第7章 锐角三角函数（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学苏科版九年级下册

该初中数学锐角三角函数知识清单系统梳理了第7章核心内容，涵盖锐角三角函数定义、特殊角值、解直角三角形及应用（仰角俯角、坡度坡角、方向角），构建了从概念理解到解题应用再到易错突破的递进式学习支架。 清单以“定义-性质-应用-易错”四级结构呈现知识体系，突出解直角三角形“已知斜边用正余弦”等口诀记忆技巧，针对网格求三角函数值等五类易错点总结解题策略与常见错误，培养学生数学思维与应用意识。设计例题与练习题梯度，助力学生自主突破难点，也为教师教学提供精准重难点指导。

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第7章锐角三角函数 思维导图 1.正弦 2余弦 锐角三角函数的定义 3.正切 30° 459 特殊角的三角函数值 60° 直角三角形的边角关系 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便：已知直边 求直边，理所当然用正切 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求 一角，函数关系要记牢 解直角三角形 已知锐角求锐角，互余关系不能少：已知直边求 斜边，用除还需正余弦 仰角和俯角 坡度和坡角 三角函数的应用 方向角（或方位角） 知识清单 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C-90°，AB=C,BC=a,AC=b, 正弦：snA= ∠么的对边.“，余款：的解边-会，正切：o ∠A的对边=a 斜边 斜边 邻边 b 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 线来构造直角三角形， 二、特殊角的三角函数值 sin a cos a tan a 30° 5 3 2 2 3 450 √2 √2 1 2 2 √ 1 60 2 2 三、解直角三角形 1.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的己知 元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C-90°，则： (1)三边关系：a2+b2=c2: (2)两锐角关系：∠A+∠B=90°； (3)边与角关系：m4cosB- cosA=sinB= tand=a b b (4)sin2A+COs24=1. 3.科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 己知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 己知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角， 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯鱼。 2.坡度和坡角 坡度：技面的铅直高度方和水平宽度1的比叫做坡面的坡度（或坡比，记作h 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,tama.坡度越大，a角越大，坡面越陡， 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3方向角（或方位角） 指北或指南方向线与月标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角（或方位角）. 北北偏东30度 309 北偏西70度 01 东 45950° 西南方向「南偏东50度 易错总结 易错01网格中求某个角的三角函数值 解题技巧 1.构造直角三角形：在网格中，以目标角为其一锐角，利用网格线作垂直边，构造直角三角形，确定对边、 邻边、斜边长度（可通过勾股定理计算）。 2.利用等角转换：若目标角所在三角形非直角三角形，通过网格中的平行线、全等相似三角形，将其转化 为易求的等角的三角函数值。 易错总结 1.边长计算错误：忽略网格单位长度，或勾股定理计算斜边时，错算直角边长度（如混淆横纵格数）。 2.三角函数定义混淆：误将对边、邻边搞反，尤其在非标准位置的直角三角形中，错用正弦、余弦、正切 的边的比例关系。 例题：(25-26九年级上·山东阶段练习)如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点， 点A,B,C都在格点上，连接AB,AC,则tan∠BAC的值为 易错02解直角三角形中的多解问题 解题技巧 1.分析已知条件的不确定性：当己知“两边”但未明确是直角边还是斜边（如已知两边为a、b,需考虑b 是直角边或斜边)，或已知“一边+锐角”但未明确三角形形状，需分情况讨论。 2.结合图形限制验证：根据实际图形的边长、角度范围（如边长为正、角度为锐角），排除不合理的解。 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错总结 1.漏解：忽略己知条件的多种可能性，如已知两边为5和12，直接默认12为直角边，漏掉12为斜边的情 况。 2.错解验证：未结合直角三角形的边角约束（如锐角和为90°），保留了边长为负、角度超范围的错误解。 例题：(25-26九年级上·上海阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.点E是边AB上的一个动 点，将BEC沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF,DF,若△ADF是等腰三角形，则tan∠BCE的值 为 易错03解直角三角形应用方位角问题 解题技巧 1.明确方位基准：以观测点为中心，建立“上北下南，左西右东”的方位坐标系，将方位角转化为坐标系 内的角度（如北偏东30°对应从北向东转30°）。 2.构造直角三角形：根据方位角确定已知角，结合实际距离（如船的航行路程）作为边长，拆分复杂图形 为直角三角形，利用三角函数求解。 易错总结 1.方位基准混淆：误将观测点搞反（如把“B在A的北偏东”当成“A在B的北偏东”），导致角度方向错 误。 2.角度转换错误：将方位角与直角三角形内角混淆（如北偏东60°，误将直角三角形内角直接取60°，实 际应为30°)。 例题：今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中 AB=2km,明明位于游客中心A的西北方向的C处.烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于 是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进.15分钟后，他们再游客中心A 的北偏西37°方向的点D处相遇. 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ≤30°D B 37 458 (1)求妈妈步行的速度： (2)求明明从C处到D处的距离. 易错04解直角三角形应用仰俯角与坡度坡比综合问题 解题技巧 1.拆分图形找直角：将仰俯角、坡度的综合图形，按水平线、铅垂线拆分，明确仰俯角对应直角三角形的 锐角，坡度(=对边邻边)转化为直角边比例。 2.统一单位列关系：先统一长度单位，利用仰俯角的三角函数、坡度与坡角的关系(i=ta),结合公共边 或相等线段建立等式求解。 易错总结 1.坡度概念混淆：误将坡度（对边邻边)当作坡角的正弦或余弦，或忽略坡度的单位一致性（如米与千米 混用)。 2.仰俯角对应错误：未以水平线为基准，错把仰俯角与铅垂线的夹角当作目标角，导致三角函数关系用反。 例题：(2024山西长治·模拟预测)“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用 无人机测量边靖楼AB的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为45°，沿坡比为5：12的斜 坡CD前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为60°. 60 B C 450 D P (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼AB的高度. 易错5解直角三角形应用与几何图形的综合问题 解题技巧 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.拆解图形建直角：将多边形（如四边形、梯形）沿高线、对角线拆分，转化为1-2个直角三角形，关联 已知边、角与所求量。 2.巧用几何性质搭桥：利用矩形对边相等、等腰三角形三线合一等性质，传递边长或角度，再结合三角函 数列等式求解。 易错总结 1.拆分图形失误：拆分时未保留关键已知条件，或拆分后的直角三角形无有效已知量，导致无法计算。 2.忽略图形隐含条件：遗漏等腰、平行等几何性质，未充分利用公共边、相等角，造成解题思路中断或结 果错误。 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，己知AB∥CD∥FG,A,D,H, G四点在同一直线上，测得LFEC=LA=72.9°，AD=1.6m,EF=6.2m.(结果保留小数点后一位) G 图1 图2 (1)求证：四边形DEFG为平行四边形； (②)求雕塑的高（即点G到AB的距离）. (参考数据：sin72.9°≈0.96，c0s72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25) 易错训练 一、单选题 1.(25-26九年级上·山东淄博期中)下列说法中，正确的是() A.在Rt△ABC中，锐角A的两个邻边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍 B.若45°<a<90°，则c0sa>1 C.sin30°+sin45°=sin(30°+45 D.若o为锐角，tana= 2'则sina=5 5 13 2.(25-26九年级上·山东滨州期中)一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 值是() 3 A. B. D. 5 4 4 4 3.(24-25九年级上全国·期末)如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C均 在网格交点上，⊙O是ABC的外接圆，则cos/BAC的值为() A. B. 5 C.5 D.25 2 5 5 4.(25-26九年级上山西晋城期中)如图，某旅游景区的路标(AB)旁有一段坡路，坡度为i=1:√5，太阳 照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长CD=2m,地面上的影长BC=3m.已 知AB=4m,若没有斜坡CD,此刻该路标的影子BE的长(A,B,C,D,E在同一竖直平面内)为()m D B .43 A.6 D.(4+V5) 3 c. 4+3 二、填空题 5.（25-26九年级上：辽宁沈阳期申)如图，在A8C中，sinA=,∠B=90,D为B的中点，E在线 段4C上，且D=DE 则 AB BC AC D 6.(25-26九年级上·江苏淮安期中)如图，ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，求 7/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 tan∠BAC= 7.(25-26九年级上黑龙江哈尔滨阶段练习)四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O,点P 在AC上，若AB=4,an∠PD0=子，则AP的长为一 8.(25-26九年级上·河北石家庄·期中)丹凤朝阳是座落于唐山市南湖景区的一座巨型雕塑.在某校科技小 组实践活动中，淇淇借助无人机测量雕塑AB的高度，采用如下的测量方案： D 俯角 B C地面 如图，淇淇在离雕塑水平距离AC为30m的台阶上升起无人机，无人机首次悬停在点C正上方的点D处， 测得雕塑AB的顶部B处的俯角α的正切值是，，此时无人机离地面的高度CD为85m,之后无人机沿水平 方向匀速飞行至点G.已知淇淇的眼晴离地面的高度CF=5m. (1)雕塑AB的高度为」 m: (2)若无人机的速度为10ms,飞行时间为t秒.则无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线时，t的取值范围为 S. 三、解答题 9.(25-26七年级上·河北石家庄·期中)日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在 同一平面上.如图，⊙0表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线I上，△OAB为等边三角形， OA,OB与O0分别交于P,Q两点，点C,D是O0上两点，CD∥AB,过O作OE⊥AB于点E,交 CD于点F,交o0于点M.己知CD=60V3cm,OF=30cm,ME=20cm. 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求⊙0的半径： (②)求图中阴影部分的面积.（结果保留π） 10.(2025·广东东莞·一模)如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图.经测量：支架 AB=AC=I9cm,托盘器外沿BD=CE=3cm.支架AB,AC可绕点A转动，BD⊥AB,CE⊥AC,经调 研发现，当45°≤∠BAC≤75°时，操作人员手势自然 B 图1 图2 备用图 (I)当点D和点E重合时，求∠BAC的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为24cm，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然， (参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.98，tan9°≈0.16，sin39°≈0.63，cos39°≈0.77，tan39°≈0.84) 11.(25-26九年级上·重庆潼南·月考)潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了 市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电 话联系时，小东正和爸爸在环江步道C处散步，C处在小南家B正北方向，潼南区图书馆A在小南家B的北 偏东30°方向上、在小东现在位置C的北偏东75°方向上，在小南家的正东方向有一个便利店D正好在AB的 中点M的正南方.已知潼南区图书馆A与小东现在的位置C相距2000米.（参考数据：√2≈1.41， √5≈1.73，V6≈2.45) 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 北 东 B D ()求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的BC、CA、BA、BD、DM都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线C→A→M,到图 书馆A后，要顺便花3分钟还书，小南走路线B→D→M,要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都 是400米每分钟，请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） M/ H 北 .AH CH AC.sin 45=10002, 个东 D ·BH=CH =1000W6 tan30° 12.(25-26九年级上·重庆·月考)小明携带无人机勘测某山体.如图，光轴线BM与水平线B0之间的夹角 ∠OBM=45°，最佳拍摄范围是光轴线BM为中心±15°范围(LCBM=∠DBM=15°，最佳拍摄范围是 ∠CBD的边和内部区域)，AC方向是水平方向.小明在点A处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在 点B,A,B相距300m.(参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73，√5≈2.24) -----0 光轴线 C M D (1)求CD.(结果保留根号) (2)该山体隧道EF长1200m,小明到达隧道出口点F后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情 况下，从点B竖直向上飞行至点G,此时点E恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离 为BG的4倍.求无人机距离地面的高度AG.(结果保留整数) 13.(25-26九年级上·广东佛山月考)【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要 找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形）. 10/12 第7章 锐角三角函数 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 易错01　网格中求某个角的三角函数值 解题技巧 1. 构造直角三角形：在网格中，以目标角为其一锐角，利用网格线作垂直边，构造直角三角形，确定对边、邻边、斜边长度（可通过勾股定理计算）。 2. 利用等角转换：若目标角所在三角形非直角三角形，通过网格中的平行线、全等/相似三角形，将其转化为易求的等角的三角函数值。 易错总结 1. 边长计算错误：忽略网格单位长度，或勾股定理计算斜边时，错算直角边长度（如混淆横纵格数）。 2. 三角函数定义混淆：误将对边、邻边搞反，尤其在非标准位置的直角三角形中，错用正弦、余弦、正切的边的比例关系。 例题：（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求出的三边的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 易错02　解直角三角形中的多解问题 解题技巧 1. 分析已知条件的不确定性：当已知“两边”但未明确是直角边还是斜边（如已知两边为a、b，需考虑b是直角边或斜边），或已知“一边+锐角”但未明确三角形形状，需分情况讨论。 2. 结合图形限制验证：根据实际图形的边长、角度范围（如边长为正、角度为锐角），排除不合理的解。 易错总结 1. 漏解：忽略已知条件的多种可能性，如已知两边为5和12，直接默认12为直角边，漏掉12为斜边的情况。 2. 错解验证：未结合直角三角形的边角约束（如锐角和为90°），保留了边长为负、角度超范围的错误解。例题：（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由题意知，分三种情况求解：①若，如图2，过点F作于H，HF的延长线交AB于点G，则，，在中，由勾股定理得求出的值，根据求出的值，证明，则，根据求解即可；②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交CD的延长线于点N，，在中，，，计算求解即可；③若，由，可判断该情况不成立；进而可得所有可能情况的正切值． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 由题意知，分三种情况求解：①若，如图，过点F作于H，的延长线交于点G， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交的延长线于点N， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴ ③若， ∵点E是边AB上的一个动点，， ∴， ∴不合题意，舍去； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 易错03　解直角三角形应用方位角问题 解题技巧 1. 明确方位基准：以观测点为中心，建立“上北下南，左西右东”的方位坐标系，将方位角转化为坐标系内的角度（如北偏东30°对应从北向东转30°）。 2. 构造直角三角形：根据方位角确定已知角，结合实际距离（如船的航行路程）作为边长，拆分复杂图形为直角三角形，利用三角函数求解。 易错总结 1. 方位基准混淆：误将观测点搞反（如把“B在A的北偏东”当成“A在B的北偏东”），导致角度方向错误。 2. 角度转换错误：将方位角与直角三角形内角混淆（如北偏东60°，误将直角三角形内角直接取60°，实际应为30°）。 例题：今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 易错04　解直角三角形应用仰俯角与坡度坡比综合问题 解题技巧 1. 拆分图形找直角：将仰俯角、坡度的综合图形，按水平线、铅垂线拆分，明确仰俯角对应直角三角形的锐角，坡度（i=对边/邻边）转化为直角边比例。 2. 统一单位列关系：先统一长度单位，利用仰俯角的三角函数、坡度与坡角的关系（i=tanα），结合公共边或相等线段建立等式求解。 易错总结 1. 坡度概念混淆：误将坡度（对边/邻边）当作坡角的正弦或余弦，或忽略坡度的单位一致性（如米与千米混用）。 2. 仰俯角对应错误：未以水平线为基准，错把仰俯角与铅垂线的夹角当作目标角，导致三角函数关系用反。 例题：（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 易错05　解直角三角形应用与几何图形的综合问题 解题技巧 1. 拆解图形建直角：将多边形（如四边形、梯形）沿高线、对角线拆分，转化为1-2个直角三角形，关联已知边、角与所求量。 2. 巧用几何性质搭桥：利用矩形对边相等、等腰三角形三线合一等性质，传递边长或角度，再结合三角函数列等式求解。 易错总结 1. 拆分图形失误：拆分时未保留关键已知条件，或拆分后的直角三角形无有效已知量，导致无法计算。 2. 忽略图形隐含条件：遗漏等腰、平行等几何性质，未充分利用公共边、相等角，造成解题思路中断或结果错误。 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为7.5m，详见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论； （2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠CDG＝∠A， ∵∠FEC＝∠A， ∴ ∠FEC＝∠CDG， ∴EF∥DG， ∵FG∥CD， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）如图，过点G作GP⊥AB于P， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝6.2， ∵AD＝1.6， ∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8， 在Rt△APG中，sinA= ， ∴=0.96， ∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5． 答：雕塑的高为7.5m. 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若为锐角，，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键. 根据三角函数的定义和性质判断：A中是比值，边扩大但比值不变；B中在锐角范围内小于1；C中三角函数值不能直接相加角度；D中由可推导． 【详解】解：A．在中，，当两个邻边都扩大5倍时，比值不变，即不变，故A错误，不符合题意； B．当时，从减小到，即，故B错误，不符合题意； C．，，两者之和，，故C错误，不符合题意； D．由，设对边，邻边，则斜边，即，故D正确，符合题意． 故选D． 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由于直角三角形两边长分别为6和8，未指明是直角边或斜边，需分6和8均为直角边和8为斜边两种情况，分别根据勾股定理和正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵直角三角形两边长为6和8， ∴ 有两种情况： ① 若6和8均为直角边，则斜边 ， 较小锐角对边为6， ∴ ； ② 若8为斜边，则另一直角边 ， ∵ ，即较小锐角对边为， ∴ ． ∴ 较小锐角的正弦值为 或． 故选C． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点，，均在网格交点上，是的外接圆，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求一个角的余弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格特征得，再结合勾股定理算出，，再根据余弦的定义进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，结合网格特征得出， ∵每个小正方形的边长都是， ∴在中，， ∴ 故选：D． 4．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用．过点D作的延长线于点F，设，则，利用勾股定理列式计算求得，再证明，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过点D作的延长线于点F． ∵坡度为，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，为的中点，在线段上，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，分如图，取中点，得∴是中位线，然后通过相似三角形的判定与性质即可求解；如图，当与不平行时，在上取一点，使得，则，先求出，由上得是中位线，所以，所以，，证得是等边三角形，所以，，从而求得，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，取中点， ∵为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴； 如图，当与不平行时，在上取一点，使得，则， ∵， ∴， ∴，， 由上得是中位线， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，的三个顶点均在正方形网格格点上，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，连接，由图形得到与垂直，得到为直角三角形，利用勾股定理求出与的长，利用锐角三角函数定义即可求出的值． 【详解】解：连接，根据图形得到，即， 根据勾股定理得：，， 则， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 先根据正方形的性质得到，然后解求出，再分两种情况讨论，根据正切的定义求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，同理可得， ∴的长为或． 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）丹凤朝阳是座落于唐山市南湖景区的一座巨型雕塑．在某校科技小组实践活动中，淇淇借助无人机测量雕塑的高度，采用如下的测量方案： 如图，淇淇在离雕塑水平距离为的台阶上升起无人机，无人机首次悬停在点正上方的点处，测得雕塑的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离地面的高度为，之后无人机沿水平方向匀速飞行至点．已知淇淇的眼睛离地面的高度． （1）雕塑的高度为 ； （2）若无人机的速度为，飞行时间为秒．则无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角和俯角，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长交于点，四边形为矩形，设米，则米，根据正切值的定义得出，，即可得关于的方程，解方程即可； （2）当无人机运动到时，连接，当刚好过点时，无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线，过点作交于点，易证，然后利用相似三角形的性质，求得，结合题意求得此时的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长交于点， 由题意得，， ∴四边形为矩形， 米，米，， 设米，则米， 顶部处的俯角的正切值是， ， ， ， 解得， 雕塑的高度为米； 故答案为：70； （2）如图，当无人机运动到时，连接，当刚好过点时，无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线，过点作交于点， 则， 四边形是矩形， 米，米， 米，米， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ，即， 米， 米， 此时秒， 当时，无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用垂径定理求值、求其他不规则图形的面积、三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键； （1）连接，推出，得，即可求解； （2）由（1）可知：,推出，根据为等边三角形，求出，，结合，即可求解； 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：, ∵． ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积 10．（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时操作人员取盘手势不自然 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意连接，结合图形，分别在和中，求出、的度数，从而得到结果； （2）连接，过A点作于点H，在中，求出的度数，从而得到的度数，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， ∵在中，，， ， ． 同理可得，， 点D，E重合， ． （2）解：如图，连接，过A点作于点H， ，， ， 在中， ， ， ， ， 此时操作人员取盘手势不自然． 11．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 【答案】(1)3860米 (2)小南先到达M处，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． （1）过点C作于H，，根据，，即可求解； （2）由（1）得，进而分别求得，分别计算小东和小南走所用的时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 过点C作于H，， ∴， ∴． ∴（米）， 即：小南家到图书馆A的直线距离为3860米； （2）小南先到达M处，理由如下： 由（1）知， ∵M为的中点， ∴， ∴小东到点M需用（分钟）； 在中，，， ∴， ， ∴ ∴小南到点M需用（分钟）， ． ∴小南先到达M处． 