21.4二次函数的应用（基础篇）讲义 2025-2026学年沪科版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的实际应用核心知识点，承接二次函数概念与性质，通过模型建立四步骤（问题分析、模型假设、数据代入、求解解析式）搭建学习支架，系统梳理几何图形（面积、体积）、最值问题（利润、费用）、运动轨迹（抛物运动）等应用场景，助力学生从理论过渡到实践应用。 资料以“30分提至70分”为目标，特色在于融入思维导图梳理知识体系，设置图形、拱桥、销售、喷水等多样真实情境问题。通过步骤化建模培养数学思维，用生活实例发展数学眼光与模型意识，课中辅助教师系统授课，课后分类型练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

21.4二次函数的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次函数的实际应用模型建立 1. 问题分析：明确实际问题中的变量关系，确定自变量 ( x ) 和因变量 ( y )。 2. 模型假设：根据问题背景，对复杂实际情况进行简化，假设变量间关系符合二次函数形式（）。 3. 数据获取与代入：通过题目所给条件（如具体数据点、几何关系等），代入二次函数表达式，建立关于 ( a )、( b )、( c ) 的方程组。 4. 求解函数解析式：解方程组求出 ( a )、( b )、( c ) 的值，确定二次函数的具体表达式。 二、二次函数在几何图形中的应用 1. 面积问题： · 已知图形边长关系，用二次函数表示面积。例如：矩形周长一定时，设一边长为 ( x )，面积（( C ) 为周长）。 · 利用二次函数顶点坐标求面积的最大值或最小值。 2. 体积问题： · 如长方体、圆柱等几何体，在特定条件下（如表面积一定），用二次函数表示体积，进而求最值。 3. 动态几何问题： · 点、线、图形在运动过程中，某些量（如距离、面积）随时间或位置变化，建立二次函数关系解决相关问题。 三、二次函数在最值问题中的应用 1. 利润最大化问题： · 设销量为 ( x )，单价为 ( p )，成本为 ( C )，则利润 ( L = x(p - C) )，若 ( p ) 与 ( x ) 成一次函数关系，可转化为二次函数，通过顶点坐标求最大利润。 2. 费用最省问题： · 如运输成本、用料成本等，根据条件建立成本与自变量的二次函数关系，利用二次函数的最值性质求出最低成本。 3. 距离最短/最长问题： · 在平面直角坐标系中，点到直线的距离、两点间距离等，若距离表达式为二次函数形式，可通过求最值解决。 四、二次函数在运动轨迹中的应用 1. 抛物运动模型： · 忽略空气阻力时，物体抛出后的运动轨迹是抛物线，其高度 ( h ) 与时间 ( t ) 的关系可表示为（( g ) 为重力加速度， 为初速度， 为初始高度）。 · 可求解物体达到的最大高度、运动时间、落地点距离等问题。 五、二次函数应用的一般步骤 1. 审题：理解题意，找出已知条件和所求问题。 2. 设元：设适当的自变量 ( x )，并用含 ( x ) 的代数式表示相关的量。 3. 列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出二次函数表达式。 4. 确定自变量取值范围：结合实际问题，确定 ( x ) 的取值范围（如非负整数、实际长度限制等）。 5. 求解与检验：利用二次函数的性质（开口方向、顶点坐标）求出结果，并检验结果是否符合实际意义。 型 习 练 题 图形问题 1．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 2．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 3．用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 4．如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示和的长． (2)求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 5．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 6．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 拱桥问题 7．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 8．如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 9．如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． 10．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 销售问题 11．年是农历乙巳蛇年，商场调查发现，含有“蛇”元素的“吉祥公仔”深受大众喜爱．“公仔”的进价为每个元，当销售单价定为元时，每天可售出个，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低元，每天可多售出个，若设这款“公仔”的销售单价为（元），每天的销售量为（个）每天获得的利润元． (1)请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大？最大利润是多少元？ 12．年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价上涨到每个元，此时每天可售出个吉祥物．经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 13．某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 14．为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目．经过市场调查得到如下信息： (1)若该水产品的总产量为，求x的值； (2)养殖面积定为多少时，基地利润最大？最大利润是多少？ 15．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式． (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？ 喷水问题 16．2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 17．2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 18．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 19．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 20．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 增长率问题 21．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 22．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 23．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 24．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 25．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 其他问题 26．如图所示，抛物线与直线相交于A，B两点，已知A的坐标为． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求另一交点B的坐标． 27．如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切． 28．已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 29．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 30．已知二次函数 (1)的最小值是0，求的值； (2)在上的函数值始终是正的，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.4二次函数的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次函数的实际应用模型建立 1. 问题分析：明确实际问题中的变量关系，确定自变量 ( x ) 和因变量 ( y )。 2. 模型假设：根据问题背景，对复杂实际情况进行简化，假设变量间关系符合二次函数形式（）。 3. 数据获取与代入：通过题目所给条件（如具体数据点、几何关系等），代入二次函数表达式，建立关于 ( a )、( b )、( c ) 的方程组。 4. 