算出的最大值，再利用三角形面积公式求出此时的面积． 【小问1详解】 解：如图，过点A作交于点E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴, 又∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点A作于点R，过点D作交于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得，则， ∴， 延长至P，使得，连接，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴点M的轨迹是与夹角的直线， 如图，当时，取最小值， 在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵将沿着所在直线翻折到所在平面内得， ∴N的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 如图，当B、A、N三点共线时，取最大值， 过点E作于点Q，连接，， 此时， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年重庆西附九上第二次月考 数学试题 （全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间120 分钟） 注意事项： 1 ．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2 ．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3 ．作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4 ．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式抛物线y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的顶点坐标为（ ），对称轴为x ． 一、选择题：本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、 B 、 C 、D 四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列四个数中，为有理数的是（ ） A. π B. C. 3 D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. X B. D C. F D. Z 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查北碚区初三学生的课外阅读情况 B. 调查“阳光二号”柑橘的质量情况 C. 调查重庆市火锅店底料的卫生合格情况 D. 调查全班学生对数学学科的喜爱情况 4. 如图，若与是以点O为位似中心的位似图形，已知，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 估计 的值应在 （ ） A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间 6. 小西用大小相同的正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有7个正方形，第④个图案中有13个正方形…… 按此规律，则第10个图案中正方形的个数是（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 7. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，作的角平分线交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，函数，其中s为正整数，均为自然数，且满足，其中表示中最大的数，例如．则下列说法中，正确的个数为（ ） ①若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点； ②若且关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为或； ③若，则函数的图象上有4个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 某互联网公司 2025 年第一季度的用户活跃量达到了672800000 人次，把“672800000”用科学记数法表示为______． 12. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是________． 13. 一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______． 14. 若，求：_________． 15. 如图，四边形 内接于半径为 的，且 ， ．过点 作 于点，则 _________ ；延长 交 于点，交 于点 ．连接 交 于点，连接，则 的面积为 ______． 16. 若一个四位正整数（各数位数字均不为0），满足，，则称其为“特异数”．去掉M任意一个数位的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和除以3的结果记．例如：对于四位数，，，所以是“特异数”．将其中一个数位上的数字去掉，得到四个新三位数：，则．求最大的“特异数”的_____________ ；若，满足：被13除余2，且是自然数的平方，求符合条件的M的最小值________. 三、解答题：本大题 9 个小题，共 86 分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究，他发现：在平行四边形中，通过尺规作图，作角和边相等，可以得到新的特殊的四边形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成基本作图：在平行四边形的边的左边，作交边于点E，在边上取一点F，使得，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）利用相关知识，证明小明的发现． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴ ∵ ∴③ ，即． ∵， ∴四边形是④ ． 19. 重庆蜜雪冰城旗舰店推出川渝限定新品“火锅味脆筒”（结合冰淇淋与火锅风味），招募体验员，分为本地组和游客组，并为该新品打分．从两组各随机抽取20名体验员进行百分制打分，并对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，分为四组：A．；B．； C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的本地组打分：68，71，75，78，78，82，83，85，85，85，85，88，91，93，93，96 ， 98，100，100，100． 抽取的游客组打分在B 组中的数据：81，84，85，86，86，86，86，89； 抽取的对“火锅味脆筒”的打分情况统计表 组别 平均数 中位数 众数 本地组 86.7 85 b 游客组 86.7 a 86 抽取的游客组打分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； ； （2）根据以上数据，你认为“火锅味脆筒”会更受本地组还是游客组喜爱？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）若本地组与游客组共有2500人对“火锅味脆筒”进行打分，请估计本地组与游客组本次对“火锅味脆筒”打分在C等级的人数共是多少? 20. 先化简，再求值：，其中 21. 列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． （1）求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ （2）为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 22. 如图，点O为矩形的对角线的中点，，，点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），连接、，过点P作交于点H ．以x表示线段的长度，的面积为，的面积与线段的长之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图， 甲、乙两架救援无人机从 点出发沿不同的路线前往点，甲无人机沿路线前往，乙无人机沿路线前往．已知调度中心在的正北方向，、、三点位于同一直线上，位于的北偏东方向，且在 的正东方向，位于的西北方向，且位于的正西方向千米处，位于的正北方向，位于的正东方向且位于的西北方向．（ ，，） （1）求之间的距离；（结果保留根号） （2）救援过程中，受地形影响，在调度中心定位两架无人机存在信号盲区，当距离调度中心千米外均为信号盲区，两架无人机速度相同，请通过计算说明甲、乙无人机谁呆在信号盲区的时间更长? （结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A点坐标为，与y轴交于点C，连接，，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P 作轴，交直线于点．将点B向上平移2个单位长度得到点E，作直线，点G为直线上一个动点，点H为x轴上一个动点，连接，，当取得最大值时，求点P 坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将原抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新的抛物线，点P平移后的对应点为点M ，点 Q 为新抛物线上一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，中，，点C为延长线上一点，连接． （1）如图1，已知，，求线段的长度； （2）如图2，点E 为直线上一点，连接，，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于点G，且．若平分，试猜想线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，，，，E为直线上一点，以E为直角顶点作等腰直角，连接，当线段取最小值时，点H为直线上一动点，连接，，将沿着所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，当取得最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $