21.4 实物型抛物线及运动中的抛物线问题（第2课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第二课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 情景导入 如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c O O O 1.利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能想出办法来吗？ 新知探究 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： 水面宽3m时 从而 因此拱顶离水面高1.125m 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 我们来比较一下 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 概念归纳 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面宽为4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面下降1 m时，水面宽度为多少米？ 例 1 典例剖析 解：建立如图所示的直角坐标，其中O点为拱顶，CD长为4 (m)，AB的长度即为所求的水面宽度. 设抛物线解析式为y＝ax2(a≠0)， 由题意知D坐标为(2，－2)， 代入y＝ax2，得－2＝4a，a＝－ ， ∴y＝－ x2，B点纵坐标为－3， 当y＝－3时，－ x2＝－3，解得x＝± ， ∴A(－ ，－3)，B( ，－3)，AB＝2 ， ∴当水面下降1米时，水面宽度为2 米． 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接．已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m， 主悬钢索最低点离桥面的高度 为0.5 m. 例 2 典例剖析 14 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)， 对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋0.5. 抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得 81.5＝a·4502＋0.5. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； 解得 a＝ ＝ 故所求表达式为 y＝ x2＋0.5 (－450≤x≤450) y x O －450 450 15 (2)计算距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长. 解：当x＝450－100＝350 (m)时，得 当x＝450－50＝400 (m)时，得 y x O －450 450 y＝ ×3502＋0.5＝49.5 (m) y＝ ×4002＋0.5＝64.5 (m) 16 1．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式； O A C D B y x 20 m h 解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y＝ax2. ∵该抛物线过(10，－4), ∴－4＝100a，a＝－0.04 ∴y＝－0.04x2 练一练 2．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF. 图1 图2 练一练 解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为 y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，代入102a＋6＝0. 解得a＝－0.06，得y＝－0.06x2＋6. 当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5. ∴DF＝5，EF＝10，即水面宽度为10米． 图1 图2 2.利用二次函数解决实物抛物线形问题 新知探究 20 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式： 其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛是竖直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2), t是物体抛出后经过的时间. 在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的 初始速度为10m/s. (1)问排球上升的最大高度是 多少？ 典例剖析 例 3 21 (1)问排球上升的最大高度是多少？ 解：根据题意，得 因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5）. 即上升的最大高度为5m. 22 (2) 已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？ 解得 排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度，但第一次经过是离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功. 解：当h=2.5 m时，得 23 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米，已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距8米． (1)求出点A的坐标及直线OA的解析式； (2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； (3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． 例 4 典例剖析 解：(1)在Rt△OAC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8 ， ∴AC＝ OA＝4 ， ∴OC＝ ＝12， ∴A点坐标为(12，4 )， ∴OA解析式 y＝ x； 分析：1．将线段长度转化为点的坐标问题． 2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解． 3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度． (2)抛物线顶点B(9，12)，设抛物线解析式 y＝a(x－9)2＋12， 代入O(0，0)，得a＝－ ， ∴y＝－ (x－9)2＋12； (3)代入 A(12，4 )， － ×(12－9)2＋12≠4 ， ∴不能． 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 例 5 典例剖析 解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. x y O 28 解得 a=－0.2， k=3.5， 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 . 故该运动员出手时的高度为2.25m. 2.25a+k=3.05， k=3.5， x y O 1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地. 4 2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过 程中最高点离地面的距离为 米. x y O 2 练一练 3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A.50m B.100m C.160m D.200m C 练一练 课本练习 1，如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为8m，另一边AB 为 2 m，以 BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点0的距离为6m. （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车的高为 4.3m，宽为 2.4 m，问这辆货运车能否在一侧行道内通过该隧道？ 2.如图，某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏连接而成，其中一段拱形栅栏（图中AOB）为抛物线的一部分，拱形栅栏的跨径 AB 之间按相同的间距（0.2m）用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 m. （1）以0为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据以上数据，求出抛物线对应的函数表达式； 解: （2）计算一段拱形栅栏所需5根立柱的总长度. 待定系数 A 分层练习-基础 B 分层练习-基础 能 分层练习-基础 1.625 分层练习-基础 0.5 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-巩固 分层练习-巩固 课堂反馈 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 知识点：二次函数在桥梁建筑等问题中的应用 步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)在坐标系中取相关点的坐标，利用　 　法求出抛物线的解析式；(3)利用抛物线的解析式进行计算或说理． 1．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,40)x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是(精确到1米)(　　) A．18米　　　 B．17米　　　 C．16米　　　 D．15米 2．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于(　　) A．2.80米 B．2.816米 C．2.82米 D．2.826米 3．(绵阳中考)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　 　m. 4．隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是4m，宽是2m，抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,2)x2＋2，一辆高3m、宽2m的货运卡车　 　(填“能”或“不能”)通过该隧道． (4eq \r(2)－4) 5．你知道吗？平时我们跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看做抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名同学，拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁两人分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处，绳子甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为 m. 6．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围是　 　米． 7．如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面的高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点与地面的距离为　 　m. eq \r(5) 8．如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4eq \r(6)m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面CD宽4eq \r(3)m，若洪水到来时水位以每小时0.25m的速度上升，求水位超过警戒线后几小时淹到拱桥顶M? 解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点M在y轴上． ∴B(2eq \r(6)，0)、D(2eq \r(3)，3)．设抛物线的表达式为y＝ax2＋k.∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(24a＋k＝0,12a＋k＝3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4),k＝6))，∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,4)x2＋6，M(0,6)．设CD与y轴的交点为N，则ON＝3m，OM＝6m.∴MN＝OM－ON＝6－3＝3m,3÷0.25＝12(h)．答：水位超过警戒线后12h淹到拱桥顶M. 9．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B、C两点到地面的距离均为eq \f(3,4)m，到墙边OA的距离分别为eq \f(1,2)m、eq \f(3,2)m. (1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； (2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案？ 解：(1)根据题意得：B(eq \f(1,2)，eq \f(3,4))、C(eq \f(3,2)，eq \f(3,4))，把B、C代入y＝ax2＋bx得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＝\f(1,4)a＋\f(1,2)b,\f(3,4)＝\f(9,4)a＋\f(3,2)b))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2))，∴抛物线的函数关系式为y＝－x2＋2x，∴图案最高点到地面的距离＝eq \f(－22,4×－1)＝1(m)；　 (2)令y＝0，即－x2＋2x＝0，∴x1＝0，x2＝2，∴10÷2＝5，∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案． 10．(衢州中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 解：(1)y＝－eq \f(1,5)(x－3)2＋5(0＜x＜8)； (2)当y＝1.8时，有－eq \f(1,5)(x－3)2＋5＝1.8，解得：x1＝－1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内； (3)当x＝0时，y＝－eq \f(1,5)(x－3)2＋5＝eq \f(16,5).设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－eq \f(1,5)x2＋bx＋eq \f(16,5)，∵该函数图象过点(16,0)，∴0＝－eq \f(1,5)×162＋16b＋eq \f(16,5)，解得：b＝3，∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－eq \f(1,5)x2＋3x＋eq \f(16,5)＝－eq \f(1,5)(x－eq \f(15,2))2＋eq \f(289,20).∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为eq \f(289,20)米． 建立二次函数模形解决抛物线形建筑问题 【例】一座拱桥的轮廓是抛物线(如图1)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m. (1)求支柱EF的长度； (2)拱桥下地面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明理由． 【思路分析】　(1)以拱桥的跨度所在直线为x轴，以其对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图2，求EF的长需求点F的纵坐标；(2)转化为求点G的纵坐标． 【规范解答】　(1)如图2，设y＝ax2＋6，依题意得A(－10,0)，将A点代入得a＝－eq \f(3,50).∴y＝－eq \f(3,50)x2＋6，设F点坐标为(5，y)，于是y＝－eq \f(3,50)×52＋6＝4.5，∴支柱EF＝10－4.5＝5.5(米)； (2)设DN是隔离带的宽，NH是三辆车的宽度和，则H点的坐标是(7,0)，过H点作GH⊥AB交抛物线于G，则yG＝－eq \f(3,50)×72＋6＝3.06＞3.由抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶三辆汽车． 【方法归纳】　解决此类实际问题，通常先建立合适的平面直角坐标系，再取点的坐标用待定系数法求抛物线解析式，最后通过求相关点的坐标解决问题. $$