九年级数学上学期第二次月考·拔尖卷（苏科版，举一反三，测试范围：第1章 一元二次方程～第7章 锐角三角函数）

九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【苏科版】 测试范围：第1章 勾股定理~第4章 一次函数 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共27题，单选6题，填空10题，解答11题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·一模）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 4．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 8．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ． 9．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 10．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，，，，将它绕着的中点顺时针旋转一定角度（小于）后得到，恰好使 ，与交于点，则的长为 ． 11．（2025·黑龙江佳木斯·一模）已知正方形的边长为，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，过点作，交直线于点当时，则的长为 ． 12．（2025·宁夏·模拟预测）如图，中，，边上有一点，，连接，在右侧作等腰直角，，与交于点，以为对称轴作点的对称点'，作射线'交于点，则 ． 13．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 14．（2025·上海·模拟预测）在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是 ． 15．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ．      16．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，，是边上一点，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点，则的最大值是 ． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分） 17．（7分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 18．（7分）（2025·宁夏·模拟预测）如图，点E，F分别在矩形的边，上，连接，交对角线于点G，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 19．（7分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 20．（8分）某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示． 请根据统计图回答下列问题： (1)该公司组织参观博览会的员工共有___________名； (2)将条形统计图在图中补充完整； (3)若B馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若抽出的两次数字之积为偶数则小明获得门票，反之小华获得门票．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 21．（8分）（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 22．（8分）（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 23．（8分）问题提出 （1）如图1，的半径为，弦，是弦所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值． 问题解决 （2）如图2，这是某市的一个面积为的圆形宾馆示意图．点为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域，连接，其中等边为接待区域，为休息区域，当点在的什么位置上时，四边形区域的面积最大？并求出最大值． 24．（8分）（2025·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 25．（8分）（2025·湖北·模拟预测）已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 26.（9分）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点可与点，重合，边关于对称的线段为，连接． 如图若，依题意补全图形，此时__________． 如图依题意补全图后，延长，交射线于点． 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 若，面积的最大值是__________，此时的长是__________．  27.（10分）已知四边形是边长为的正方形，点是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设． 如图，若点在线段上运动，交于点，交于点，连结， 当时，求线段的长； 在中，设边上的高为，请用含的代数式表示，并求的最大值； 设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为，请直接写出与的关系式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求得抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【详解】解：将代入二次函数， 二次函数的图象过点， 点，都在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线， ， ，故A错误； ， ， ， 故B错误； 二次函数的对称轴为直线， 为二次函数的顶点， 当时，二次函数有最小值为， ， ，故C错误； ， ， 点，都在二次函数的图象上，且在对称轴的左侧， 二次函数的图象在对称轴的左侧，随的增大小减小， ， ， ，故D正确； 故选：D 2．（2025·广西·一模）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．如图1，设等腰直角的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图1，设等腰直角的直角边为a，则，小正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于点H，则，， 由图（1）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作于点，由正方形的性质得，由，得，则，所以，则，所以，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接 四边形是正方形，， ，，， ， ，而点为的中点， ， ， 垂直平分， ， 由折叠得， ， 是等边三角形， ， ∵翻折， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和作差法比较大小，通过代入和化简得到定值，从而确定大小关系．将代入方程得到关系式，然后计算，利用代入化简比较大小． 【详解】解： 是方程 )的根， ，即 ． ， ， ． 故选：A． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵ ， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵ ， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 6．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 如图1，连接，由题意可知，点是的内心，由为直径，可得，进而可得为定值，所以点的轨迹为一段弧，如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，可证，根据对角互补的四点共圆，可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，设，则，进一步可算出点的运动路径为，由图2可知，点的运动轨迹为，可算出点的运动路径为，最后计算比值即可得解． 【详解】解：如图1，连接， 点是和的角平分线的交点， 点是的内心， 平分， 为直径， ， ， 为定值， 点的轨迹为一段弧， 此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上， 如图2，过圆心作，连接，， 设，则， 为直径， ， 平分， ， ，　　 ， 如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，， 是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角， ， ， ， 点，，，，四点共圆， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为， 点的运动路径为， 由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为， 点的运动路径为， 点和点的运动路径比为． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 8．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键． 根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可得，得到，再由得到，代入到得，，再根据直线与交点的横坐标为，列出关于的方程，即可求解m的值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为， ∵直线与抛物线存在两个交点， ∴这两个交点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， 又∵， ∴， 代入到得，，解得， ∵直线与交点的横坐标为， ∴， 解得． 故答案为：． 9．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理等知识，连接，由切线性质可得，又，则，所以，则，根据是的直径，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，，，，将它绕着的中点顺时针旋转一定角度（小于）后得到，恰好使 ，与交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，先利用勾股定理求出长，根据旋转性质得相关线段和角的关系，由推出角为，作构造矩形，再证三角形相似，利用相似比求出，进而得出长度． 【详解】解：如图，过点作， 在中，，，， ∴， ∵将绕着的中点顺时针旋转一定角度（小于）后得到， ∴，，， ∵， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、图形旋转的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 11．（2025·黑龙江佳木斯·一模）已知正方形的边长为，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，过点作，交直线于点当时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 如图，连接交于点，利用勾股定理求出的长，分两种情形求出即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 正方形的边长为， ， ， ； 当点在的延长线上时， ， ， ， ， ， ， 当点在的延长线上时，同理可得 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 12．（2025·宁夏·模拟预测）如图，中，，边上有一点，，连接，在右侧作等腰直角，，与交于点，以为对称轴作点的对称点'，作射线'交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出相关边的长度和角度，再根据等腰直角三角形的性质确定其边与角，接着通过作辅助线，结合对称性质找到角的关系，证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出线段长度，最后计算的值 ． 【详解】∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过作于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， ∵以为对称轴作点的对称点'， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∴ ，解得， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及利用辅助线构建相似关系是解题的关键． 13．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接、，进而求解． 【详解】解析：如图，连接，以为边作，连接， ∵的面积为， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当A，N，E三点共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为 故答案为：4． 14．（2025·上海·模拟预测）在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】延长交于P，连，作于，证，得，推出；根据，求出，，得到为的中点；证即可求解； 【详解】解：延长交于P，连，作于， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ； 则为的中点； 由平移可知：， ∴，； ∵， ∴； ∴，即：； ， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、利用平移的性质求解，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 15．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ．      【答案】或 【分析】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 分两种情形：如图，当直线过点B时和当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 解得， 则抛物线与x轴的交点为，， 把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方， ∴开口方向相反，开口大小一样 ∴二次项系数互为相反数，顶点坐标关于x轴对称 ∴翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标， 如图，当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得； 当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，，解得， 所以b的值为或． 故答案为：或． 16．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，，是边上一点，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意先证明，得到，结合勾股定理可得，设，，，则可得关于x、y的方程，考虑到方程有解，则可利用一元二次方程根的判别式和二次函数与不等式的关系求解. 【详解】解：根据题意可得：，且点D向左运动不能和点B重合，否则射线与射线不相交， ∵，， ∴， ∴， 即， 在中，， 即（*）； 在中，，， 故设，，，则，， 则； 代入（*）式可得：， ∴， 设，则上式即为， 可变形为， 显然上述方程有解，故，且， 即， 解得：； ∴k的最大值为，即的最大值是； 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、30度角的直角三角形的性质、一元二次方程根的判别式和二次函数与不等式的关系等知识，熟练掌握相关知识的综合应用是解题的关键. 三、解答题（本大题共11小题，满分88分） 17．（7分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 18．（7分）（2025·宁夏·模拟预测）如图，点E，F分别在矩形的边，上，连接，交对角线于点G，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，由矩形的性质可得，，从而推出，，即可得证； （2）由勾股定理可得，再证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 19．（7分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证； （2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示． 请根据统计图回答下列问题： (1)该公司组织参观博览会的员工共有___________名； (2)将条形统计图在图中补充完整； (3)若B馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若抽出的两次数字之积为偶数则小明获得门票，反之小华获得门票．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)小明获得门票的概率为，小华获得门票的概率为，不公平 【分析】（1）由条形统计图及扇形统计图可得展馆门票数量及其相应的占比，据此即可求出该公司组织参观博览会的员工总数； （2）由扇形统计图可得展馆门票占比为，据此即可求出展馆门票数，然后将条形统计图补充完整即可； （3）依据题意先用画树状图法分析所有等可能出现的结果，然后根据概率公式求出小明获得门票的概率和小华获得门票的概率，将双方获得门票的概率进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：由条形统计图及扇形统计图可知： 展馆门票共张，相应的占比为， 该公司组织参观博览会的员工总数（名）， 故答案为：； （2）解：由扇形统计图可知： 展馆门票占比为， 展馆门票数（张）， 将条形统计图补充完整如下： （3）解：画树状图如下： 由图可知，共有种可能的结果，且每种结果的可能性相等，其中小明可能获得门票的结果有种，分别是，，，，，，，，，，，， 小明获得门票的概率， 小华获得门票的概率， ， 这个规则对双方不公平． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联以及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 21．（8分）（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 22．（8分）（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 23．（8分）问题提出 （1）如图1，的半径为，弦，是弦所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值． 问题解决 （2）如图2，这是某市的一个面积为的圆形宾馆示意图．点为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域，连接，其中等边为接待区域，为休息区域，当点在的什么位置上时，四边形区域的面积最大？并求出最大值． 【答案】（1）（2）当为的中点时，四边形区域的面积最大，最大值为 【分析】（1）连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，阴影部分的面积之和最小，由此进行计算即可得出答案； （2）连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，由等边三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，结合为的中点，得出从而得到四边形是菱形，求出，，，，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，阴影部分的面积之和最小， ， 的半径为，，， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积之和的最小值为； （2）如图2，连接，设相交于点， 由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大， 是等边三角形， ，， 是的直径， ， ， 为的中点， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 在中，，， ， ， 故当为的中点时，四边形区域的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查圆的综合运用，涉及扇形面积的计算、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．（8分）（2025·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为 ，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于，求解出，再求解直线的函数表达式为，设，则，写出，表达式，代入，利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ∴， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点，，即点的纵坐标为， 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于， 在中，令，得，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 25．（8分）（2025·湖北·模拟预测）已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）易证∽，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作于，如图3.根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，进而可得≌，则有，即可证到； （3）延长到点，使得，连接、，如图3，易证四边形是平行四边形，从而可得 ，，即可得到∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得与的比值，继而求得答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ∽， ． ， ； 故答案为：； （2）猜想：． 理由：过点作于，如图2． 又，， ，， ，， ∵， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； （3）延长到点，使得，连接、，如图3， ，， 四边形是平行四边形， ，， ∽，， ． 设，则有，， ， ， ． 【点睛】此题属于相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键 26.（9分）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点可与点，重合，边关于对称的线段为，连接． 如图若，依题意补全图形，此时__________． 如图依题意补全图后，延长，交射线于点． 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 【答案】（1） （2） ①见解析 ②，． 【详解】(1)解：补全图形如图所示． ∵，， ∴． ∵边关于对称的线段为， ∴， ∴．  (2)①． 理由如下：如图，连接，过点B作于点H． ∵边关于对称的线段为， ∴，，． 设． ∵， ∴A、E、B、F四点共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在中， ， ， 即， ∴， ∵， ∴． ②由①，知． ∵， ∴点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动． 如图，过点O作于H，连接． 当时，即点G位于点时，底边上的高最大，故的面积最大． ∵， ∴，即垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵,， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴面积最大值是． 此时，点E的位置如图所示，过点E作于K，   则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，．  27.（10分）已知四边形是边长为的正方形，点是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设． 如图，若点在线段上运动，交于点，交于点，连结， 当时，求线段的长； 在中，设边上的高为，请用含的代数式表示，并求的最大值； 设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为，请直接写出与的关系式． 【答案】（1）① ②， 最大值是； （2） 【详解】解：过作于，连接，如图： 四边形是正方形，， ，， 等腰直角三角形， ， 在和中， ≌， ，， ，即， 在中，； 绕逆时针旋转，得，过作于，如图： 绕逆时针旋转，得， ≌，，，，，， ， 、、共线， ， ， ， ， 在和中， ≌， ，， ，， ，即是的平分线， 又，， ， ，， ∽， ，即， ， ， 时，最大值是； 当时，如图：点是中点，且，交于，交于，交于， ，， ∽， ，即， ， ，为中点， 为的中位线， ， 由知：， 设，则，， 中，， ， 解得， ， ， 当时，如图： ， ，即， ， 同可得， ， ， 综上所述，．  2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $