第四章 图形的认识：6大考点+ 12大题型+强化训练（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了“图形的认识”单元知识体系，将线段、射线、直线、角等核心概念按“定义-表示方法-性质应用”逻辑分层，并用对比表格呈现线段中点与角平分线的定义、几何语言及数量关系，清晰突出重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如“正方体展开图判断”培养空间观念，“动点问题线段长度表示”发展推理意识，典例结合变式练习覆盖基础到综合。每个知识点配套几何语言规范指导，帮助学生夯实基础或提升综合应用能力，为教师精准教学提供清晰路径。

第四章 图形的认识 教学目标 1. 认识线段、射线、直线及角的概念与特征，掌握其表示方法和度量换算。 2. 理解线段中点、角平分线的定义与性质，能规范进行几何语言表达。 3. 会用直尺和圆规进行基本作图，能运用相关知识解决简单几何计算与实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握线段、射线、直线及角的核心特征、表示方法和角度单位换算。 （2）理解线段中点、角平分线的性质，能规范作图并进行基础几何计算。 2.难点 （1）抽象理解射线、直线的无限延伸性及几何概念的严谨性，避免概念混淆。 （2）运用几何语言规范表达推理过程，结合图形灵活解决综合计算问题。 知识点1： 线段、射线、直线 - 定义： - 线段：有2个端点，不可延伸，可度量长度； - 射线：有1个端点，向一端无限延伸，不可度量； - 直线：无端点，向两端无限延伸，不可度量。 - 表示方法： - 线段：线段AB（BA）；射线：射线OA（端点在前）；直线：直线AB（BA）或直线l。 - 关键事实：两点确定一条直线（实际应用：确定路线、作图定位）。 知识点2：线段的中点 - 定义：将线段分成两条相等线段的点，在线段上唯一存在。 - 核心关系：若M是线段AB中点，则AM=MB=½AB（反之可判定中点）。 - 几何语言：∵M是线段AB中点→AM=MB；∵AM=MB（M在AB上）→M是AB中点。 知识点3： 角的基础认知 - 定义：由两条有公共端点的射线组成，公共端点为角的顶点，射线为角的边。 - 表示方法：∠AOB（顶点在中间）、∠O（单顶点无混淆）、∠1（数字标注）。 - 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），进率：1°=60′，1′=60″（六十进制）。 知识点4： 角的分类（按度数） - 锐角：0°＜α＜90°；直角：α=90°；钝角：90°＜α＜180°； - 平角：α=180°（两边反向延长线，非直线）；周角：α=360°（一边绕顶点旋转一周）； - 核心关系：1周角=2平角=4直角=360°。 知识点5：关联角（数量关系） - 余角：和为90°的两个角，同角（等角）的余角相等； - 补角：和为180°的两个角，同角（等角）的补角相等； - 邻补角：共顶点、共边且另一边反向延长线，和为180°（兼具相邻+互补）。 知识点6： 角平分线 - 定义：从角顶点出发，将角分成两个相等角的射线（仅向角内部延伸）。 - 核心关系：若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB（反之可判定平分线）。 - 几何语言：∵OC平分∠AOB→∠AOC=∠COB；∵∠AOC=∠COB（OC在∠AOB内）→OC平分∠AOB。 题型01 常见的几何体 【典例1】（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图是一幅几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（     ） A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．球体 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的识别，掌握常见几何体是关键． 根据图示，结合常见几何体即可求解． 【详解】解：根据图示，图中有棱柱、棱锥、球体， ∴没有圆柱， 故选：C ． 【变式1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列实物模型，其整体形状呈现为圆锥形象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对圆锥几何体形状特征的理解与应用，解题关键是清晰把握圆锥的定义（一个圆形底面、一个曲面侧面、一条高），并将各实物模型形状与之对比甄别．需依据圆锥的形状特征（一个圆形底面、一个曲面侧面、仅一条高），对每个选项的实物模型形状逐一分析判断． 【详解】解：选项A的实物模型整体形状为长方体（四棱柱），不符合圆锥特征．长方体由六个矩形面组成，有12条棱、8个顶点，与圆锥的曲面、单一底面等特征完全不同． 选项B的实物模型整体形状为圆柱，不符合圆锥特征．其具备两个平行的圆形底面和曲面侧面，属于圆柱结构，不具备圆锥的形状特点； 选项C的实物模型整体形状呈现为圆锥形象．它有一个圆形底面，侧面是曲面，从顶部到底面圆心的距离为唯一的一条高，符合圆锥的形状特征； 选项D的实物模型整体形状为长方体（四棱柱），不符合圆锥特征．长方体由六个矩形面组成，有12条棱、8个顶点，与圆锥的曲面、单一底面等特征完全不同． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·月考）下面的几何体中，属于柱体的有 ． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题考查的知识点是认识立体图形，解题的关键是熟练地掌握认识立体图形． 先要明确柱体的概念，然后根据图示进行解答． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：第①、②、③、⑥， 故答案为：①②③⑥． 【变式3】（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【分析】本题考查了常见的几何体，立体图形的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给的图形确定图形的名称； （2）先说出各个图形的名称，再归类即可． 