12．（25-26九年级上·重庆·月考）小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，掌握特殊角的正切值和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据正切值求即可求解； （2）设，则无人机与小明的距离，再根据题意得，利用其正切值得到，进而在，应用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，， ，，， ，解得， ，解得， ； （2）解：设，则无人机与小明的距离， 由题意可知， ，解得， ， 在中，， 即， 整理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 无人机距离地面的高度为． 13．（25-26九年级上·广东佛山·月考）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形）． (1)如图1，在边长为的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为_____． (2)观察发现：如图2，不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到格点处，并且恰好在中．可以方便求出的值为； 方法迁移：如图3，在边长为的正方形网格中，与相交于点，则的值为_____． (3)如图4，在边长为的正方形网格中，与相交于点，求的值． (4)如图5，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，平行线的性质，勾股定理与网格问题，菱形的性质，平行线的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟记三角函数定义． （1）过点作垂直于的延长线于点，构造直角三角形即可求值； （2）利用平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可求值； （3）先取格点，连接，，过点作于点，构造直角三角形，再利用平行线的性质即可求值； （4）先过点作交延长线于点，构造直角三角形，再利用平行线的性质，勾股定理和菱形的性质即可求值． 【详解】（1）解：如图1，过点作垂直于的延长线于点， 由图可知：，， ． 故答案为：． （2）解：如图2中，取格点，连接，． ， ． 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． （3）解：如图3中，取格点，连接，，过点作于点， ， ． ． ，， ， ， ， 的值为． （4）如图5中，由题意得，， ． ，， ． 过点作交延长线于点， ，， ， ． ， ． ， ． 的值为． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图（），在四边形中，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． (1)______；______；______（用含的代数式表示）． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)如图（），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)或时，为直角三角形． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形、矩形、平行四边形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，则，证明四边形是正方形，故有，由，则，通过勾股定理得，又，由题意得，从而求解； （）分为当时，②当时两种情况求解即可； （）分为当时，当时两种情况，再通过相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， 故答案为：，，； （2）解：当时，得， 解得； ∴当时，以点为顶点的三角形与相似， ②当时，得， 解得， 当时，以点为顶点的三角形与相似， 综上或； （3）解：当时，即为直角三角形， 如图，过作于， ∴， ∵当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于，于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴当时，，即为直角三角形； 当时，即为直角三角形，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 15．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题情境】如图1，在中，，，垂足为，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论②． 【结论运用】 （2）如图2，等腰直角的腰长为，点是斜边的中点，点在上，连接，过点作，垂足为，连接． ①求证：． ②若，求的长． （）如图，在中，已知，过点作，交于点，此时，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析（2）①证明见解析；②（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正切的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）证明，从而得出； （2）①由射影定理得，进而证得； ②根据勾股定理得出和的长，进而得出的长，根据得出，进而得出结果； （3）作于，作于，可证得，设，从而得出、、，可推出，根据面积法表示出，设，，从而表示出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； ①证明：，是的中点， ， ，， 由射影定理得：， ， ， ； ②解：，，， ， 是的中点， ， 由①得：， ， ； （3）如图， 作于，作于， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 由射影定理得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $