第三章一元一次方程（组）（专项提升类）课件 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

第3章 一次方程（组） 专题提升 1 专题一：方程中与字母系数有关的问题 类型一：利用方程定义求字母参数 例1 已知关于 x 的方程 ax－1＝x 为一元一次方程，则 |a－1| 的值一定为 ( ) A.正数 B.非负数 C.零 D.不能确定 A 1.已知关于 x 的方程 (m2－4)x2－(m＋2)x－3＝0 是 一元一次方程，则 m＝_______· 2 2.(武汉武昌区期末)若 (a－1)x|a|－3＝0 是关于 x 的一元一次方程，求 －4a²－2[a－(2a2－a＋2)] 的值. 练一练 解：根据一元一次方程的定义， 原式＝4－4a＝4－4×(－1)＝4＋4＝8. 把 a＝－1代入，得 ＝4－4a. ＝－4a2－2a＋4a2－2a＋4 ＝－4a²－2(a－2a2＋a－2) －4a²－2[a－(2a²－a＋2)] 得 a－1≠0 且 |a|＝1，解得 a＝－1. 类型二：利用方程的解求字母参数 例2 若关于 x 的方程 2x－(2a－1)x＋3＝0 的解是 x＝3，则 a＝ ( ) A. 1 B. 0 C. 2 D.3 C D 例3 已知关于 x 的方程 5x＋3k＝21 与 5x＋3＝0 的解相同，则 k 的值是 ( ) A.－10 B.7 C. －9 D. 8 3.已知关于 x 的方程 的解比方程 5(x－1)－1＝4(x－1)＋1 的解大 2 . (1) 求第二个方程的解； (2) 求 m 的值. 解：(1) 将第二个方程去括号，得 5x－5－1＝4x－4＋1 解得 x＝3. (2) 将 x＝3＋2＝5 代入第一个方程得 解得 m＝22. 练一练 类型三：求含字母参数的方程的解 例4 (汉阳区期末) 已知关于 x 的一元一次方程 x＋1＝2x＋a 的解为 x＝－1，那么关于 y 的一元一次方程 (y＋2)＋1＝2(y＋2)＋a 的解是 ( ) A. y ＝－1 B. y ＝1 C. y ＝－3 D. y ＝3 C 4.已知 |n＋2|＋(5m－3)2＝0，求关于 x 的方程 10mx＋4＝3x＋n 的解. 解：由 |n＋2|＋(5m－3)2＝0 得 n＋2＝0 ，5m－3＝0. n＝－2 ， 将 m、n 的值代入方程得 6x＋4＝3x－2. 解方程得 x＝－2. 故关于 x 的方程的解是 x＝－2. 练一练 　利用一元一次方程的定义求字母的值 1. 已知方程（3 m －4） x2－（5－3 m ） x －4 m ＝－2 m 是关于 x 的一元一次方程， 求 m 和 x 的值. 解：因为方程（3 m －4） x2－（5－3 m ） x －4 m ＝－2 m 是关于 x 的一元一 次方程， 所以3 m －4＝0且5－3 m ≠0.解得 m ＝ . 将 m ＝ 代入方程，得－ x － ＝－ ， 解得 x ＝－ . 解：因为方程（3 m －4） x2－（5－3 m ） x －4 m ＝－2 m 是关于 x 的一元一 次方程， 所以3 m －4＝0且5－3 m ≠0.解得 m ＝ . 将 m ＝ 代入方程，得－ x － ＝－ ， 解得 x ＝－ . 　利用方程的解求字母的值 2. 当 k 为何值时，关于 x 的方程 ＋1＝ ＋ k 的解为 x ＝－1. 解：依题意得 ＋1＝ ＋ k ， 即 ＋1＝ k ＋1， 所以 k －2＋3＝3 k ＋3，2 k ＝－2， 所以 k ＝－1. 解：依题意得 ＋1＝ ＋ k ， 即 ＋1＝ k ＋1， 所以 k －2＋3＝3 k ＋3，2 k ＝－2， 所以 k ＝－1. 3. 已知关于 x 的方程2（ x ＋1）－ m ＝－ 的解比方程5（ x －1）－1＝4（ x －1）＋1的解大2. （1）求第二个方程的解； 解：（1）解方程5（ x －1）－1＝4（ x －1）＋1， 去括号，得5 x －5－1＝4 x －4＋1， 移项，得5 x －4 x ＝－4＋1＋1＋5， 合并同类项，得 x ＝3； 解：（1）解方程5（ x －1）－1＝4（ x －1）＋1， 去括号，得5 x －5－1＝4 x －4＋1， 移项，得5 x －4 x ＝－4＋1＋1＋5， 合并同类项，得 x ＝3； （2）求 m 的值. 