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱， 故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 题型02 正方体的展开图 【典例2】（2025六年级上·湖南长沙·专题练习）下列各图中，不属于正方体展开图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图的识别. 正方体展开图有11种情况，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 【详解】解：根据正方体展开图的特征，只有选项A不属于正方体展开图， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）国庆节快到了，准备一个正方体礼盒，六个面分别写有“祝”“福”“祖”“国”“万”“岁”，其中“祝”的对面是“祖”，“万”的对面是“岁”，则它的平面展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的侧面展开图，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；因此此题可根据正方体的侧面展开图可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知该正方体的侧面展开图为C选项； 故选C． 【变式2】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是 ． 【答案】欢 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据长方体的展开图有“”型、“”型、“”、“”型解答即可． 【详解】解：根据正方体的展开图可得：要使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，应剪去标记为“欢”的小正方形． 故答案为：欢． 【变式3】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与点A重合的点是 ． 【答案】I和K 【分析】本题考查正方体的展开图，根据展开图，还原正方体，进行判断即可． 【详解】解：将正方体表面的展开图，折叠成正方体后，与点A重合的点是I和K， 故答案为：I和K． 题型03 有展开图计算几何体的表面积或体积 【典例3】（25-26八年级上·山西临汾·月考）如图，将一个长方形纸片的四个角剪去个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，认真观察图形，得出等量关系是解题关键．根据长方体盒子的表面积纸片的面积个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：这个长方体盒子的表面积为． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握长方体的表面展开图的特点是解题关键．先根据长方体的表面展开图求出原长方体的长、宽、高，再利用长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，原长方体的宽为，长为，高为， 则原长方体的体积是， 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是 升．（接头处忽略不计）（取） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的体积，掌握圆的周长及圆柱的体积公式是解题的关键． 设个水桶的底面直径为，则水桶的高为，根据“底面周长十直径=长方形的长”列方程并求解，再由圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解∶设个水桶的底面直径为，则水桶的高．根据题意，得 解得， 升 故答案为： 题型04 线段、射线、直线 【典例4】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，在直线AD上有四个不同的点，图中线段条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的定义，熟练掌握按顺序数线段的方法是解题的关键． 按照线段的定义，依次找出以每个点为端点的线段，最后统计总数． 【详解】解：以为端点的线段：、、， 以为端点的线段：、， 以为端点的线段：， 线段总数：， 故选：. 【变式1】（25-26七年级上·福建厦门·月考）下列说法正确的是（    ） A．延长直线 B．延长线段和延长线段的含义相同 C．直线和直线是同一条直线 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的基本概念，根据直线、射线、线段的定义和性质判断各选项的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、直线是无限延伸的，不可延长，故原选项错误，不符合题意； 、延长线段是从点延长，延长线段是从点延长，方向不同，故原选项错误，不符合题意； 、直线没有方向，直线和直线表示同一条直线，故原选项正确，符合题意； 、射线有端点，射线以为端点，射线以为端点，不是同一条射线，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）图中共有 条直线，是 ；共有 条线段，是 ；以D为端点的射线有 条，是 ；线段 和射线相交于点． 【答案】 1 直线AC   6 线段AB，BD，BC，AD，AC，CD 3 射线DA，DB，DC AB，BD 【分析】本题考查直线、线段和射线的定义，准确识别图中的几何元素是解题的关键． 根据图中信息，准确识别几何元素即可． 【详解】解：图中直线有直线，共1条； 线段有线段共6条； 以为端点的射线有射线，共3条； 线段和射线相交于点． 故答案为：①1；②直线；③6；④线段； ⑤3；⑥射线；⑦线段． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 题型05 与线段中点有关的计算 【典例5】（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，是线段的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点，熟练掌握“把一条线段分为两条相等线段的点，叫做线段的中点”是解题的关键．根据线段中点的含义进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，点在线段上，点是线段的中点．若，，则的长是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查线段中点和差关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据题意得，结合即可求得． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，线段，点在线段上，，点是的中点，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差计算和有关线段中点的计算．先由求出，再根据线段中点的意义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点B，D在线段上，且，是的中点． (1)若，求的长． (2)直接写出是的多少倍． 【答案】(1) (2)2倍 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的计算是解题关键． （1）先求出，再求出，根据线段中点的定义可得，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据线段中点的定义可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 即是的2倍． 题型06 线段的和差 【典例6】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的计算，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．根据线段中点的性质得出，根据点在上，且，得到，由即可求解． 【详解】解：∵线段，是中点， ∴， ∵点在上，且， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）在直线上顺次取三点，使得，．如果点是线段的中点，那么线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点定义及线段的和差，关键是熟练掌握知识点进行求解； 先根据的长度求出的长度，再根据点是的中点求出的长度，最后通过点的位置求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 又∵点顺次排列，且， ∴点在点的右侧，， 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． （1）先根据点为线段的中点，得出的长，进而可得出结论； （2）先求出的长，再由得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知C、 D是线段上两点，且，，若点M、N分别是线段、的中点，，求的长． 【答案】45或36 【分析】本题考查了中点的定义及两点之间的距离的求法，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．设，分两种情况：①当点D在点C的左边时，②当点D在点C的右边时，分别利用建立方程求解即可． 【详解】解：设，则，， ①当点D在点C的左边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， ②当点D在点C的右边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， 综上所述：线段AB的长是45或36． 题型07 角的概念 【典例7】（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，根据角的表示方法，结合图形判断即可． 【详解】解：A、选项中的图中、、表示的是同一个角，符合题意； B、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； C、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； D、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在内部作了一条射线，下列说法错误的是（   ） A．图中共有3个角 B．可以用表示 C．与是同一个角 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法即可判断求解． 【详解】解：A、图中共有3个角、、，故选项A正确，不符合题意； B、不可以用表示，故选项B错误，符合题意； C、与是同一个角，该选项C正确，不符合题意； D、，该选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【答案】 B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 【变式3】（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 题型08 角度单位的换算 【典例8】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和差与度分秒的换算，解题的关键是掌握平角的定义以及度分秒的运算规则． 根据平角的定义，用减去和的度数，即可求出的度数． 