求解函数解析式：解方程组求出 ( a )、( b )、( c ) 的值，确定二次函数的具体表达式。 二、二次函数在几何图形中的应用 1. 面积问题： · 已知图形边长关系，用二次函数表示面积。例如：矩形周长一定时，设一边长为 ( x )，面积（( C ) 为周长）。 · 利用二次函数顶点坐标求面积的最大值或最小值。 2. 体积问题： · 如长方体、圆柱等几何体，在特定条件下（如表面积一定），用二次函数表示体积，进而求最值。 3. 动态几何问题： · 点、线、图形在运动过程中，某些量（如距离、面积）随时间或位置变化，建立二次函数关系解决相关问题。 三、二次函数在最值问题中的应用 1. 利润最大化问题： · 设销量为 ( x )，单价为 ( p )，成本为 ( C )，则利润 ( L = x(p - C) )，若 ( p ) 与 ( x ) 成一次函数关系，可转化为二次函数，通过顶点坐标求最大利润。 2. 费用最省问题： · 如运输成本、用料成本等，根据条件建立成本与自变量的二次函数关系，利用二次函数的最值性质求出最低成本。 3. 距离最短/最长问题： · 在平面直角坐标系中，点到直线的距离、两点间距离等，若距离表达式为二次函数形式，可通过求最值解决。 四、二次函数在运动轨迹中的应用 1. 抛物运动模型： · 忽略空气阻力时，物体抛出后的运动轨迹是抛物线，其高度 ( h ) 与时间 ( t ) 的关系可表示为（( g ) 为重力加速度， 为初速度， 为初始高度）。 · 可求解物体达到的最大高度、运动时间、落地点距离等问题。 五、二次函数应用的一般步骤 1. 审题：理解题意，找出已知条件和所求问题。 2. 设元：设适当的自变量 ( x )，并用含 ( x ) 的代数式表示相关的量。 3. 列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出二次函数表达式。 4. 确定自变量取值范围：结合实际问题，确定 ( x ) 的取值范围（如非负整数、实际长度限制等）。 5. 求解与检验：利用二次函数的性质（开口方向、顶点坐标）求出结果，并检验结果是否符合实际意义。 型 习 练 题 图形问题 1．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 2．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设交于点， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， 即， ∴ ； 故答案为：12； （2）解：设，四边形面积为S， 则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时， ∴当时，四边形的面积最大． 3．用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的应用，设矩形一边长为，则另一边长为，利用面积公式建立二次函数，进而求解即可． 【详解】解：设矩形一边长为，则另一边长为． ∴面积， ∵， ∴当时，S有最大值25， ∴ 矩形花圃面积的最大值为． 4．如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示和的长． (2)求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】(1)， (2)，最大值为800 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可得，然后根据矩形的周长可进行求解； （2）由（1）可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 5．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得，，再利用矩形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， 由题意得，， ∴； （2）解：， 当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 拱桥问题 6．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点的坐标，设定函数解析式是解题的关键．由题意可知，顶点坐标，设二次函数顶点式，将代入求出，即可得到抛物线的表达式． 【详解】解：由题意可知，顶点坐标， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， 则抛物线的表达式． 7．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式即可； （2）将代入抛物线解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴把，代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，． 答：保温墙的高度是米． 8．如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，即可； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，即可求解；②根据题意可得，即可求解； （3）把点代入，求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点， （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设出抛物线解析式为； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴抛物线经过的点； 故答案为： （3）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当水面下降时，水面宽度为， ∴当水面下降时，水面宽度增加了． 9．如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，得出顶点的坐标是关键； 根据题意可得，然后设，再把代入求出a即可． 【详解】解：∵以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m， ∴， 设抛物线的函数解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式是． 10．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 销售问题 11．年是农历乙巳蛇年，商场调查发现，含有“蛇”元素的“吉祥公仔”深受大众喜爱．“公仔”的进价为每个元，当销售单价定为元时，每天可售出个，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低元，每天可多售出个，若设这款“公仔”的销售单价为（元），每天的销售量为（个）每天获得的利润元． (1)请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)销售单价定为元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，二次函数的最值，解题关键是根据题意正确列出函数解析式． （1）依据题意，根据销售量与的关系进行分析计算可以得解； （2）依据题意，可得利润与销售单价之间的关系，利用二次函数的性质可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，， 销售单价不低于进价，且为降价销售， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， ， ， ，， 元时，即销售单价定为元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大，最大利润是元． 12．年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价上涨到每个元，此时每天可售出个吉祥物．经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【答案】每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键． 先设每个降价元，每天的利润为元，则依题意可得，，再根据自变量的取值范围求最大值即可． 【详解】解：设每个降价元，每天的利润为元， 则依题意可得， ． 且， ． ， 当时，． 答：每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元． 13．某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价元时，利润最大，最大利润元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定等量关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“每件利润销售量总利润”，列出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中与之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． （2）解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 14．为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目．经过市场调查得到如下信息： (1)若该水产品的总产量为，求x的值； (2)养殖面积定为多少时，基地利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)养殖面积定为亩时，基地利润最大，最大利润是万元 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意，列出一元二次方程求解； （2）根据题意，列出二次函数关系式，再求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， 答：x的值为； （2）解：设基地利润为y万元， 当时，y有最大值， 答：养殖面积定为亩时，基地利润最大，最大利润是万元． 15．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式． (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？ 【答案】(1) (2)当销售价定为70元时会获最大利润 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得月销售量为，然后可列出函数关系式； （2）根据（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 月销售量为， ∴； （2）解：由题意，结合（1） ， 又∵， ∴当时，y最大，最大值为9000． 答：当销售价定为70元时会获最大利润． 喷水问题 16．2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 17．2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米 【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题． 【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得： 解得，， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 18．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 19．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 20．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 【答案】(1)（或） (2)水柱不会打湿护栏花墙，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，再代入即可求解； （2）点的坐标为，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为． 设水柱所在抛物线的函数表达式为（为常数，）， 将代入，得， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）解：水柱不会打湿护栏花墙．． 理由：∵m，m， ∴m， 则点的坐标为． 当时，． ∵， ∴水柱不会打湿护栏花墙． 增长率问题 21．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】，是二次函数． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 根据增长率的问题，基数是a万元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】解：依题意得， 此函数是二次函数． 22．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 23．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方， 得：， 关于的函数关系式：． 24．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 25．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 【答案】 【分析】设每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，6月份的营收为万元． 【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 其他问题 26．如图所示，抛物线与直线相交于A，B两点，已知A的坐标为． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求另一交点B的坐标． 【答案】(1)抛物线为；直线的表达式 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据A点坐标可得出直线的解析式，抛物线的解析式． （2）联立两个解析式，可解出B点坐标． 【详解】（1）解：由题意，抛物线与过， 抛物线为 直线过， 直线的表达式 （2）解：由题意，联立方程组， 或 又， 27．如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切． 【答案】见详解 【分析】本题考查了新定义，判别式的应用，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，整理得，再求出判别式，即，即可作答． 【详解】解：∵直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为 ∴ ∴ 整理得 ∴ ∴直线L与抛物线P只有一个交点， ∴无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切 28．已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的最值，求抛物线的对称轴，根据二次函数的性质求字母参数的范围，解题关键是掌握二次函数的性质的进行求解． （1）先抛物线L经过点，得到关于待定系数的关系式，再结合系数满足等式，求出的值； （2）①先求出点的坐标，再求出抛物线的对称轴，根据，求得的取值范围． ②先根据抛物线的顶点纵标为，得出，根据，得到，再根据，得到，从而可用表示出，然后可得当时，取最小值，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L经过点， ∴当时，， ， ， ． （2）①∵， ∴， ∴抛物线经过， 抛物线经过， ∴抛物线的对称轴为． ． 的取值范围为． ②． ． ． 由①知， ∴当时，取最小值． 的最小值为． 29．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由抛物线可得，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，设点的坐标为，则可得点M的坐标为，可得，结合二次函数的图象与性质可知，当时，有最大值，进而可得答案． 【详解】（1）对于抛物线， 令，则 点， 令，则，解得，点， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的函数解析式为； （2）设点的坐标为， 点的坐标为，， 当时，有最大值，的最大值为1． 30．已知二次函数 (1)的最小值是0，求的值； (2)在上的函数值始终是正的，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考查了分类讨论的数学思想． （1）把二次函数的解析式化为顶点式，可得二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，从而得到有最小值，即可求解； （2）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解:∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 当时，抛物线开口向上． ∴有最小值， ∵的最小值是0， ， 解得：； （2）解：当时，在范围内的最小函数值即为顶点纵坐标． ∴， 解得：，且不与矛盾，成立； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越小， ∴在范围内的最小函数值为当时的函数值， 即， ∴，解得：． 此时与矛盾，舍去； 综上所述，的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $