专题4.3 角（3大考点+ 8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题4.3角 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1角的分类 知识点2角度的单位换算 知识清单 知识点3角平分线 题型1角的概念 角 题型2钟面角 题型3方位角 题型4度分秒的换算 题型精讲 题型5角度的大小比较 题型6与角平分线有关的计算 题型7与等角或补角有关的计算 题型8三角板中的角度计算 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解角的定义与表示方法，能准确识别不同类型的角。 教学月标 2.掌握角的度量单位及换算，会用量角器精准度量角的度数。 3.理解余角、补角的概念及性质，能运用性质解决简单角的计算问题。 1.重点 (1)掌握角的定义、规范表示方法及度量单位换算，能正确度量角。 (2)理解余角和补角的概念，熟练运用其性质进行角的计算与推理。 教学重难点 2.难点 (1)灵活选择角的恰当表示方法，避免在复杂图形中混淆角的标识。 (2)运用余角、补角的性质解决含未知角的推理与计算问题，理清数量关系。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01角的分类 角的分类知识总结 一、核心分类标准（按度数大小划分) 1.锐角 ·定义：大于0°且小于90°的角(0°<<90°)。 ~特征：角度较小，开口小于直角，无特殊度数临界值。 2.直角 -定义：等于90°的角(c90°)。 ·特征：开口固定，常用“1”符号表示直角关系，是角分类的重要基准。 3.钝角 -定义：大于90°且小于180°的角(90°<<180°)。 ·特征：开口大于直角、小于平角，需注意与直角、平角的度数界限区分。 4.平角 -定义：等于180°的角(c180°)。 ·特征：角的两边在同一条直线上，方向相反，是直线上的“完整角”，并非直线本身。 5.周角 -定义：等于360°的角(c=360)。 ·特征：角的一边绕端点旋转一周与另一边重合，度数是平角的2倍、直角的4倍。 二、特殊关联角（按数量关系划分） 1.余角（互余） ·定义：两个角的和等于90°（直角)，则这两个角互为余角（简称互余）。 -关键性质：同角（或等角）的余角相等。 2.补角（互补） ·定义：两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角（简称互补）。 ~关键性质：同角（或等角）的补角相等。 3.邻补角 -定义：有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角（兼具“相邻和“互补”双重特征)。 ·关键性质：邻补角的和一定为180°（互补)，且有公共顶点和公共边。 三、核心度数关系（必记） 1.1周角=2平角=4直角=360°； 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.1平角=2直角=180°； 3.互余两角和=90°，互补两角和=180°； 4.锐角<直角<钝角<平角<周角。 【即学即练1】1.(25-26七年级上·全国·课后作业)下列四个图中，对于图形的描述正确的有() C A(B) AO B A B ∠BOA ∠AOB 射线AB ∠ABC 是周角 是平角 是周角 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2024七年级上全国.专题练习)如图，小于平角的角共有 个. E C D 知识点02角度的单位换算 角度单位换算知识总结 一、核心单位及进率 1.基本单位 -度()、分(')、秒(")，是角的常用度量单位。 2.核心进率（固定不变，必记） -1°=60'，1'=60”（六十进制，类比时间单位时、分、秒换算逻辑）； -反向推导：1'=(1/60)°，1”=(1/60)'=(1/3600)°。 二、两类核心换算方法 1.高级单位→低级单位（度→分→秒，乘进率) 步骤： ①先将“度”的小数部分乘60，转化为“分”； ②若“分”有小数部分，再乘60，转化为“秒”； ③整合结果，写成“度+分+秒”形式。 2.低级单位→高级单位（秒+分+度，除以进率) 【即学即练2】3.(25-26七年级上·河北邯郸期中)用度、分、秒表示32.15°为 4.(25-26七年级上全国课后作业)计算：8037'-37°46'28”= 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点03角平分线 角平分线知识总结 一、核心定义 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 (本质：将角“二等分”，角平分线是射线，仅从角的顶点出发向角内部延伸) 二、关键性质（核心结论) 1.若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠COB=∠AOB（角平分线分原角为两个相等的小 角，且每个小角为原角的一半)； 2.反之，若射线OC在∠AOB内部，且满足∠AOC=∠COB(或∠AOB=2∠AOC=2∠COB),则 射线OC是∠AOB的平分线（判定角平分线的核心依据）。 三、规范表示方法（几何语言，必记） 1.性质表达（已知角平分线，推等量） OC平分∠AOB, ∴.∠AOC=∠COB(或∠AOB=2∠AOC,或∠COB=h∠AOB)。 2.判定表达（已知角相等，推角平分线） :·射线OC在∠AOB内部，且∠AOC=∠COB, ∴.OC平分∠AOB。 【即学即练3】5.(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，OA的方向是北偏东20°，OB的方向是北偏西 35°，OA平分∠B0C,则0C的方向是一· 北 C 西 东 6.(25-26七年级上陕西西安·月考)如图，0C平分∠A0D,OE平分∠D0B,∠A0B=120°， ∠COD=15°，求∠A0E的度数 A 0 解：：OC平分∠A0D,∠A0B=120°，∠C0D=15°， .∠A0D=2∠ 4/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DOB=∠AOB-∠ :∠DOE= 24D0B=45°， .∠AOE=∠AOD+∠ 题型精讲 题型01角的概念 【典例1】用一个放大5倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是() A.30度 B.150度 C.60度 D.不能确定 【变式1】如图，在∠AOC内部作了一条射线OB,下列说法正确的是() B 0 A A.∠A0C可以用∠0表示 B.∠1=∠2 C.∠2与∠C0B是同一个角 D.∠AOC=∠1+∠AOB 【变式2】如图，图中小于平角的角有 个 E 【变式3】如图，能用一个字母表示的角有 个，以A为顶点的角有 个，图中所有的角有 个（平角除外）. 