【详解】解：因为点在直线上，所以， 将代入可得： ， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角的运算，需要将度与度相加，分与分相加，注意分的进位制，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型09 与角平分线有关的计算 【典例9】（24-25七年级上·四川资阳·开学考试）如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 利用角的和差求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了和差计算，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由角平分线的定义得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵射线，分别平分， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，平分，平分，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的性质以及有关角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的性质． 根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 题型10 与等角或补角有关的计算 【典例10】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键．先根据光的反射定律和已知条件可得：，从而求出，再根据余角的性质可得即可解答． 【详解】解：根据光的反射定律可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，和都是直角． （1）如果，则 ； （2）找出图中一组相等的锐角为： ； （3）选择，若变小，将 ． A．变大        B．变小        C．不变        D．不确定 【答案】 A 【分析】本题考查了余角和补角，以及角的计算，解决本题的关键是掌握相关的计算． （1）根据题意得，，求出的度数，然后即可求出的度数； （2）根据同角的余角相等进行求解即可； （3）根据，可得，进而得到逐渐变小，则逐渐变大． 【详解】解：（1）根据题意得， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵ ， ∴， ∴逐渐变小，逐渐变大． 故答案为：A． 【变式3】（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和与差的关系是解题的关键． （1）利用角的和与差的关系即可求值； （2）利用角的和与差的关系即可求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 题型11 尺规作图 【典例11】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，平面上有A、B、C、D四个点，根据下列语句画出图形： (1)连接； (2)用尺规在线段上作一条线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段作图，理解题意，掌握线段的作图方法是关键． （1）根据题意，连接线段即可； （2）根据线段和差计算方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求图形； （2）解：如图所示，以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，得， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，平面上有射线和点、点，按下列语句要求画图： (1)连接； (2)用尺规在射线上截取；（保留作图痕迹） (3)连接，并延长到，使； (4)连接，在上找一点，使得到点与点的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是利用直线，射线及线段的定义画图． （1）根据要求连接即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点D，则； （3）延长，在延长线上截取； （4）连接，交于点，则Q到点与点的距离之和最短． 【详解】（1）解：连接，如图， （2）解：用尺规在射线上截取； （3）解：如图所示，延长，在延长线上截取； （4）解：连接，交于点，则到点与点的距离之和最短． 【变式2】（25-26七年级上·宁夏固原·月考）（1）如图，已知三点． ①画直线；②画射线；③画线段． （2）画，反向延长到，画射线使平分． 【答案】（1）①见详解②见详解③见详解（2）见详解 【分析】本题考查了用量角器画角，角平分线有关的计算，画线段，射线，直线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据直线的定义进行作图即可； ②根据射线的定义进行作图即可； ③根据线段的定义进行作图即可； （2）画射线，以为顶点，为一边，用量角器量出角，画出射线，得到，则；以为顶点，为一边，用量角器量出角，画出射线，得到；即为的平分线． 【详解】解：（1）①直线如图所示： ②射线如图所示： ③线段如图所示： （2），射线如图所示． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）按要求画图并回答问题： 已知：如图点，点，点． (1)画出直线，射线，线段； (2)在点的东北方向上有一点，，请直接写出下列各题的结论． ①点在点的北偏西多少度？ ②点为平面内一点，若射线为的角平分线，点在点的北偏东多少度？ ③点为平面内一点，且，若，写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①点在点的北偏西②点在点的北偏东③或 【分析】本题考查作图，方向角，角平分线的定义，角的和差运算，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义作图即可； （2）①由方向角的定义得，则，则可得点在点的北偏西25°； ②由题意得，则，，即点在点的北偏东； ③当在射线左侧时，可得，则； 当在射线右侧时，可得，则可得． 【详解】（1）解：如图所示，直线，射线，线段即为所求， （2）解：①∵点的东北方向上有一点， ∴， ∵， ∴， ∴点在点的北偏西； ②∵射线为的角平分线， ∴， ∴， ∴点在点的北偏东； ③当在射线左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在射线右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 题型12 动点问题 【典例12】（23-24七年级上·江苏南京·月考）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 【变式1】（23-24七年级上·山西·期末）如图，已知A，O，B为数轴上三个点，A为原点右侧一定点，O为原点，B为数轴上一动点，B从数轴原点O出发，沿数轴运动．当时，和两条线段的中点相距 个单位长度． 【答案】1或3 【分析】分点B向左运动和点B向右运动两种情况求解即可． 【详解】解：当点B向左运动时，设OA、OB的中点分别是M、N，如图， ∵，OA=4， ∴OB=2， ∵OA、OB的中点分别是M、N， ∴OM=OA=2，ON=OB=1， ∴MN=1+2=3； 当点B向右运动时，设OA、OB的中点分别是M、N，如图， ∵，OA=4， ∴OB=2， ∵OA、OB的中点分别是M、N， ∴OM=OA=2，ON=OB=1， ∴MN=2-1=1； 综上可知，和两条线段的中点相距1或3个单位长度． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段的中点，以及两点间的距离，分类讨论是解答本题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2或6 (2)0或2 (3)存在的值最小，点P所表示的整数为，最小值为6 【分析】本题主要考查数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系是解题的关键； （1）根据，分两种情况：①点在点的左边；②点在点的右边；分别求出点表示的数即可； （2）根据点是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点表示的数即可； （3）根据图示，可得当点在、两点之间时，的值最小，据此判断即可． 【详解】（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答： ①点在点的左边时， ，， ∴点表示数的是2， ②点在点的右边时， ，， ∴点表示的是6， 综上，可得点表示的数是2或6； （2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点， ， ∴线段的长度是6，分两种情况进行解答： ①时，点表示的数是， ②时，点表示的数是， 综上，可得点表示的是0或2； （3）解：存在，理由如下： 根据绝对值的几何意义，可得： 当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为， 此时，最小值为， 所以的最小值是6． 【变式3】（23-24七年级上·河南漯河·期末）【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若，则线段 ； ②若，则线段 ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示） 【答案】（1）①7；②7； （2）的度数为； （3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． [特例感知]（1）①根据线段中点的定义得到，由得到，即可求解；②方法同上； [知识迁移]（2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； [拓展探究]（3）根据角平分线的定义得到，，则，由即可求解． 【详解】解：[特例感知] （1）①，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②同理，， 故答案为：； [知识迁移] （2），射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； [拓展探究] （3）∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求钟面角，分别求出每分钟时针所走的角度，结合角度加减即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， 每分钟时针走：， ∴时针和分针之间形成的角为：， 故选：B． 2．（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“国”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A．在 B．我 C．心 D．中 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的展开图 ；根据几何体的展开图特征解答即可． 【详解】解：原正方体中“国”字所在的面相对的面上标的字是：心； 故选：C． 4．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是几何图形中角度计算问题，解题的关键是熟练掌握角的和差计算． 先根据在的内部得，即可求解． 【详解】解：∵在的内部， ， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，若射线，把三等分，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，先理解射线，把三等分，则则，再根据角度的运算，即可得出． 【详解】解：∵射线，把三等分， ∴ ∴， 则 故， 故答案为：，． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，D为线段AB上一点，C为线段AB的中点．已知，则线段CD的长为 ． 【答案】9 【分析】根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解： 又是线段的中点， ， ， . 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键． 8．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，将这个平面展开图重新折叠成一个正方体后，“志”字对面的字是 ． 有 志 者 事 竟 成 【答案】成 【分析】本题考查的知识点是正方体相对两个面上的文字，解题关键是熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：根据正方体的表面展开图找相对面的方法可得： “有”和“事”是相对面，“者”和“竟”是相对面，“志”和“成”是相对面． 故答案为：成 9．（25-26七年级上·山东滨州·月考）如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴，数形结合思想是解题的关键．先根据图形结合题意得到A所表示的数，再根据相反数的位置关系求出结果． 【详解】解：∵，点C表示的数为， ∴点A表示的数为， ∵， ∴点B所表示的数为6． 故答案为：6． 三、解答题 10．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． （1）先根据线段的中点定义得到，再由线段的和差得到即可； （2）根据线段的中点得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴ ∵， ∴ （2）解：∵N是的中点，， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 12．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，已知平面上四个点．按下列要求画图（不写画法）． (1)； (2)过点作直线； (3)作射线，交于点； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了线段、直线、射线的基本作图，解题的关键是掌握线段、直线、射线的定义及画法． （1）连接点A与点B得到线段； （2）过点A、C作向两端无限延伸的直线； （3）以D为端点作射线，使其与直线相交，交点记为O． 【详解】（1）连接，得到线段； （2）过点、作直线； （3）作射线，射线与直线的交点为点． 13．（25-26七年级上·河南郑州·期中）七年级数学活动课上，“探究小组”利用一个长为，宽为的长方形纸板制作长方体纸盒，如图是纸盒的平面展开图．请结合图形解决下列问题： (1)小组成员发现，他们剪开后的平面展开图无法拼成长方体，请你帮助他们直接在图中修改，使修改后的平面展开图可以拼成长方体纸盒．若有多余面，则把多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全． (2)修改后的平面展开图，拼成长方体纸盒的体积为_______，表面积为_______（用含的代数式表示）； (3)当时，制作一个这样的长方体纸盒后，纸板还剩多少？ 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)． 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据长方体体积、表面积的计算方法进行计算即可； （3）求出长方体的表面积，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由长方体表面展开图的特征可知，有多余的面，将图中涂阴影部分的面去掉即可； （2）解：将修改后的展开图折叠成的几何体是长为，宽为，高为的长方体， 所以长方体的体积为，表面积为， 故答案为：，； （3）解：当，时，纸盒的表面积为， 纸板还剩， 答：纸板还剩． 14．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)50 (2)的度数为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角的平分线性质与角的和差运算，解题的关键是利用直角、平角的度数，结合角平分线定义，通过设未知数或直接计算推导角度关系． （1）先由和求出，再由角平分线得，最后用平角求 （2）设为，根据与的关系及角平分线，结合列方程求，进而求 （3）设为，利用角平分线、平角和直角的性质，分别表示出、、，从而推导与的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵、、共线， ∴． 故答案为：． （2）解：设，则， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 答：的度数为． （3）解：，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章 图形的认识 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1线段、射线、直线 知识点2线段的中点 知识点3角的基础认识 知识清单 知识点4角的分类 知识点5关联角 知识点6角平分线 题型1常见的几何体 题型2正方体的展开图 第四章图形的认识 题型3由展开图计算几何体的表面积或体积 题型4线段、射线、直线 题型5与线段的中点有关的计算 题型6线段的和嗟 题型精讲 题型7角的概念 题型8角度单位的换算 题型9与角平分线有关的计算 题型10与等角或补角有关的计算 题型11尺规作图 题型12动点问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.认识线段、射线、直线及角的概念与特征，掌握其表示方法和度量换算。 2.理解线段中点、角平分线的定义与性质，能规范进行几何语言表达。 教学月标 3.会用直尺和圆规进行基本作图，能运用相关知识解决简单几何计算与实际问题。 1.重点 教学重难点 (1)掌握线段、射线、直线及角的核心特征、表示方法和角度单位换算。 (2)理解线段中点、角平分线的性质，能规范作图并进行基础几何计算。 1/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)抽象理解射线、直线的无限延伸性及几何概念的严谨性，避免概念混淆。 (2)运用几何语言规范表达推理过程，结合图形灵活解决综合计算问题 知识清单 知识点1：线段、射线、直线 定义： ·线段：有2个端点，不可延伸，可度量长度； ·射线：有1个端点，向一端无限延伸，不可度量； ·直线：无端点，向两端无限延伸，不可度量。 ·表示方法： ·线段：线段AB(BA);射线：射线OA(端点在前)；直线：直线AB(BA)或直线I。 ·关键事实：两点确定一条直线（实际应用：确定路线、作图定位）。 知识点2：线段的中点 ·定义：将线段分成两条相等线段的点，在线段上唯一存在。 ·核心关系：若M是线段AB中点，则AM=MB=AB(反之可判定中点)。 ·几何语言：，M是线段AB中点→AM=MB;,AM=MB(M在AB上)→M是AB中点。 知识点3：角的基础认知 ·定义：由两条有公共端点的射线组成，公共端点为角的顶点，射线为角的边。 ·表示方法：∠OB(J顶点在中间)、∠O(单顶点无混淆)、∠1（数字标注)。 -度量单位：度（°）、分(')、秒（”)，进率：1°=60'，1'=60”（六十进制）.。 知识点4：角的分类（按度数) -锐角：0°<a<90°；直角：a=90°；钝角：90°<a<180°； ·平角：ū=180°（两边反向延长线，非直线)；周角：=360°（一边绕顶点旋转一周）： -核心关系：1周角=2平角=4直角=360°。 知识点5：关联角（数量关系） ·余角：和为90°的两个角，同角（等角）的余角相等； ·补角：和为180°的两个角，同角（等角）的补角相等； ·邻补角：共顶点、共边且另一边反向延长线，和为180°（兼具相邻+互补)。 知识点6：角平分线 ·定义：从角顶点出发，将角分成两个相等角的射线（仅向角内部延伸）。 ·核心关系：若OC平分∠AOB,则∠AOC∠COB=∠AOB(反之可判定平分线)。 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·几何语言：OC平分∠AOB→∠AOC=∠COB;:∠AOC=∠COB(OC在∠AOB内)→OC平分∠AOB。 题型精讲 题型01常见的几何体 【典例1(25-26七年级上·山西晋中.期中)如图是一幅几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是() A.棱柱 B.棱锥 C.圆柱 D.球体 【变式1】(25-26七年级上·广东深圳期中)观察下列实物模型，其整体形状呈现为圆锥形象的是() A. 图 B 【变式2】(25-26七年级上河南郑州月考)下面的几何体中，属于柱体的有 1 2 ⊙ 【变式3】(25-26六年级上山东泰安期中)观察如图所示的8个几何体 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ (1)按序号写出各自几何体的名称：② ⑥ (2)在以上几何体中，是柱体的有」 (填序号)；含曲面的有」 (填序号). 题型02正方体的展开图 【典例2】(2025六年级上·湖南长沙.专题练习)下列各图中，不属于正方体展开图形的是(). 3/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26七年级上·全国·期中)国庆节快到了，准备一个正方体礼盒，六个面分别写有“祝“福“祖” “国“万“岁”，其中“祝的对面是“祖”，“万”的对面是“岁”，则它的平面展开图可能是() 祝 福 万 祝福 祝 A. 祖国 B. 福祖国万 万岁 岁 祝 福万国岁 D 祝福祖 C. 国万岁 祖 【变式2】(23-24七年级上·四川宜宾·期末)从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6 个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是一· 大美 铜仁 欢迎您 【变式3】(24-25七年级上·贵州贵阳·期末)如图，是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与点A 重合的点是■ C D B A NM L K 题型03有展开图计算几何体的表面积或体积 【典例3】(25-26八年级上山西临汾·月考)如图，将一个长方形纸片的四个角剪去4个相同的小正方形， 并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表 面积为() 4/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b A.ab-4x2 B.2ax+4x2 C.2bx+4x2 D.2ax+2bx-4x2 【变式1】(24-25七年级上广东深圳期末)用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖 的长方体纸盒.如图为三位同学的提供的方案，其中AB=2厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕 B D 方案1 方案2 方案3 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是() A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.一样大 【变式2】(24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习)如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形 ABCD是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 B 6cm F E D A 8cm 【变式3】(24-25六年级下·上海·期中)如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖 的圆柱形水桶.这个水桶的容积是_ _升.（接头处忽略不计）（π取3.14） 16.56dm 题型04线段、射线、直线 5/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例4】(25-26七年级上·四川成都·期中)如图，在直线AD上有四个不同的点，图中线段条数为() A A.4 B.5 C.6 D.7 【变式1】(25-26七年级上福建厦门月考)下列说法正确的是() A.延长直线AB B.延长线段AB和延长线段BA的含义相同 C.