【第四章 图形的认识 03讲 角】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 图形的认识 03讲 角 目录 【知识点1. 角】…………………………………………………………………… 2 【知识点2. 角的表示方法】……………………………………………………… 3 【知识点3. 角的比较】…………………………………………………………… 5 【知识点4. 角的平分线】………………………………………………………… 7 【知识点5. 角的分类】…………………………………………………………… 9 【知识点6. 角的度量与计算】…………………………………………………… 11 【知识点7. 余角】………………………………………………………………… 12 【知识点8. 补角】………………………………………………………………… 13 【题型1. 角的概念】……………………………………………………………… 14 【题型2. 角的表示方法】………………………………………………………… 14 【题型3. 角的比较】……………………………………………………………… 15 【题型4. 角平分线及角n等分线的计算】……………………………………… 16 【题型5. 角的分类及画特殊角】………………………………………………… 19 【题型6. 钟面角与方向角】……………………………………………………… 20 【题型7. 角的度量与计算】……………………………………………………… 22 【题型8. 求一个角的余角计算】………………………………………………… 23 【题型9. 求一个角的补角计算】………………………………………………… 23 【题型10. 余角与补角的综合应用】……………………………………………… 24 【题型11. 三角板中角度计算问题】……………………………………………… 26 【题型12. 几何图形中角度计算问题】…………………………………………… 29 【题型13. 实际应用中角度计算问题】…………………………………………… 31 【课后作业】………………………………………………………………………… 33 知识清单 1、角 1）角的概念：我们把一条射线绕着它的端点从一个位置逆时针（或顺时针）旋转到另一为止时所成的图案称为角. 2）顶点：如图4.3-2，射线的端点O叫作角的顶点. 3)边：射线原来所在的位置OA叫作角的始边，旋转后的位置 OB叫作角的终边，角的始边和终边统称为角的边. 4)角的内部：从始边旋转到终边所扫过的区域. 角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转量的大小决定。 巩固基础 1．下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（   ） A．直线没有端点 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度叫两点间的距离 D．角的两边越长，角就越大 3．深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 4．如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 5．下列说法中正确的是（    ） A．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 B．两条射线就组成了角 C．角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形 D．角的两边越短，角越小 知识清单 2、角的表示方法 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 巩固基础 1．如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 3．下列四个图中能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 5．如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 知识清单 3、角的比较 1）方法一：用量角器量出每个角的度数，再比较两者的的大小. 2）方法二：① 设画出的两角分别为∠ABC，∠DEF； ② 先移动∠DEF，使它的顶点E与∠ABC的顶点B重合，并且使∠DEF的一条边EF与∠ABC的一条边BC重合，边ED，BA都在BC的同侧，这时会出现以下情况： 3）方法三：① 设画出的两角分别为∠ABC，∠DEF； ② 分别以两角的顶点B，E为圆心，以相同长度的半径画一段圆弧，与∠ABC，∠DEF的两边分别相较于点M，N及点P，Q； ③ 再将圆规尖移至点M处，使另一脚落在点N处； ④ 在不改变圆规张角的条件下，将圆规尖移至点P处. 会出现以下三种情况： 情形 示意图 ∠ABC与∠DEF的关系 另一脚可与点Q重合 ∠ABC=∠DEF 另一脚落在∠DEF内部 ∠ABC＜∠DEF 另一脚落在∠DEF外部 ∠ABC＞∠DEF 角度数大小比较的注意事项： ① 单位要统一； ② 高位大的角度更大，先比较度，再比较分，后比较秒. 巩固基础 1．在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 2．下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 3．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 4．如图，若，则（    ） A． B． C． D．不能确定 5．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 知识清单 4、角的平分线 以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等，如图. 巩固基础 1．在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，两个直角和有公共顶点O， 下列结论： ①； ②； ③； ④若平分， 则平分 ． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，，．若平分，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，，．若平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 知识清单 5、角的分类 1）如图1所示，当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所形成的角叫做平角；一个平角等于180°. 2）如图2所示，当射线绕着端点旋转一周，又重新回到原来位置时，所形成的角叫做周角；一个周角等于360°. 3）平角的一半（即90°的角）叫作直角；小于直角（即小于90°）的角叫作锐角；大于直角但小于平角（即大于90°但小于180）的角叫作钝角. 可总结为： 巩固基础 1．下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 2．下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 3．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 4．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为 个． 5．给出下列判断： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； ④锐角和钝角一定互补． 其中正确的有 个． 6．用尺规和量角器，按下列语句作图： （Ⅰ）在圆 O 中， 以圆心 O 为顶点，连续画（即）的角，与圆 O 相交于五个点； （Ⅱ）连接每隔一点的两个点； （Ⅲ）保留作图痕迹与几何图形． 知识清单 6、角的度量与计算 度、分、秒是常用的角的度量单位。 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°； 把一度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′； 把一分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″． 这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝，1″=′. 巩固基础 1．把用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 3．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 6． ．（填“”，“”或“”） 7． ． 8． ． 9． ． 10．计算： ． 知识清单 7、余角 1）定义：如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角,简称互余.其中一个角是另一角的余角. 2）性质：同角（等角）的余角相等. 巩固基础 1．如图，，则的余角是（   ） A． B． C． D． 2．下列角中，可能与角互余的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么．证明它的依据是（   ） A．等量代换 B．同角的余角相等 C．余角的定义 D．同角的补角相等 4．写出一组互为余角的角： ． 5．一个角比它的余角少，则这个角的度数为 ． 6．若，则的余角大小为 ． 7．如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 知识清单 8、补角 1）定义：如果两个角的和等于180°（平角）,就说这两个角互为补角,简称互补.其中一个角是另一角的补角. 2）性质：同角（等角）的补角相等. 巩固基础 1．若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，若其中，则与互补的角有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知，则它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 4．因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 5．一个角的度数是63度，则这个角的补角的度数是 度． 6．已知的补角度数为，则的度数为 ． 7．已知，则的补角是 ． 8．课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为 ． 因为， ． 所以．（   ） 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 直击考点 题型1. 角的概念 例1．图中角的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．下列说法中，正确的个数有（    ） ①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．下列说法错误的是（　　） A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 变式3．用放大2倍的放大镜看的角，看到的角的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 题型2. 角的表示方法 例1．如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中还可以表示为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，下列各角的表示方法不正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列说法中不正确的是（　　） A．由两条射线所组成的图形叫作角 B．的顶点是点 C．和表示同一个角 D．角的两边是两条射线 变式2．如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 题型3. 角的比较 例1．如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 例2．如图．直线外有一定点，A是上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察的变化情况，正确的是（    ）    A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．大小不变 D．无法确定 例3．比较大小： （填“>”，“<”或“=”）． 变式1．在的内部任取一点，作射线，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 变式3．如果，则 ；如果，则 ． 题型4. 角平分线及角n等分线的计算 例1．如图，是平角，分别是的平分线． (1)当时， ； (2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 例2．已知：如图，，和分别平分和．求证：． 变式1．直线相交于点O，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 变式2．如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 变式3．（1）如图1，P为线段的中点，点C，D把线段三等分，已知线段的长为，求线段的长． （2）如图2，射线平分，射线把三等分，若，求的度数（用含的代数式表示）． 变式4．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 题型5. 角的分类及画特殊角 例1．下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 例2．如图，小于平角的角共有（    ）    A．11个 B．12个 C．14个 D．15个 例3．已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 变式1．下列说法中，正确的是（　　） A．直线是一个平角 B．周角是一条射线 C．角的两边是射线 D．角的两边是直线 变式2．利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看．（不要写出做法，要保留作图痕迹） (1)． (2) 变式3．下面方格图形中的小方格都是小正方形，用无刻度直尺按要求作图： (1)延长线段AB至C，使AC＝3AB； (2)作∠PAC＝45°． 题型6. 钟面角与方向角 例1．从到，钟表的分针转动的角度是（    ） A． B． C． D． 例2．在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向，如图所示，射线的方向是（    ）． A．北偏西 B．东北方向 C．北偏东 D．北偏东5 例3．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 变式1．如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 变式2．3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了（   ）分钟 A．30 B．36 C． D． 变式3．若点A在点B的南偏西处，则点B在点A的（   ）处 A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 变式4．如图，位于点北偏西方向上的点是 A．点 B．点 C．点 D．点 变式5．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 题型7. 角的度量与计算 例1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．计算： ． 变式1．下列换算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．把角度转化成度的形式： 变式3. 计算 题型8. 求一个角的余角计算 例1．如果一个角是，那么它的余角等于（   ） A． B． C． D． 变式1．已知和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 变式3．已知和两个角，且，按题目要求完成下列两题： (1)求出的余角的度数； (2)求出的2倍与的的差． 题型9. 求一个角的补角计算 例1．若，则的补角等于（　　） A． B． C． D． 例2．已知一个角是这个角的补角3倍，求这个角的度数？ 变式1．已知一个角为，则它的补角度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．一副三角板按如图的方式摆放，则的补角的度数是（　　） A． B． C． D． 变式3．已知和互为补角，并且的一半比小，求． 题型10. 余角与补角的综合应用 例1．如图，已知，，点B，O，D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．减小 D．与的和不变 例3．如图，已知O为直线上一点，，，平分． (1)小明给出了求的度数的过程，请你补全； 解：因为， 所以． 因为是的平分线， 所以________________， 所以________________． (2)利用三角尺在的右侧作射线，使得，直接写出与的数量关系，判断依据的序号是：________．（①同角的余角相等；②等角的余角相等③同角的补角相等；④等角的补角相等．） 变式1．两个角的度数之比是，它们的差是，则这两个角的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 变式2．请补充完成以下解答过程． 已知：如图，，，平分，若，求的度数． 解：因为， 所以 ______． 因为______， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为平分， 所以____________ 所以______ 变式3．如图1，和都是直角． (1)如果，则_____________； (2)若逐渐变大，如何变化？_____________； (3)找出图1中一组相等的锐角为_____________； (4)在图2中，利用能够画直角的工具在图2上再画一个与相等的角． 题型11. 三角板中角度计算问题 例1．如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 例2．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 例3．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 变式1．如图，将一副三角尺按不同方式摆放．在下列摆放方式中，与不相等的是（   ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 变式2．如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 变式3．将一副三角板的直角顶点重合按图①方式摆放，图②是依据图①而作出的几何图形，试依据图②回答下列问题． (1)若，求度数； (2)设，试探究之间的数量关系． 变式4．如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为_______，的度数为______，此时_______． (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 题型12. 几何图形中角度计算问题 例1．如图，直线和相交于点，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，已知． (1)若，分别求的度数； (2)请思考：与互为补角吗？说明理由． 例3．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 变式1．如图，是的平分线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．如图，点A在直线上，过A作射线和，，是的角平分线，已知． 求： (1)的度数； (2)的度数． 变式3．阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则_____； (2)若平分，求的度数． 题型13. 实际应用中角度计算问题 例1．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 例2．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 变式1．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式2．如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 变式3．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．平角是一条直线 C．一个锐角的补角比这个角的余角大 D．在同一平面内，若，，则 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某校的课间操时间从十点整开始，到十点二十结束，那么在课间操的这段时间，教室内时钟的时针转过的角度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）早上，彤彤面向太阳站立，向左转后，她面对的方向是（    ） A．东偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．西偏北 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、交于点O，于O．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 6．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 8．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 9．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论： ①与互余； ②与互补； ③； ④． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（21-22六年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）度分秒换算： ． 12．（24-25七年级上·河北沧州·期中）若，则的补角为 ． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）将化表示为度 ． 14．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）比较大小： ．（用“”、“”或“”填空） 15．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，，平分，则 ． 16．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，则 ． 17．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图，是内部一条射线，且，平分，若，则的度数为 ． 18．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，平分．给出下面四个结论：①与互余：②与互补；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 20．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 三、解答题 21. 计算 22．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．      (1)写出和的度数，并比较两个角的大小； (2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等． 23．（24-25七年级上·北京房山·期末）完成下列说理过程： 如图，，，为的角平分线． 求：的度数． 解：因为①________（如图）， ，（已知）， 所以②________． 因为为的角平分线（已知）， 所以③________（④________）． 所以⑤________． 所以⑥________． 24．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，为直线上一点，作射线，，，其中为的平分线，为的平分线，求的度数． 25．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 26．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，，那么是多少度？ (2)若，，其它条件不变，求是多少度？ 27．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，在钝角内作射线，满足分别平分．                                  (1)若，直接写出的大小； (2)求的大小； (3)如图2，射线绕点从开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线绕点从开始以每秒的速度逆时针旋转，设射线旋转时间为秒，若，直接写出的值． 28．（24-25七年级上·四川成都·期末）在一次数学活动课上，小天同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面的问题，请你帮助小天一起求解．已知，，平分，平分． 【初步感知】 （1）如图，当在的内部，且与重合时，的度数为 °． 【深入探究】 （2）如图2，将从图的位置开始以每秒的速度绕着点顺时针旋转，设旋转的时间为秒，设． ①当时，求时的值； ②小天同学发现的度数在某些时间范围内保持不变，请求出保持不变时的度数及此时的取值范围． 29．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，O为直线上的一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方．    (1)如图，的度数为________，的度数为________． (2)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数． (3)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为________． 30．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一副三角板如图1进行摆放，其中，，点A、O、C在直线上，点B在射线上，点D在射线上．三角板以每秒绕着点O顺时针方向旋转，同时三角板以每秒绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒，两副三角板的旋转角度均小于． (1)当秒时， °． (2)如图2，当射线平分时，求的度数． (3)直接写出当时，t的值． 31．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图2，因为平分，， 所以 因为， 所以 ． 小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”． 完成以下问题： (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数． (3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，为何值，使得成立？请求出此时的值． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的认识 03讲 角 目录 【知识点1. 角】…………………………………………………………………… 2 【知识点2. 角的表示方法】……………………………………………………… 5 【知识点3. 角的比较】…………………………………………………………… 8 【知识点4. 角的平分线】………………………………………………………… 11 【知识点5. 角的分类】…………………………………………………………… 15 【知识点6. 角的度量与计算】…………………………………………………… 19 【知识点7. 余角】………………………………………………………………… 23 【知识点8. 补角】………………………………………………………………… 26 【题型1. 角的概念】……………………………………………………………… 29 【题型2. 角的表示方法】………………………………………………………… 30 【题型3. 角的比较】……………………………………………………………… 32 【题型4. 角平分线及角n等分线的计算】……………………………………… 34 【题型5. 角的分类及画特殊角】………………………………………………… 40 【题型6. 钟面角与方向角】……………………………………………………… 43 【题型7. 角的度量与计算】……………………………………………………… 47 【题型8. 求一个角的余角计算】………………………………………………… 49 【题型9. 求一个角的补角计算】………………………………………………… 51 【题型10. 余角与补角的综合应用】……………………………………………… 53 【题型11. 三角板中角度计算问题】……………………………………………… 58 【题型12. 几何图形中角度计算问题】…………………………………………… 65 【题型13. 实际应用中角度计算问题】…………………………………………… 70 【课后作业】………………………………………………………………………… 74 知识清单 1、角 1）角的概念：我们把一条射线绕着它的端点从一个位置逆时针（或顺时针）旋转到另一为止时所成的图案称为角. 2）顶点：如图4.3-2，射线的端点O叫作角的顶点. 3)边：射线原来所在的位置OA叫作角的始边，旋转后的位置 OB叫作角的终边，角的始边和终边统称为角的边. 4)角的内部：从始边旋转到终边所扫过的区域. 角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转量的大小决定。 巩固基础 1．下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了角的概念，根据角的概念判断即可． 【详解】解：根据角的概念“有公共端点的两条射线组成的图形叫作角”判断． 故选：B． 2．下列说法错误的是（   ） A．直线没有端点 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度叫两点间的距离 D．角的两边越长，角就越大 【分析】本题考查了直线、射线、线段，角的概念，理解并掌握以上知识是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义及特点，角的定义进行判定即可． 【详解】解：A、直线向两边无限延时，没有端点，不可独立，故该选项正确，不符合题意； B、两点之间的所有连线中，线段最短，故该选项正确，不符合题意； C、两点之间线段的长度叫两点间的距离，故该选项正确，不符合题意； D、角的大小与边两边的长度无关，故该选项正确，不符合题意； 故选：D ． 3．深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握量角器的读数方法是解题的关键． 根据量角器直接读取即可． 【详解】解：观察量角器可得“三折叠”手机的打开角度， 故选：D． 4．如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 【分析】本题主要考查了角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是B，    故选：B． 5．下列说法中正确的是（    ） A．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 B．两条射线就组成了角 C．角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形 D．角的两边越短，角越小 【分析】本题考查了角的相关定义，熟练掌握角的两种定义是解答的关键，注意：角的两边是两条射线，并非直线和线段． 【详解】解： A. 有公共端点的两条线段组成的图形叫做角，这个说法是错误的， 角是由两条射线（不是线段）组成的，它们有一个公共端点，称为角的顶点； B. 两条射线就组成了角，这个说法也不够准确， 两条射线必须有一个公共端点才能组成角； C. 角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形，这个说法是正确的， 角可以被看作是一条射线（称为始边）绕着它的端点旋转到另一条射线（称为终边）所形成的图形； D. 角的两边越短，角越小，这个说法是错误的， 角的大小与边的长度无关，而是由两条边之间的夹角决定； 因此，正确答案是 C， 故选：C． 知识清单 2、角的表示方法 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 巩固基础 1．如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，即可获得答案． 【详解】解：还可以表示为， 故选：C． 2．如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 3．下列四个图中能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． 结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，还可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，还可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，不可以用表示，也不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，不可以用表示，也不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． 4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键． 【详解】解：A.表示的角不确定，故不符合题意； B.，，三种方法表示同一个角，故符合题意； C.表示的角不确定，故不符合题意； D. 表示的角不确定，故不符合题意； 故选：B． 5．如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 知识清单 3、角的比较 1）方法一：用量角器量出每个角的度数，再比较两者的的大小. 2）方法二：① 设画出的两角分别为∠ABC，∠DEF； ② 先移动∠DEF，使它的顶点E与∠ABC的顶点B重合，并且使∠DEF的一条边EF与∠ABC的一条边BC重合，边ED，BA都在BC的同侧，这时会出现以下情况： 3）方法三：① 设画出的两角分别为∠ABC，∠DEF； ② 分别以两角的顶点B，E为圆心，以相同长度的半径画一段圆弧，与∠ABC，∠DEF的两边分别相较于点M，N及点P，Q； ③ 再将圆规尖移至点M处，使另一脚落在点N处； ④ 在不改变圆规张角的条件下，将圆规尖移至点P处. 会出现以下三种情况： 情形 示意图 ∠ABC与∠DEF的关系 另一脚可与点Q重合 ∠ABC=∠DEF 另一脚落在∠DEF内部 ∠ABC＜∠DEF 另一脚落在∠DEF外部 ∠ABC＞∠DEF 角度数大小比较的注意事项： ① 单位要统一； ② 高位大的角度更大，先比较度，再比较分，后比较秒. 巩固基础 1．在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查角的大小比较，利用角的大小进行比较即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵C点是内部任一点， ∴与的大小无法确定，必大于， 故选：D． 2．下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查三角形的边角关系，关键是根据三角形的三边得出角的大小比较解答． 根据角的比较大小解答即可． 【详解】解：A、由图可知，不符合题意； B、根据图可知，不符合题意； C、根据图可知，不符合题意； D、根据图可知，符合题意； 故选：D． 3．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出的取值范围是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 4．如图，若，则（    ） A． B． C． D．不能确定 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是根据图得出为与公共角． 【详解】解：因为， 所以， 即， 故选B． 5．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【解析】略 故选B. 知识清单 4、角的平分线 以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等，如图. 巩固基础 1．在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，恰好平分， ∴， 故选：B． 2．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，得，结合平分，求得，根据，解答即可． 本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，两个直角和有公共顶点O， 下列结论： ①； ②； ③； ④若平分， 则平分 ． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查了角度之间的和差运算，角平分线的定义．根据，得出，则，即可判断①；无法判断，即可判断②；易得，即可推出，即可判断③；根据平分，得出，进而得出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确，符合题意； 当时，，否则不成立，故②不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共3个． 故选：C． 4．如图，，．若平分，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 先计算出，再结合角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴    ， 故选：B． 5．如图，，．若平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了角平分线的相关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．求出的度数，再利用角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∵平分， ∴ 故选：A． 知识清单 5、角的分类 1）如图1所示，当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所形成的角叫做平角；一个平角等于180°. 2）如图2所示，当射线绕着端点旋转一周，又重新回到原来位置时，所形成的角叫做周角；一个周角等于360°. 3）平角的一半（即90°的角）叫作直角；小于直角（即小于90°）的角叫作锐角；大于直角但小于平角（即大于90°但小于180）的角叫作钝角. 可总结为： 巩固基础 1．下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于90度小于180度的角．由钝角的概念，即可选择． 【详解】A、周角，故A不符合题意； B、平角，故B符合题意； C、周角，故C不符合题意； D、平角，故D不符合题意． 故选：B． 2．下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 【分析】本题考查角的概念，掌握平角、周角的定义是解决问题的前提． 根据周角、平角的意义分别进行计算即可． 【详解】解：∵1平角，1周角， ∴周角，结果是直角，因此选项A不符合题意； 周角，因此选项B不符合题意； 平角，因此选项C不符合题意； 平角，因此选项D符合题意； 故选：D． 3．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【分析】本题考查了角的分类，熟练掌握直角、平角、周角的定义是解题的关键：直角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角；平角：的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角；周角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角． 根据直角、平角、周角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，该说法错误，故选项不符合题意； 、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，该说法错误，故选项不符合题意； 、直角，周角，直角周角，该说法错误，故选项不符合题意； 、周角，平角，周角平角，该说法正确，故选项符合题意； 故选：． 4．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为 个． 【分析】本题主要考查了角的个数问题，①若剪掉长方形方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形；②若从长方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形；③若沿着长方形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）；据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当按照①减去一个角时，剩下5个角； 当按照②减去一个角时，剩下4个角； 当按照③减去一个角时，剩下3个角； 综上所述，一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为3个或4个或5个； 故答案为：3或4或5. 5．给出下列判断： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； ④锐角和钝角一定互补． 其中正确的有 个． 【分析】本题主要考查了余角补角的定义，同（等）角的余（补）角相等，角的分类等知识点，熟练掌握余角、补角、锐角、钝角的定义和性质是解题的关键． 要判断两角的关系，可根据：两角互余，和为，两角互补，和为，对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：①锐角的补角一定是钝角，正确； ②一个角的补角一定大于这个角，不正确； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，正确； ④的角与的角满足一个是锐角一个是钝角，但是不互补，故不正确； 故其中正确的有：，共个， 故答案为：2． 6．用尺规和量角器，按下列语句作图： （Ⅰ）在圆 O 中， 以圆心 O 为顶点，连续画（即）的角，与圆 O 相交于五个点； （Ⅱ）连接每隔一点的两个点； （Ⅲ）保留作图痕迹与几何图形． 【分析】本题主要考查了画角，用量角器以此量出，根据题意连接线段即可． 【详解】解：如图， 知识清单 6、角的度量与计算 度、分、秒是常用的角的度量单位。 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°； 把一度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′； 把一分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″． 这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝，1″=′. 巩固基础 1．把用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据大单位化小单位除以进率即可． 【详解】 故选：D． 2．若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， 互不相等， 故选：． 3．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确，．按照角的度量单位进行转化即可判断． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选：D 4．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了角度的比较大小，将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：A． 5．已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【分析】本题考查角的大小比较，将化成后，再进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：C． 6． ．（填“”，“”或“”） 【分析】本题考查了角度的单位，将角度转化是解题的关键． 先根据度分秒之间的关系将化为，然后再比较大小． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 7． ． 【分析】本题考查了角度的单位换算，根据度、分、秒的单位进制进行换算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 8． ． 【分析】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率是解题关键． 根据大单位化小单位乘以进率，可得答案． 【详解】解：， 故答案为：45． 9． ． 【分析】本题考查角的计算和度分秒的换算，解题的关键是掌握角的单位之间的换算关系：，． 【详解】解：． 故答案为：． 10．计算： ． 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 计算时注意满60向前一位进1． 【详解】原式． 故答案为：． 知识清单 7、余角 1）定义：如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角,简称互余.其中一个角是另一角的余角. 2）性质：同角（等角）的余角相等. 巩固基础 1．如图，，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了余角的定义，根据和为的两个角互为余角，解题的关键是熟练掌握余角的定义． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角是． 故选：D． 2．下列角中，可能与角互余的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了余角的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握互余的两个角的度数之和为． 根据互余的两个角的度数之和为结合图形可得出答案． 【详解】A．此角基本上等于，不可能与互余，故本选项错误． B．此角大于小于，可能与互余，故本选项正确； C．此角基本上等于，不可能与互余，故本选项错误； D．此角为钝角，不可能与互余，故本选项错误； 故选B． 3．如果，那么．证明它的依据是（   ） A．等量代换 B．同角的余角相等 C．余角的定义 D．同角的补角相等 【分析】本题主要考查了等角或同角的余角相等的性质，熟记余角的性质是解题的关键．根据同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴根据同角的余角相等，可得． 故选：B． 4．写出一组互为余角的角： ． 【分析】本题考查了互余的意义，解题关键是理解互余的意义． 根据互余的意义直接求解． 【详解】解：因为， 所以和互为余角， 故答案为：和（答案不唯一）． 5．一个角比它的余角少，则这个角的度数为 ． 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握相关定义是解题的关键．设这个角的度数为，表示它的余角，根据题意列方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得，故答案为：． 6．若，则的余角大小为 ． 【分析】本题考查了求一个角的余角：和为的两个角互为余角，熟练掌握余角的定义是解题关键．根据余角的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴的余角大小为， 故答案为：． 7．如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据同角的余角相等解答； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 知识清单 8、补角 1）定义：如果两个角的和等于180°（平角）,就说这两个角互为补角,简称互补.其中一个角是另一角的补角. 2）性质：同角（等角）的补角相等. 巩固基础 1．若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了补角的概念及计算，掌握补角的概念和计算方法是关键． 补角是指如果两个角的和是，那么这两个角叫互为补角，由此即可求解． 【详解】解：若，则的补角， 故选：D ． 2．如图，若其中，则与互补的角有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】本题考查的是补角，若两个角的和等于，则这两个角互补，掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴与互补的角是, ∵， ∴， ∴与互补的角是， ∴与互补的角有3个，故选：B． 3．已知，则它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进位制”是解本题的关键．利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故选：A． 4．因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【分析】本题考查同角的补角，根据同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 5．一个角的度数是63度，则这个角的补角的度数是 度． 【分析】本题考查求一个角的补角，根据两个角的和是，那么这两个角互为补角求解即可． 【详解】解：∵一个角的度数是63度， ∴这个角的补角的度数是（度）， 故答案为：117． 6．已知的补角度数为，则的度数为 ． 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据互补的两个角的和为计算即可得解． 【详解】解：∵的补角度数为， ∴的度数为， 故答案为：． 7．已知，则的补角是 ． 【分析】本题考查了补角的定义，熟练掌握互为补角的两个角的和等于是解题的关键．根据补角的定义即可求解． 【详解】解：， 的补角． 故答案为：． 8．课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为 ． 因为， ． 所以．（   ） 【分析】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角的定义是正确判断的关键． 根据“同角的补角相等”进行判断即可． 【详解】解：，（平角的定义）， 所以（同角的补角相等）． 故答案为：同角的补角相等． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 直击考点 题型1. 角的概念 例1．图中角的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据角的定义可进行求解． 【详解】解：图中属于角的有：；共6个； 故选D． 变式1．下列说法中，正确的个数有（    ） ①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】此题考查了角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”．还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致． 根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法错误； ②角的大小与边的长短无关，故原说法错误； ③角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故原说法错误； ④有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故角的两边是两条射线，此说法正确； ⑤平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故选项错误； 以上5种说法正确的有1个， 故选：A． 变式2．下列说法错误的是（　　） A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【分析】本题考查了角的定义，由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，也可以看作由一条射线绕其端点旋转而成的图形，根据定义逐一判断，即可解题． 【详解】解：A、由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角，正确，不符合题意； B、角是由始边绕着端点旋转形成的图形，正确，不符合题意； C、角是由两条直线相交形成的图形，说法错误，两条相交直线可以形成四个角，符合题意； D、角的两边是射线，正确，不符合题意； 故选：C． 变式3．用放大2倍的放大镜看的角，看到的角的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【分析】角的大小和边的长短无关，与角张开的角度的大小有关，而放大镜看到的角，放大的只是角的边，所以，无论用多少倍的放大镜看角，角的大小都不变，可据此解题． 【详解】解：由题意得用放大10倍的放大镜看的角，看到的度数是． 故选：A 题型2. 角的表示方法 例1．如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的表示方法．角的表示方法有四种：用三个字母，中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点；当以某点为顶点的角只有一个时，可以只用这个角的顶点字母表示；用一个数字表示一个角；用一个希腊字母表示一个角． 【详解】解：的顶点是点，的两条边分别是和，其中点在边上，点在边上， 还可以表示为． 故选：B ． 例2．如图，下列各角的表示方法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的表示方法，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法即可求解． 【详解】解：图中的角有、、、， 即表示方法不正确的有， 故选：B． 变式1．下列说法中不正确的是（　　） A．由两条射线所组成的图形叫作角 B．的顶点是点 C．和表示同一个角 D．角的两边是两条射线 【分析】本题主要考查了角的定义，根据定义对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A．有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误，符合题意； B．的顶点是点O，正确，不合题意； C．和表示同一个角，正确，不合题意； D．角可以看做一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形，正确，不合题意； 故选：A． 变式2．如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用．根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】解：A、以为顶点的角不止一个，不能用表示一个角，故A选项错误； B、能用，，三种方法表示同一个角，故B选项正确； C、以为顶点的角不止一个，不能用表示一个角，故C选项错误； D、，表示的是不同的角，故D选项错误； 故选：B． 题型3. 角的比较 例1．如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【分析】本题主要考查了角度的大小比较和角度的和差关系．根据，，及得，由此可得出答案． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴，故选：A． 例2．如图．直线外有一定点，A是上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察的变化情况，正确的是（    ）    A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．大小不变 D．无法确定 【分析】此题考查了角的概念，角的大小比较，解题的关键是数形结合． 【详解】解：当点A从左向右运动时，逐渐变小． 故选A. 例3．比较大小： （填“>”，“<”或“=”）． 【分析】根据角度的大小来判断角的大小． 【详解】∵ ∴ 故答案为：>． 变式1．在的内部任取一点，作射线，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】举出反例进行逐一判断即可． 【详解】A.因为射线在的内部，，故此项正确，符合题意； B.当射线平分时，，故此项错误，不符合题意； C. 当射线平分时，，故此项错误，不符合题意； D.只要射线不平分，，故此项错误，不符合题意． 故选：A． 变式2．若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【分析】先把化为，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，而， ∴． 故选A． 变式3．如果，则 ；如果，则 ． 【分析】根据两个角都与∠2相等，即可得到∠1=∠3；根据∠1＞∠2，∠2＞∠3即可得到∠1＞∠3． 【详解】解：如果，，则； 如果，，则． 故答案为：=，＞． 题型4. 角平分线及角n等分线的计算 例1．如图，是平角，分别是的平分线． (1)当时， ； (2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案； （2）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案； （3）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 分别是的平分线， ， ； 故答案为： （2）解：，分别是的平分线， ，， ； （3）解：，， 分别是的平分线， ， ， ． 例2．已知：如图，，和分别平分和．求证：． 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求得，，进而即可得到答案 【详解】证明：∵和分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴． 变式1．直线相交于点O，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角度之间的关系，是解题的关键： （1）根据角平分线求出的度数，平角求出的度数即可； （2）设，角平分线结合平角的定义列出方程求出，进而求出的度数，垂直得到，再根据平角的定义求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）∵， ∴设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2．如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，邻补角性质，掌握角的和差计算，角平分线定义，邻补角性质是解题的关键． 设，根据邻补角性质可得，由角平分线定义可得：，即可得到，求出x的值，进而得出答案． 【详解】解：， 可设，则，， ， ， 又平分， ， ，即， ， 解得：， 变式3．（1）如图1，P为线段的中点，点C，D把线段三等分，已知线段的长为，求线段的长． （2）如图2，射线平分，射线把三等分，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【分析】考查线段中点的定义和线段的和差，角平分线的定义和角的和差，数形结合是解题的关键. （1）根据中点的性质得到，再根据点C，D把线段三等分，得到，由即可求解； （2）根据角平分线的性质得出，再根据射线把三等分，得到，求出，推出，由即可求解． 【详解】解：（1）∵P为线段的中点，， ∴， ∵点C，D把线段三等分， ∴， ∴； （2）∵射线平分， ∴， ∵射线把三等分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式4．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型5. 角的分类及画特殊角 例1．下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 例2．如图，小于平角的角共有（    ）    A．11个 B．12个 C．14个 D．15个 【分析】本题考查平角的定义，熟记平角是，数形结合，即可得到答案，熟记平角定义是解决问题的关键． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故选：C． 例3．已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：如图，为所求． 变式1．下列说法中，正确的是（　　） A．直线是一个平角 B．周角是一条射线 C．角的两边是射线 D．角的两边是直线 【分析】此题主要考查了角的概念．直接利用角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．进而分析得出即可． 【详解】解：角是有公共端点的两条射线组成的图形，直线上没有顶点，则直线是一个平角、周角是一条射线以及角的两边是直线的说法都是错误的，故选项ABD不符合题意； 角的两边是射线，故选项C符合题意． 故选：C． 变式2．利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看．（不要写出做法，要保留作图痕迹） (1)． (2) 【分析】（1）选用三角尺画一个的角，再在这个角的外部画一个有公共顶点，有一个公共边的的角即可求解； （2）先用三角尺画一个的角，再在这个角的内部画一个有公共顶点、一条公共边的的角即可求解． 【详解】（1）解：如图，， （2）解：如图，， 变式3．下面方格图形中的小方格都是小正方形，用无刻度直尺按要求作图： (1)延长线段AB至C，使AC＝3AB； (2)作∠PAC＝45°． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用网格特征解决问题即可，注意有两种情形． 【详解】（1）如图，线段AC即为所作； （2）如图，∠PAC或即为所作． 题型6. 钟面角与方向角 例1．从到，钟表的分针转动的角度是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了钟面角，先求出分针转动的时间，再乘以分钟每分钟转动的角度即可得到答案． 【详解】解：， ∴从到，钟表的分针转动的角度是， 故选：A． 例2．在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向，如图所示，射线的方向是（    ）． A．北偏西 B．东北方向 C．北偏东 D．北偏东5 【分析】本题考查方向角，连接方向角的定义是正确解答的关键．根据方向角的定义进行判断即可． 【详解】解：由方向角的定义可知，的方向为北偏东， 故选：D． 例3．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 变式1．如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查钟面圆心角的求法，解题的关键是知道钟面刻度将圆心角分为了12份． 将圆心角分为12份求出2份即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 变式2．3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了（   ）分钟 A．30 B．36 C． D． 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握钟面角的计算是解题关键．先求出时针每分钟转动的角度为，分针每分钟转动的角度为，再利用除以即可得． 【详解】解：时针每分钟转动的角度为， 分针每分钟转动的角度为， 所以， 即3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了分钟， 故选：C． 变式3．若点A在点B的南偏西处，则点B在点A的（   ）处 A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 【分析】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键． 直接利用方向角的定义得出结论． 【详解】解：若点A在点B的南偏西处，则点B在点A的北偏东处， 故选：B． 变式4．如图，位于点北偏西方向上的点是 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】本题主要考查了方向角的计算，根据方向角的定义进行求解即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据方向角的定义：上北下南，左西右东，可知位于点北偏西方向上的点． 故选A. 变式5．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 题型7. 角的度量与计算 例1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确，按照角的度量单位进行转化即可判断． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确， 故选：D． 例2．计算： ． 【分析】本题考查了度分秒的换算，正确掌握，是解答本题的关键．把化程度即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 变式1．下列换算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角度的单位换算，根据即可求解； 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 变式2．把角度转化成度的形式： 【分析】本题考查了角度的单位制，熟练掌握角度单位制的换算是解题关键．根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型8. 求一个角的余角计算 例1．如果一个角是，那么它的余角等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查余角，解答的关键是明确互余的两角之和为．利用余角的定义进行求解即可． 【详解】解：这个角的余角是：． 故选：B． 变式1．已知和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了余角的性质．根据余角的性质直接解答． 【详解】∵和互余，， ∴． 故选：B． 变式2．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式3．已知和两个角，且，按题目要求完成下列两题： (1)求出的余角的度数； (2)求出的2倍与的的差． 【分析】本题考查了余角，角的运算． （1）根据余角的定义计算即可； （2）根据题意列出算式，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴的余角 ； （2）解：∵，， ∴ ． 题型9. 求一个角的补角计算 例1．若，则的补角等于（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了补角的计算，角的单位制，根据补角的定义进行计算即可． 【详解】解：若，则的补角为： ， 故选：D． 例2．已知一个角是这个角的补角3倍，求这个角的度数？ 【分析】设这个角是，则补角是度，再根据一个角是这个角的补角3倍列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角是，则补角是度， 根据题意得： 解得， ∴这个角的度数为度． 变式1．已知一个角为，则它的补角度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据补角为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个角为， ∴， ∴它的补角度数为， 故选：C 变式2．一副三角板按如图的方式摆放，则的补角的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形板中的角度计算、补角，熟练掌握补角的计算是解题关键．先利用角的和差可得，然后利用补角的定义求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：D． 变式3．已知和互为补角，并且的一半比小，求． 【分析】根据补角的定义：+=，得到=-，再根据题意列出方程，求出的值． 【详解】已知和互为补角，并且的一半比小， =-，-=， --=， 得，， =-=， ． 题型10. 余角与补角的综合应用 例1．如图，已知，，点B，O，D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查求余角和邻补角，先求得的余角，再根据邻补角定义可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 例2．如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．减小 D．与的和不变 【分析】根据和都是直角，得到，，解答即可． 本题考查了直角的意义，余角的性质，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和都是直角， 故，，， 故减小， A. 增加，本选项错误，不符合题意； B. 增加，本选项错误，不符合题意； C. 增加，本选项错误，不符合题意； D. 与的和不变，本选项正确，符合题意； 故选：D． 例3．如图，已知O为直线上一点，，，平分． (1)小明给出了求的度数的过程，请你补全； 解：因为， 所以． 因为是的平分线， 所以________________， 所以________________． (2)利用三角尺在的右侧作射线，使得，直接写出与的数量关系，判断依据的序号是：________．（①同角的余角相等；②等角的余角相等③同角的补角相等；④等角的补角相等．） 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算和余角的定义． （1）根据角平分线的定义，角的和差计算即可求出答案； （2）根据余角的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为是的平分线， 所以， 所以， 故答案为：，36，，54． （2） ，， ， 判断依据时：同角的余角相等， 故答案为：；①． 变式1．两个角的度数之比是，它们的差是，则这两个角的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【分析】本题考查了角度的计算，设这两个角分别是，，根据题意得出，进而求得两角和为，即可求解． 【详解】解：设这两个角分别是，， 根据题意，得， ， ， 这两个角的数量关系是互余． 故选：B． 变式2．请补充完成以下解答过程． 已知：如图，，，平分，若，求的度数． 解：因为， 所以 ______． 因为______， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为平分， 所以____________ 所以______ 【分析】此题考查的是角的和与差，余角的性质，角平分线定义，掌握各个角的关系、角平分线的定义和同角的余角相等是解决此题的关键．根据同角的余角相等可得，从而求出，再根据角平分线的定义可得，从而求出即可． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 变式3．如图1，和都是直角． (1)如果，则_____________； (2)若逐渐变大，如何变化？_____________； (3)找出图1中一组相等的锐角为_____________； (4)在图2中，利用能够画直角的工具在图2上再画一个与相等的角． 【分析】本题考查了角的计算，余角的性质等知识．解题的关键在于正确的表示角的数量关系． （1），，对计算求解即可； （2），可对逐渐变大，的变化进行判断； （3）由，，即可得到结果； （4）根据同角的余角相等，作，则就是所求的角． 【详解】（1）解：由题意知 ∵ ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：变小 ∵， ∴当逐渐变大，将变小， 故答案为：变小． （3）解： ∵ ∴ 故答案为：． （4）如图2：作，则即为所求． 题型11. 三角板中角度计算问题 例1．如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角板中角度的计算，直接根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴； 故选：B． 例2．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 例3．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，根据角度关系，列出方程，进行求解即可． （1）根据三角板的直角顶点落在直尺上，得出即可； （2）设，则，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵三角板的直角顶点落在直尺上， ∴； （2）解：设，则，根据题意得： ， 解得：， 即． 变式1．如图，将一副三角尺按不同方式摆放．在下列摆放方式中，与不相等的是（   ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 【分析】本题考查的是角的大小的比较、余角和补角的定义，熟练掌握角的大小比较及余角和补角的定义并灵活运用是解决本题的关键． 【详解】解：（1），则与不相等，符合题意； （2） ，则，不符合题意； （3），则，不符合题意； （4），若，则，故与不相等，符合题意； 故选：D． 变式2．如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【分析】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 变式3．将一副三角板的直角顶点重合按图①方式摆放，图②是依据图①而作出的几何图形，试依据图②回答下列问题． (1)若，求度数； (2)设，试探究之间的数量关系． 【分析】本题考查与三角板有关的计算： （1）根据，，可得到的度数； （2）根据同角的余角相等，得到． 【详解】（1）解：由题意，可知：， ∵， ∴； （2），理由如下： ∵，， ∴，， ∴． 变式4．如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为_______，的度数为______，此时_______． (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【分析】本题主要涉及角的旋转以及角的数量关系问题，根据题意找到角的数量关系是解题的关键． （1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第5秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：20，160，180； （2）解：成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中始终成立． （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图 ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，第秒或秒时． 题型12. 几何图形中角度计算问题 例1．如图，直线和相交于点，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算．根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 例2．如图，已知． (1)若，分别求的度数； (2)请思考：与互为补角吗？说明理由． 【分析】本题考考查了角度的几何计算，互补的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由，即可求解； （2）设，根据，分别表示出，再由计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：与互为补角． 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互为补角． 例3．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的相关计算，角平分线的相关计算，对顶角相等等知识． （1）根据平分，得出，由，结合对顶角相等得出，再根据平角定义即可求出； （2）由，设，则，则，由，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 由， ， ； （2）解：由， 设，则， 则， 由， 即， ， 即． 变式1．如图，是的平分线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．先求出，再根据角平分线的定义，求出，最后根据角的和差即可求得答案． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ； 故选：D． 变式2．如图，点A在直线上，过A作射线和，，是的角平分线，已知． 求： (1)的度数； (2)的度数． 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的有关计算． （1）利用补角的定义求出，再根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义即可求出． （2）根据求出，根据角的和差关系求出，最后再根据角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ 变式3．阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则_____； (2)若平分，求的度数． 【分析】本题考查了角的“分补线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，余角补角定义，角的和差倍分关系的计算，分类讨论，是解题的关键． （1）根据“分补线”的定义与补角定义可得，再由余角定义即可求解； （2）根据“分补线”可得，，根据角平分线的定义可得，由，可得，即得． 【详解】（1）解：如图，在内部， ∵射线是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    题型13. 实际应用中角度计算问题 例1．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 【详解】为水面，入射角为， ， 故选 C． 例2．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 变式1．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 变式2．如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 【分析】由于15个齿所对应的中心角的和组成一个周角，而每相邻两齿中心线间的夹角都相等，所以这个夹角的度数为360°÷15，计算即可；同样的方法可计算22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角． 【详解】解：∵一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷15=24°． ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷22≈16.36°≈． ∴轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 变式3．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．平角是一条直线 C．一个锐角的补角比这个角的余角大 D．在同一平面内，若，，则 【分析】本题考查了角、平角、补角、余角的定义，根据角的定义判断选项A，根据平角的定义判断选项B，根据补角和余角的定义判断选项C，根据角的计算可得出或，从而判断选项D． 【详解】解：A、有公共端点的两条射线构成的图形叫做角，故此选项不符合题意； B、平角的两条边构成一条直线，不能说平角是一条直线，故此选项不符合题意； C、一个锐角的补角比这个角的余角大，设这个锐角为α，则它的补角为，余角为，所以，正确，故此选项符合题意； D、在同一个平面内，，，则或，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某校的课间操时间从十点整开始，到十点二十结束，那么在课间操的这段时间，教室内时钟的时针转过的角度为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了钟面角，根据时针1分钟转进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴教室内时钟的时针转过的角度为， 故选：A． 3．（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）早上，彤彤面向太阳站立，向左转后，她面对的方向是（    ） A．东偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．西偏北 【分析】本题考查了方位角的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据方位角的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：确定初始方向：早上面向太阳，太阳在东方，因此彤彤初始面向东方， 理解旋转方向：题目中“向左转”指逆时针旋转，面向东时，逆时针旋转的方向依次为北西南东，计算旋转后的方向：东逆时针转为北，继续转（总共）即从北再向西转，方向为北偏西30°， 故选：B； 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、交于点O，于O．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【分析】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【详解】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 6．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中的度数，即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项符合题意； 故选：． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【分析】本题考查了方向角，利用角的和差求得便即可得出结论． 【详解】解：如图， 由题意可知． ∵， ∴． ∴表示的方向是北偏东． 故选：D． 8．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 9．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论： ①与互余； ②与互补； ③； ④． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查角平分线的性质，余角，补角和角度的和差关系，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线得和，利用平角即可判定①，结合余角和补角得定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分平分， ， ∵三点在同一直线上， ∴， ， 即与互余，故①正确； ∵三点在同一直线上， ， 平分， ， ， 即与互补，故②正确； ， ， 则，故③正确； ， ，故④正确； 故选：D． 10．（21-22六年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确． 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠AOF=∠DOF， ∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF， 即∠COE=∠BOE，所以①正确； ∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°， 所以②正确； ∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD， 而，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴∠BOE+∠BOF=180°， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）度分秒换算： ． 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握是解题的关键，据此进行计算即可得到答案． 【详解】， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河北沧州·期中）若，则的补角为 ． 【分析】本题考查补角的概念以及度分秒的换算，解题的关键是明确补角的定义为两角之和为，并掌握度分秒之间的换算关系． 根据补角的定义，用减去的度数，在计算过程中注意度分秒的换算． 【详解】的补角为：， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）将化表示为度 ． 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）比较大小： ．（用“”、“”或“”填空） 【分析】本题主要考查角度的大小比较，熟练掌握度分秒的换算是解题的关键． 将换算成度分秒的形式，即可比较大小． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，，平分，则 ． 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，则 ． 【分析】本题考查了三角板中的角度计算．熟练掌握三角板中角的特征，角的和差计算，是解题的关键． 根据计算即得． 【详解】解：． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图，是内部一条射线，且，平分，若，则的度数为 ． 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差等知识．设，则，又由角平分线得到，由解得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴可设则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 18．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，当在上方时，分别讨论即可求解 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即或． 故答案为：或． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，平分．给出下面四个结论：①与互余：②与互补；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线得和，利用平角即可判定①，结合余角和补角得定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分 ∴，， ∵A，O，B三点在同一直线上， ， ∴， 即与互余，故①正确； ∵A，O，B三点在同一直线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即与互补，故②正确； ∵， ∴， 则， 不能得到即， 故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 20．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 三、解答题 21. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．      (1)写出和的度数，并比较两个角的大小； (2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等． 【分析】（1）根据分针1分钟走，时针1分钟走进行求解即可； （2）根据（1）写出结合钟面角的特点进行求解即可． 【详解】（1）解：∵分针1分钟走，时针1分钟走， ∴，， ∴； （2）解：时的时候时针与分针的夹角为，40分钟后，分针指向数字8，则此时时针与分针的夹角为， ∴时，时针、分针所夹的度数与的度数相等． 23．（24-25七年级上·北京房山·期末）完成下列说理过程： 如图，，，为的角平分线． 求：的度数． 解：因为①________（如图）， ，（已知）， 所以②________． 因为为的角平分线（已知）， 所以③________（④________）． 所以⑤________． 所以⑥________． 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义；根据图形可得，根据角平分线的定义得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：因为（如图）， ，（已知）， 所以． 因为为的角平分线（已知）， 所以（角平分线的定义）． 所以． 所以． 故答案为：；；；角平分线的定义；；． 24．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，为直线上一点，作射线，，，其中为的平分线，为的平分线，求的度数． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先由平角的定义得到，再由角平分线的定义可得，，最后根据即可得到答案． 【详解】解：为直线上一点， ， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ． 25．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 【分析】（1）根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义解答即可． （2）仿照（1）的思路解答即可． （3）仿照（1）的思路解答即可． 本题考查了角的和差，角的平分线，平角的定义，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． 26．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，，那么是多少度？ (2)若，，其它条件不变，求是多少度？ 【分析】本题考查了角平分线，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得出，，再根据角度之间的关系求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义得出，，再根据角度之间的关系即可得出答案． 【详解】（1）解：为的平分线，是的平分线， ，， ． （2）解：为的平分线，是的平分线，，， ， ， ． 27．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，在钝角内作射线，满足分别平分．                                  (1)若，直接写出的大小； (2)求的大小； (3)如图2，射线绕点从开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线绕点从开始以每秒的速度逆时针旋转，设射线旋转时间为秒，若，直接写出的值． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，角的计算，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据已知条件可求出，再利用角平分线的性质分别求出和． （2）通过设未知数，利用角平分线的性质和角的和差关系来求解． （3）根据射线的旋转速度和时间表示出相应的角度，再结合建立方程求解的值． 【详解】（1）解：， ，根据等式的性质，可得 ． ，平分，平分， ，, ； （2）解：设， ， ． ． 平分， ． ． （3）解：，射线绕点从 开始以每秒的速度逆时针旋转， ．射线绕点从开始以每秒的速度逆时针旋转， ， ． 当时， 可列方程 ． 解方程：， 解得， 当旋转到右侧时，， 此时． 解方程：， 解得． 当和重合时，也满足条件， 此时， 解得， 综上，或或 28．（24-25七年级上·四川成都·期末）在一次数学活动课上，小天同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面的问题，请你帮助小天一起求解．已知，，平分，平分． 【初步感知】 （1）如图，当在的内部，且与重合时，的度数为 °． 【深入探究】 （2）如图2，将从图的位置开始以每秒的速度绕着点顺时针旋转，设旋转的时间为秒，设． ①当时，求时的值； ②小天同学发现的度数在某些时间范围内保持不变，请求出保持不变时的度数及此时的取值范围． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算、利用一元一次方程解决动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可直接得解； （2）①根据动角运动轨迹分别表示出、、，再代入建立方程求解即可； ②分类讨论，在上方且在也在上方、在上方且在也在下方、在下方时，进而根据角的和差求解即可． 【详解】解：（1）∵与重合， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①由题易知， ∴，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得或； ②当时，如图， 同①中方法可得； 当时，如图， 此时，， ∴，， ∴； 当时， 此时此时，， ∴，， ∴； 综上，当时，，当时，． 29．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，O为直线上的一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方．    (1)如图，的度数为________，的度数为________． (2)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数． (3)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为________． 【分析】（）利用平角定义可求出的度数，根据角的和差关系可求出的度数； （）利用角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （）设，则，，代入式子计算即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，恰好平分， ∴， ∴； （3）解：设，则，， ∴， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一副三角板如图1进行摆放，其中，，点A、O、C在直线上，点B在射线上，点D在射线上．三角板以每秒绕着点O顺时针方向旋转，同时三角板以每秒绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒，两副三角板的旋转角度均小于． (1)当秒时， °． (2)如图2，当射线平分时，求的度数． (3)直接写出当时，t的值． 【分析】（1）先求解，再求解当时，，，结合角的和差运算可得答案； （2）结合题意可得：，，，可得，求解，再建立方程求解即可； （3）如图，当相遇前，可得，当相遇后，如图，可得，再解方程可得答案. 【详解】（1）解：如图，当时， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：128； （2）解：由题意可得：，，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 解得：； ∴； （3）解：如图，当相遇前， 由题意可得：，，， ∴， 解得：， 当相遇后，如图， 由题意可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或时，. 31．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图2，因为平分，， 所以 因为， 所以 ． 小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”． 完成以下问题： (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数． (3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，为何值，使得成立？请求出此时的值． 【分析】本题考查了与角平分线的定义有关的计算、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再由计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，再由计算即可得解； （3）由角平分线的定义可得，求出，再结合得到，计算即可得解． 【详解】（1）解：如图2，因为平分，， 所以， 因为， 所以； （2）解：如图3 ∵平分，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵成立， ∴在的内部，如图6−3， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，使得成立． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$