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型02钟面角 【典例2】早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是() A.909 B.1209 C.144° D.150° 【变式1】如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是() 11 70 33 A.75 B.70° C.65 D.60° 【变式2】如图所示，钟表的时针与分针夹角的度数是 mT 10 4 7 6 【变式3】(1)时钟4：50，时针与分针所夹的角是 (2)如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是」 112 题型03方位角 【典例3】小明面向北偏东40°方向站好，当他向左转90°时，他面向()方向. A.南偏东50°B.南偏东50° C.北偏西40° D.北偏西50° 【变式1】如图是学校O、小敏家A、小凯家B的位置示意图，下列表述正确的是() 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小敏家 北 →东 2km 30 3km.小凯家 学校0 1200 A.小敏家A在学校0北偏东60°的方向，距离2km处 B.小凯家B在学校0北偏东20°的方向，距离3km处 C.学校0在小凯家B南偏西20°的方向，距离3km处 D.学校0在小敏家A南偏西30°的方向，距离2km处 【变式2】如图中所示，只用方向和角度描述，学校在广场的 学校 309 场 【变式3】某路公交车的始发站是绿苑小区，终点站是学校，其各站地图如图所示 北 商场 粮油店超市 邮局 →东 工 145 30 学校 绿苑小区 (1)超市在学校的 方向上. (2)商场在超市的 方向上。 (3)工厂在绿苑小区的 方向上. 题型04度分秒的换算 【典例4】用度、分、秒表示91.34°为() A.912024 B.9134 C.91204 D.91°3'4 【变式1】将2.36°用度、分、秒表示正确的是() A.236 B.2°21'36” C.230'6" D.218'36” 【变式2】角度换算： 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)8.3°用度，分，秒表示为」 (2)1636'= 【变式3】计算： (1)13128'-32'15": (2)5838'27"+47°42'40”. 题型05角度的大小比较 【典例5】若∠A=2518,∠B=251911,∠C=25.31°，则() A.LB>∠C>LA B.ZC>ZB>ZA C.∠A>∠B>∠C D.LB>∠A>∠C 【变式1】如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是() B A.∠A=∠B B.没有量角器，无法确定 C.∠A>∠B D. ∠A<∠B 【变式2】比较大小：25.6°256'（填“><”或“=”） 【变式3】对于如图所示的各个角，用“>”、“<”、“=”填空： (1)∠AOB ∠AOC; 2ZDOB ∠BOC; (3)∠B0C ∠AOD; (4ZAOD ∠BOD. 题型06与角平分线有关的计算 【典例6】如图，∠A0B是平角，∠A0C=30°，∠B0D=60°，0M,0N分别是∠AOC,∠BOD的平分线， 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则∠MON=() C B A.110° B.120 C.130° D.135 【变式1】如图，∠AOB=75,∠BOC=15,0D是∠AOC的平分线，则∠C0D的度数为 B 【变式2】如图，在∠AOC中，∠A0B是直角，∠BOC=70,射线OE平分∠A0C,射线0F平分 ∠BOC,则∠EOF的度数为 A 【变式3】如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠DOE=90°. E A B (1)若∠A0D=35°，求∠C0E的度数： (2)若LAOD=a,求LC0E的度数（用含a的代数式表示）. 题型07与等角或补角有关的计算 【典例7】如图，己知∠1=28，∠A0C=90°，点B、O、D在同一条直线上，则∠2的度数为() 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C B 2 O D A.102° B.118° C.122 D.62° 【变式1】如图，∠A0C=∠B0D=90°，∠C0D=44°，则∠A0B=_ D B 【变式2】如图，直线AB,CD,FH相交于点O,∠B0E=24°，∠BOD与∠B0E互为余角，OF平分 ∠BOC,则∠BOH= E /B D A H 【变式3】如图，O为直线AB上一点，∠AOC与LAOD互补，OM、ON分别是∠AOC、LA0D的平分 线 D A- (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为∠AOC与∠AOD互补 所以∠A0C+∠A0D=· 又因为∠A0C+∠ =180 所以∠ =∠ 根据 (2)若∠MOC=70°，求∠A0N的度数 10/15 专题4.3 角 教学目标 1. 理解角的定义与表示方法，能准确识别不同类型的角。 2. 掌握角的度量单位及换算，会用量角器精准度量角的度数。 3. 理解余角、补角的概念及性质，能运用性质解决简单角的计算问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握角的定义、规范表示方法及度量单位换算，能正确度量角。 （2）理解余角和补角的概念，熟练运用其性质进行角的计算与推理。 2.难点 （1）灵活选择角的恰当表示方法，避免在复杂图形中混淆角的标识。 （2）运用余角、补角的性质解决含未知角的推理与计算问题，理清数量关系。 知识点01 角的分类 角的分类知识总结 一、核心分类标准（按度数大小划分） 1. 锐角 - 定义：大于0°且小于90°的角（0°＜α＜90°）。 - 特征：角度较小，开口小于直角，无特殊度数临界值。 2. 直角 - 定义：等于90°的角（α=90°）。 - 特征：开口固定，常用“⊥”符号表示直角关系，是角分类的重要基准。 3. 钝角 - 定义：大于90°且小于180°的角（90°＜α＜180°）。 - 特征：开口大于直角、小于平角，需注意与直角、平角的度数界限区分。 4. 平角 - 定义：等于180°的角（α=180°）。 - 特征：角的两边在同一条直线上，方向相反，是直线上的“完整角”，并非直线本身。 5. 周角 - 定义：等于360°的角（α=360°）。 - 特征：角的一边绕端点旋转一周与另一边重合，度数是平角的2倍、直角的4倍。 二、特殊关联角（按数量关系划分） 1. 余角（互余） - 定义：两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角（简称互余）。 - 关键性质：同角（或等角）的余角相等。 2. 补角（互补） - 定义：两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角（简称互补）。 - 关键性质：同角（或等角）的补角相等。 3. 邻补角 - 定义：有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角（兼具“相邻”和“互补”双重特征）。 - 关键性质：邻补角的和一定为180°（互补），且有公共顶点和公共边。 三、核心度数关系（必记） 1. 1周角 = 2平角 = 4直角 = 360°； 2. 1平角 = 2直角 = 180°； 3. 互余两角和 = 90°，互补两角和 = 180°； 4. 锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 【即学即练1】1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，小于平角的角共有 个． 【答案】14 【分析】此题考查的是数角，掌握平角的定义和角的数法是解决此题的关键． 根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故答案为：14． 知识点02 角度的单位换算 角度单位换算知识总结 一、核心单位及进率 1. 基本单位 - 度（°）、分（′）、秒（″），是角的常用度量单位。 2. 核心进率（固定不变，必记） - 1° = 60′，1′ = 60″（六十进制，类比时间单位时、分、秒换算逻辑）； - 反向推导：1′ = (1/60)°，1″ = (1/60)′ = (1/3600)°。 二、两类核心换算方法 1. 高级单位→低级单位（度→分→秒，乘进率） 步骤： ① 先将“度”的小数部分乘60，转化为“分”； ② 若“分”有小数部分，再乘60，转化为“秒”； ③ 整合结果，写成“度+分+秒”形式。 2. 低级单位→高级单位（秒→分→度，除以进率） 【即学即练2】3．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）用度、分、秒表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查度、分、秒的换算，掌握、是解题的关键． 先将小数部分度化为分，再将分的小数部分化为秒即可解答． 【详解】解：∵ ，且为整数，无小数部分， ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的运算，掌握度、分、秒之间的60进制关系是解题的关键．计算时，被减数的秒数不够减，从分数借化为；分数不够减，从度数借化为，然后再进行减法运算． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点03 角平分线 角平分线知识总结 一、核心定义 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 （本质：将角“二等分”，角平分线是射线，仅从角的顶点出发向角内部延伸） 二、关键性质（核心结论） 1. 若射线OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC = ∠COB = ½∠AOB（角平分线分原角为两个相等的小角，且每个小角为原角的一半）； 2. 反之，若射线OC在∠AOB内部，且满足 ∠AOC = ∠COB（或∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB），则射线OC是∠AOB的平分线（判定角平分线的核心依据）。 三、规范表示方法（几何语言，必记） 1. 性质表达（已知角平分线，推等量） ∵ OC平分∠AOB， ∴ ∠AOC = ∠COB（或∠AOB = 2∠AOC，或∠COB = ½∠AOB）。 2. 判定表达（已知角相等，推角平分线） ∵ 射线OC在∠AOB内部，且∠AOC = ∠COB， ∴ OC平分∠AOB。 【即学即练3】5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方向角，角平分线的定义，角度的计算，熟练掌握方向角的应用是解题的关键．记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，根据计算出，即可解题． 【详解】解：的方向是北偏东，的方向是北偏西， ， 平分， ， 记正北方为， ， 的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 6．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，平分，平分，，，求的度数． 解：平分， ，， ___________=___________°． ___________=___________°． ___________， ， ___________=___________°． 【答案】，，，，平分，， 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差计算，掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义及角的和差计算即可解答． 【详解】解：平分， ，， ． ． 平分， ， ． 题型01 角的概念 【典例1】用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的概念，角的大小由两边张开的程度决定，与边的长度无关．放大镜仅放大物体的长度，不会改变角的两边张开的程度． 【详解】解：用放大镜观察角时，虽然边的长度被放大，但角的两边张开的程度（即角度）保持不变．因此，原角为30度，放大后仍为30度． 故选：A． 【变式1】如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式2】如图，图中小于平角的角有 个． 【答案】10 【分析】此题考查的是角的概念．根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：图中小于平角的角有：、、、、 、、、 、、 ，共有10个 故答案为：10． 【变式3】如图，能用一个字母表示的角有 个，以A为顶点的角有 个，图中所有的角有 个（平角除外）． 【答案】 2 3 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有共2个； 故答案为：． （2）以A为顶点的角有共3个； 故答案为：． （3）图中的角为：共7个． 故答案为：． 题型02 钟面角 【典例2】早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，正确求出钟面上每一个大格对应的角度度数为是解题关键．先求出钟面上每一个大格对应的角度度数为，再乘以4即可得． 【详解】解：早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是 ． 故选：B． 【变式1】如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：由题意得：钟表上的时间下午时， 此时时针位于与中间，分针指到上，中间夹格， ∴时针与分针之间所成的角是：， 故选：A． 