直线AB和直线BA是同一条直线 D.射线AB和射线BA是同一条射线 【变式2】(25-26七年级上·全国·课后作业)图中共有 条直线，是」 共有」 条线 段，是」 ；以D为端点的射线有条，是 ；线段」 和射线BC相交于点B 【变式3】(24-25七年级上·吉林长春·月考)如图，有下列结论： D ①以点A为端点的射线共有5条； ②以点D为端点的线段共有4条； ③射线CD和射线DC是同一条射线； ④直线BC和直线EF是同一条直线. 以上结论正确的是 (填序号) 题型05与线段中点有关的计算 【典例5】(24-25七年级上云南保山期末)如图，C是线段AB的中点，若AB=10cm,则AC的长为() A C B A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 【变式1】(24-25七年级上·陕西延安·期末)如图，点D在线段AC上，点C是线段AB的中点.若AB=8, CD=3,则BD的长是· 6/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D C B 【变式2】(25-26七年级上·四川成都·期中)如图，线段AB=10cm,点C在线段AB上，AC=6cm,点D 是BC的中点，则线段BD长为cm A C D B 【变式3】(25-26七年级上河北唐山期中)如图，点B,D在线段AC上，且BC=3AB,D是AC的中点. A B D C (I)若AB=2cm,求BD的长. 2)直接写出CD是AB的多少倍. 题型06线段的和差 【典例6】(24-25七年级上·河北石家庄·期中)如图，已知线段AB=10cm,M是AB中点，点N在MB上， MN:NB=3:2,那么线段MN的长为() A M N B A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm 【变式1】(25-26七年级上·河南郑州期中)在直线1上顺次取A,B,C三点，使得AB=2cm,BC=3cm·如 果点P是线段AC的中点，那么线段PB的长度是 【变式2】(24-25六年级上·上海·月考)如图，点C、E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点， AB=6,CD=1. A E D C B (I)求BC的长， (2)若EC=3AE,求EC的长. 【变式3】(2025七年级上全国：专题练习)已知C、D是线段AB上两点，且AC=;AB,CD=AC,若 点M、N分别是线段AC、BD的中点，MN=20,求AB的长. 趣型07角的概念 【典例7】(24-25九年级上·江苏无锡·月考)如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是() 7/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B 【变式1】(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，在∠A0C内部作了一条射线，下列说法错误的是() C B A A.图中共有3个角 B.∠AOC可以用L0表示 C.∠1与∠A0B是同一个角 D.∠A0C=LA0B+∠2 【变式2】(25-26七年级上全国课后作业)如图，∠2可以表示成∠ABC或∠一，∠1可以表示成 ∠ ∠C可以表示成∠」 或∠ 【变式3】(23-24六年级下·全国假期作业)如图，用三个大写字母表示所标记的各角. A (1)∠1可以表示为」 (2)∠2可以表示为」 (3)∠3可以表示为」 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型08角度单位的换算 【典例8(25-26七年级上河南濮阳·期中)若∠1=3333，∠2=33.33°，∠3=33.55°，则下列结论正确的是() A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1<∠3 D.∠1=∠3 【变式1】(25-26七年级上·辽宁沈阳·期中)如图，已知点0在直线AB上，∠1=6515'，∠2=7830'，则 ∠3的度数为() D 3I A.3615 B.143°45 C.13°15 D.36.15° 【变式2】(25-26七年级上·黑龙江期末)计算：839'+7°21'= 【变式3】(23-24七年级上·贵州黔东南期中)计算： (1)23°53'×3+107°43'÷5； (2)6139'-225'32". 题型09与角平分线有关的计算 【典例9】(24-25七年级上四川资阳·开学考试)如图，LA0D=50°，过点0在角内部引一射线0C,OB是 ∠AOC的平分线，若∠C0D=20°，则LB0D=() D A.25° B.30° C.35° D.40° 【变式1】(24-25七年级下·浙江宁波·开学考试)如图，射线OB,OC分别在∠AOD,∠BOD的内部，且 射线OM,ON分别平分∠AOB,∠COD.若∠MON=a,∠BOC=B,则LA0D=() 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M A.2a B.2a-B C.a+B D.a-B 【变式2】(25-26七年级上·河北石家庄·期中)如图，己知∠A0B=120°，0D平分∠A0C,OE平分 ∠B0C,则LD0E=一 D B 【变式3】(23-24七年级上·吉林辽源期末)已知，O是直线AB上的一点，∠C0D是直角，OE平分 ∠BOC. B A B D 图① 图② (1)如图①，LA0C=45°，求LD0E的度数； (2)在图①，LA0C=a,直接写出∠DOE的度数；（用含o的代数式表示） (3)将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究∠AOC与∠DOE的度 数之间的关系. 题型10与等角或补角有关的计算 【典例10】(24-25七年级上甘肃平凉·期末)已知∠A与∠B互为余角，∠B与∠C互为补角，∠C=120°， 则∠A等于() A.120° B.60° C.30 D.90° 【变式1】(25-26八年级上·安微芜湖·阶段练习)如图所示的是光的反射定律示意图，P0,00,0M分别 是入射光线、反射光线和法线.若∠POQ=4∠POB,则∠AOQ的度数是() 10/17