解：（2）由题意，得方程2（ x ＋1）－ m ＝－ 的解为 x ＝3＋2＝5. 把 x ＝5代入方程2（ x ＋1）－ m ＝－ ， 得2×（5＋1）－ m ＝－ ， 解得 m ＝22. 解：（2）由题意，得方程2（ x ＋1）－ m ＝－ 的解为 x ＝3＋2＝5. 把 x ＝5代入方程2（ x ＋1）－ m ＝－ ， 得2×（5＋1）－ m ＝－ ， 解得 m ＝22. 　利用方程的同解或解互为相反数求字母的值 4. 已知关于 x 的方程 ＋ ＝ x －4与方程 （ x －16）＝－6的解相同，求 m 的值. 解：解方程 （ x －16）＝－6，得 x ＝4. 将 x ＝4代入 ＋ ＝ x －4， 得 ＋ ＝0， 解得 m ＝－6. 解：解方程 （ x －16）＝－6，得 x ＝4. 将 x ＝4代入 ＋ ＝ x －4， 得 ＋ ＝0， 解得 m ＝－6. 5. 关于 x 的方程2（ x －1）＝3 m －1与3 x ＋2＝－2（ m ＋1）的解互为相反数，求 m 的值. 解：由2（ x －1）＝3 m －1，解得 x ＝ . 由3 x ＋2＝－2（ m ＋1），解得 x ＝ . 因为两个方程的解互为相反数， 所以 ＋ ＝0. 3（3 m ＋1）＋2（－2 m －4）＝0， 9 m ＋3－4 m －8＝0， 5 m ＝5， m ＝1. 解：由2（ x －1）＝3 m －1，解得 x ＝ . 由3 x ＋2＝－2（ m ＋1），解得 x ＝ . 因为两个方程的解互为相反数， 所以 ＋ ＝0. 3（3 m ＋1）＋2（－2 m －4）＝0， 9 m ＋3－4 m －8＝0， 5 m ＝5， m ＝1. 　利用方程的错解求字母的值 6. 小强解关于 x 的一元一次方程3（ x ＋ a ）＝2 x ＋4，在去括号时，将 a 漏乘了3， 得到方程的解是 x ＝3，试求 a 的值，并正确地解方程. 解：依题意可知 x ＝3是方程3 x ＋ a ＝2 x ＋4的解， 则有3×3＋ a ＝2×3＋4，所以 a ＝1， 把 a ＝1代入原方程得 3（ x ＋1）＝2 x ＋4，3 x ＋3＝2 x ＋4， 所以 x ＝1. 解：依题意可知 x ＝3是方程3 x ＋ a ＝2 x ＋4的解， 则有3×3＋ a ＝2×3＋4，所以 a ＝1， 把 a ＝1代入原方程得 3（ x ＋1）＝2 x ＋4，3 x ＋3＝2 x ＋4， 所以 x ＝1. 7. （阅读理解·新解法）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题. 解方程组时，由于 x ， y 的系数及常数项的数值较大，如果用 常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误.而采 用下面的解法比较简单： ②－①，得3 x ＋3 y ＝3，所以 x ＋ y ＝1.③ ③×14，得14 x ＋14 y ＝14.④ ①－④，得 y ＝2，从而得 x ＝－1. 所以原方程组的解是 任务： 请你运用上述方法解方程组： 解： ①－②，得2 x ＋2 y ＝2，所以 x ＋ y ＝1.③ ③×2021，得2021 x ＋2021 y ＝2021，④ 解： ①－②，得2 x ＋2 y ＝2，所以 x ＋ y ＝1.③ ③×2021，得2021 x ＋2021 y ＝2021，④ ②－④，得 x ＝－1. 把 x ＝－1代入③，得 y ＝2. 所以原方程组的解是 ②－④，得 x ＝－1. 把 x ＝－1代入③，得 y ＝2. 所以原方程组的解是 8. （核心素养·模型观念）先阅读材料，然后解方程组. 材料：解方程组 将①整体代入②，得3×4＋ y ＝14， 解得 y ＝2. 把 y ＝2代入①，得 x ＝2. 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答. 任务： 请用这种方法解方程组： 解：由①，得 x － y ＝1，③ 把③整体代入②，得4×1－ y ＝5， 解得 y ＝－1. 把 y ＝－1代入③，得 x －（－1）＝1， 解得 x ＝0. 所以原方程组的解为 解：由①，得 x － y ＝1，③ 把③整体代入②，得4×1－ y ＝5， 解得 y ＝－1. 把 y ＝－1代入③，得 x －（－1）＝1， 解得 x ＝0. 所以原方程组的解为 9.已知二元一次方程组 和 的解相同，则 这两个方程组的解是_ _______.进一步可得 ___， ____. 小锦囊 由两个方程组同解，可知二元一次方程组 的解也是 方程组的解.先求出①中， 的值，再代入方程组②， 即可求出和 的值. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 20 10.已知二元一次方程组 和 的解相同，则 这两个方程组的解是_ _______.进一步可得 ___， ____. 提示：由 解得将 代入 得 解得 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 解：由已知可得解得 把代入方程组中，得 解得 解：由已知可得解得 把代入方程组中，得 解得 11. 已知方程组与 14. （核心素养·运算能力）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2（2x＋5y）＋y＝5③. 把方程①代入③得2×3＋y＝5，∴y＝－1. 把y＝－1代入①得x＝4. ∴方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解方程组 解：把方程②变形为3（3x－2y）＋2y＝19，③ 把①代入③，得15＋2y＝19， ∴y＝2. 把y＝2代入①，得x＝3. ∴方程组的解为 解：把方程②变形为3（3x－2y）＋2y＝19，③ 把①代入③，得15＋2y＝19， ∴y＝2. 把y＝2代入①，得x＝3. ∴方程组的解为 15.理解与运用 【解法示例】 在解方程组 时，小聪采用了一种“整 体代入”的解法． 解：由方程②变形，得 ， 即 . 把方程①代入③式，得 . 解得 . 把用 代入方程①，得 .解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 27 【迁移运用】 请仿照小聪的方法解二元一次方程组： 解：由方程②变形，得，即 . 把方程①代入③式，得.解得. 把用 代入方程①，得.解得. 因此， 是原二元一次方程组的解. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16. 已知关于x，y的方程组与有相同的解，求 （5a＋3b）2025的值. 解：根据题意，得解得 将代入方程组中， 得 解：根据题意，得解得 将代入方程组中， 得 解得 则（5a＋3b）2025＝（5－6）2025＝－1. 二元一次方程组中运用整体思想求值 【方法指导】把某些式子看成一个整体，把握式子与方程之间的关联，通过有针 对性的整体处理来求解方程，从而使问题得到简化. 17. （郴州市中考）已知二元一次方程组则x－y的值为 ⁠. 18. （枣庄市中考）已知x，y满足方程组则x＋y的值为 ⁠. 19. 已知方程组则2x＋6y＝ ⁠. ​　2　 ​　－2　 ​　－4　 20. 已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＝4，求a的值. 解：①＋②，得5（x＋y）＝3a＋2， ∴x＋y＝ ， 又x＋y＝4， ∴ ＝4， 解得a＝6. 解：①＋②，得5（x＋y）＝3a＋2， ∴x＋y＝ ， 又x＋y＝4， ∴ ＝4， 解得a＝6. 21.小军和小芳共同解关于，的方程组 解完方程组后 两人有下面一段对话，请认真阅读对话内容，然后求出 的值. 小锦囊 小军只看错方程①中的 ，说明小军的解满足方程②，同理，小芳 的解满足方程①，将解分别代入没看错的方程中即可求出， 的值. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 32 解：把代入方程②，得解得. 把 代入方程①，得.解得 . 所以 . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 33 2(x＋1)－m＝－ A 12－m＝－ A . m＝ A . $