【变式2】如图所示，钟表的时针与分针夹角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟面角，先看钟表，这个时间是时整 钟表一圈是，被分成个大格，所以每个大格的角度是，根据钟面上一个大格的度数为度，进行求解即可． 【详解】解：∵时整的时候，时针指向，分针指向，两者之间间隔个大格， ∴钟表的时针与分针夹角的度数是； 故答案为：． 【变式3】（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155或205 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． （2）根据钟面角的定义以及图形中的角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 题型03 方位角 【典例3】小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 【详解】解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 【变式1】如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 小敏家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； B． 小凯家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； C． 学校在小凯家南偏西的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； D． 学校在小敏家南偏西的方向，距离处，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图中所示，只用方向和角度描述，学校在广场的 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方位角，根据方位角的表示：学校在广场的北偏东，即可作答． 【详解】解：观察图中信息，得出学校在广场的北偏东， 故答案为：北偏东． 【变式3】某路公交车的始发站是绿苑小区，终点站是学校，其各站地图如图所示． （1）超市在学校的 方向上． （2）商场在超市的 方向上． （3）工厂在绿苑小区的 方向上． 【答案】 北偏西60° 正西 北偏东 【分析】此题主要考查了方向角，正确掌握方向角的表示方法是解题关键． 根据图形及方向角的定义解答即可． 【详解】解：（1）超市在学校的北偏西方向上． （2）商场在超市的正西方向上． （3）工厂在绿苑小区的北偏东方向上． 故答案为：北偏西，正西，北偏东． 题型04 度分秒的换算 【典例4】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的单位与角度制，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．将小数度转换为度分秒表示，需将小数部分依次乘以60转换为分和秒． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1】将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查度、分、秒的互化，相对比较简单，注意以60为进制． 先求出，再求出，进而可得出答案． 【详解】解：，， 故把用度、分、秒表示为， 故选：B． 【变式2】角度换算： （1）用度，分，秒表示为 ； （2） ； 【答案】 【分析】本题考查了角度换算，熟练掌握角度单位制是解题关键． （1）先将拆分为，再根据将进行换算即可得； （2）先将拆分为，再根据将进行换算即可得． 【详解】解：（1） ． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 题型05 角度的大小比较 【典例5】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的大小比较，需要先将的度数形式统一转化为度分秒的形式，再比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ，则， 度的数值都为，比较分的数值， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 【变式2】比较大小： （填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，关键是掌握度、分、秒相邻单位之间是60进制．将转换为度分形式，再与比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角的大小比较，根据图形和角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）由题意得，， 故答案为：； （4）由题意得，， 故答案为：． 题型06 与角平分线有关的计算 【典例6】如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的计算是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据平角的定义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∵是平角， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 【变式2】如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差、角的平分线等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由直角的定义、角的和差可得，再根据角平分线的定义可得、，再求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，O是直线上一点，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差． （1）根据角平分线的定义得到，从而，； （2）同（1）思路即可求解． 【详解】（1）解：∵O是直线上一点， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵O是直线上一点， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型07 与等角或补角有关的计算 【典例7】如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键． 由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 【变式3】如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【分析】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等； （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ． 题型08 三角板中的角度计算 【典例8】一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得：，即可求解； 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴； 故选：A 【变式1】将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据三角板中角的特点可得，再由角的和差关系求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）一架飞机向东偏北方向飞行，接到指令后，改向相反的方向飞行，那么这架飞机向（   ）方向飞行． A．东偏南 B．西偏南 C．西偏北 【答案】B 【分析】本题主要考查方向角的辨别，注意方向的相对性，相反方向即方向角增加，东偏北的相反方向为西偏南． 【详解】解：∵飞机原飞行方向为东偏北， ∴相反方向为原方向旋转， ∵东的相反方向为西，北的相反方向为南， ∴东偏北的相反方向为西偏南． 故选：B． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知，则的余角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．若两个角的和为，则这两个角互为余角．已知一个角的度数，用减去该角即得其余角的度数． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 3．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一副含及的三角板拼成如图所示的图案，点B、C、D在同一直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度的和差计算，平角的意义，解题的关键是熟练掌握三角板中的角度信息．根据平角得到，再由，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线在外时， ， 综上，的度数为或， 故选C． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是熟知角平分线的定义． 根据角平分线的定义求出各角度数，再判断各选项即可． 【详解】∵，平分， ∴ ∵平分． ∴， ∴，， ∴①，正确； ②，正确； ③与可以拼成一个直角，正确； ④与可以拼成一个平角，正确， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，钟表的时针与分针夹角的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查钟面角，根据钟面上一个大格的度数为30度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，钟表的时针与分针夹角的度数是； 故答案为：． 7．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 【答案】 北 东 3 西 南 4 【分析】本题考查方位图，掌握用方位表示位置的方法是解题的关键． 直接根据题干所给的图进行解答即可． 【详解】解：由图可知， A岛在北偏东方向上，距离是3千米； B岛在西偏南方向上，距离是4千米； 故答案为： 北，东，，3；西，南，，4． 8．（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了角度的计算，分别计算度、分、秒，单位间进率为60，不够减时借位． 【详解】． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 三、解答题 10．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转_______度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查三角板中有关的计算，找准角的和差关系，是解题的关键： （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据题意，求出旋转度数，再利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）解：由题意，当边与边首次重合时，旋转的角度为的度数，即为， 此时． 12．（22-23七年级下·广西桂林·期末）如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东．请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线，互为余角，互为补角，掌握角平分线以及互为余角，互为补角的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线以及互为余角的定义进行解答即可． 【详解】（1）由题意得， ∵，， ∴， ，， ， ，， ， ， 与互为补角； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 14．（25-26七年级上·河北承德·期中）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，，点A、B在线段上，点C和点D分别是和的中点，则 ； ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，，求的度数； ②若，，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1），24；（2）①；② 【分析】本题主要考查线段中点的性质、角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握线段中点的性质、角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据线段的和差关系可进行求解； （2）①由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解； ②同理①可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵点C和点D分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为，24； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②∵射线和射线分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $