湖南省长沙市长郡集团2025-2026学年九年级上学期第二次学情分析数学试题

2025年秋季第二次学情分析 数 学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条 形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分. ® 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个 如 选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.) 1.长沙2025体育中考“一分钟仰卧起坐”项目女生满分标准是每三分钟 45次.若把47次记为+2，则应把43次记为 A.-3 B.-2 C.-1 D.+3 2.下面的图形是常见的安全标志，其中是轴对称图形的是 3.下列运算中，正确的是 A.3a3-a2=2a B.(a+b)2=a2+b2 C.(3a)2=6a2 D.(a2b)2=a4b2 4.据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示， 2022年和2024年全国居民人均可支配收人分别为3.7万元和4.5万 元.设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x,依题意可列方程为 A.3.7(1-x)2=4.5 B.3.7(1+x)2=4.5 C.4.5(1-x)2=3.7 D.4.5(1+x)2=3.7 5.在平面直角坐标系中，四边形ABCD顶点A的坐标为(2，一4)，若以原 点O为位似中心，画出四边形A'B'C'D',使它与四边形ABCD的相似 比为多，则点A的坐标为 A.(3,-6) B.（-6,3) C.(3,-6)或(-3,6) D.(-6,3)或(6，-3) 数学试题(C) 第1页（共8页） 6如图，在平行四边形ABCD中，器-号，DE交AC于点P,那么-的值 是 A号 c号 3 7.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半 径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B, 连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交 AB于点C,测出AB=l6cm,CD=4cm,则圆形工件的 半径为 A.20 cm B.14 cm C.10 cm D.8 cm 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O,过点B作BE∥CD交AD 于点E.若∠AEB=75°，则∠ABC的度数为 A.95° B.100° C.1059 D.110° 9.已知一次函数y=ax一b的图象如图所示，则二次函数y=ax2十bx十b 在平面直角坐标系中的图象可能是 o 10.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(0,3)，(3,0)，连接AB, 过点B作BC⊥AB交反比例函数y=的图象于点C,连接AC交反比例 函数的图象于点D.若D为AC中点，则k的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 数学试题(C)第2页（共8页） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.分解因式：xy2一4x= 12.在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他 完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左 右，则口袋中白球个数最可能为 13.若a2+3a一4=0，则2a2+6a= 14.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成 像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线 经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A,B的对应点 分别是C,D).若物体AB的高为9cm,实像CD的高度为3cm,则小 孔O的高度OE为 cm 第14题图 第15题图 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3.若以AC所在直线为 轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 .(结果含π) 16.王老师在数学活动课上做了一个有趣的游戏：每位学生把自己出生日 期中的“月”乘以4，再加上5，然后把所得的结果乘以25，最后加上出 生日期中的“日”，得到一个计算结果.只要学生把计算结果报出来，王 老师就可以推测出学生的生日，聪明的言言经过思考，也发现了其中的 数学奥秘，并能够准确地推测出生日.如果A同学报出来的计算结果 是1042，那么A同学的生日是 月 日.（只对一空不 得分) 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题 8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.计算：25-元°-1-+3am30+(-2)。 数学试题(C)第3页（共8页） 18.综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物CD 的高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物 CD旁边小楼房AB完成了实地测量，在小楼房楼底B处测得C处的 仰角（∠CBD)为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角（∠CAE)为 30°.测得AB的高度为10m,(AB,CD在同一平面内，B,D在同一水 平面上)，通过测量数据求建筑物CD的高？ 30°/ 60° 19.如图，一次函数y=kx十b(k,b为常数，≠0)的图象与反比例函数y= (m为常数，m≠0)的图象交于点A2,4),B(a,一2》. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出x十b>时x的取值范围. 数学试题(C)第4页（共8页） 20.为普及前沿科技知识，充分激发青少年对科技创新的浓厚兴趣，某中学 于课后服务时段开设了人工智能实践课程，并在学校科技节活动期间 举行了“人工智能知识竞赛”活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛， 收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的“人工智能知识竞赛”成 绩，分数（单位：分）如下：73,93,83,62,81,67,96,88,92,87,76,86,82， 86,85,84,82,95,86,89.整理分析数据： ↑频数人数 等级 成绩x(单位：分) 频数/人数 14 12 90≤x<100 10 B 80≤x<90 6 4 C 70≤x<80 6 2 0 D 60≤x<70 60 708090100成绩/分 请根据图中信息，解答下列问题： (1)统计表中a= ,b= 并补全频数分布直方图； (2)据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有多少人的成绩在 80分及以上； (3)已知这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女 生，现要在这4人中随机抽出两人代表学校参加区级竞赛，利用画 树状图法或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率， 21,如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交 BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F. (1)求证：四边形ACED是矩形； (2)连接BF,交AC于点G,若CE=CG·CA,求证：△BCG△ACE. 22.“茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引 无数游客.某门店销售A,B两种口味的奶茶，若购买3杯A口味奶茶 和4杯B口味奶茶共需125元；若购买1杯A口味奶茶和3杯B口味 奶茶共需75元. (1)A口味奶茶和B口味奶茶分别是多少元一杯？ (2)若旅游团队需要购买A,B两种口味奶茶共30杯，且A口味的数量 与B口味的数量的差不大于7，怎样购买才能使总费用最少？并求 出最少费用 23.如图，在⊙O中，AC为直径，B,D为半圆的中点，过点A作圆的切线 2. AE,连接ED并延长，交CD于点F,连接BF,交AC于点G. (1)求∠DAE的度数； (2)求证：AE=AG; (3)若G为OC的中点，连接FC,圆的半径为2，求FC的长. 01 24.在y关于x的函数中，对于实数a,b(b>a),当a≤x≤b时，函数y有 最大值记为ymax,最小值记为ymin,满足ymax=3ymim,则称函数为“3 倍函数”. (1)当a=1,b=3时，判断下列函数是否为“3倍函数”？如果是，请在 对应( )内画“/”，如果不是，请在对应( )内画“X”; ①y=-2x（）;②y=2x-3 ()； (2)当6=2a十1时，反比例函数y=是为“3倍函数”，求实数a的值； (3)当b=a十2时，二次函数y=x2一bx十4是“3倍函数”，求正实数a 的值. 25.如图，等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC. A B B M 0 图1 图2 (1)如图1，过点A作直线AF∥BC,求证：AF是⊙O的切线； (2)如图1，D为BDC上的动点，CE平分∠BCD交AD于点E, tan∠ABC-3,BC-12,求⊙0的半径与AE的长； (3)如图2，在(2)的条件下，将△ABC的BC边所在的直线U1绕点A 旋转得到L2,直线l2与⊙O相交于M,N两点，连接AM,AN.试探 究直线2在运动的过程中，AM·AN的值是否会发生变化？若不 变，求出定值；若变化，请说明理由.2025年秋季第二次学情分析 数学参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B C A C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1.xy+2)g-2)12.2013.814.号15.15元16.9月17日（只对-空不得分） 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题 10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 12.【解折】原式-=1-（3-1)+3×号+4 =1-√3+1+5+4. …（4分) =6.… …(6分) 18.【解析】依题意，AE⊥CD,AB⊥BD,CD⊥BD, ∴.四边形ABDE为矩形， ∴.AB=DE=10,AE=BD,… (1分) 设CE=x,而∠CAE=30°， 在R△CAE中，AE=S0=原=BD, .CD=x+10, 在RACBD，中am60-品-店0-5 解得：x=5, (4分) 经检验x=5是原方程的解，且符合题意， ∴.CD=x+10=15m.… (6分) 19.【解析】(1)将，点A的坐标代入反比例函数表达式得：m=2×4=8, 一反比例函数的表达式为：=8， 7”………… (1分) 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：一2a=8, 解得a=一4，点B(一4，一2)，…(2分) 将点A,B的坐标代入一次函数表达式得： 2+。2解得二 一4k十b=-2, b=2. 一次函数的解析式为：y=x十2.…(4分) (2)根据函数图象可知，当x>2或一4<x<0时，kx十b> x的取值范围为x>2或一4<x<0. (6分) 20.【解析】(1)a=12,b=2. (2分) 补全频数分布直方图如下图所示： ↑频数/人数 14 12 12 10 …(3分) 6 4 2 60 70 80 90100成绩分 九年级数学参考答案(C)一1 (2)800×12+4=640(人). 20 答：估计有640人的成绩在80分及以上.…。 …(5分) (3)画树状图如下： 开始 男 男女女男女女男男女男男女 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， “抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率为2=行 82 ………(8分) 21.【解析】(1)证明：，∠ACB=90°，DE⊥BC交BC的延长线于点E, .∠ACB=∠DEC=90°， ∴.DE∥AC, ,四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， .AD∥CE, .四边形ACED是平行四边形， .∠DEC=90°， .四边形ACED是矩形.… (4分) (2),四边形ACED是矩形， ∴.AC⊥BC,∴∠BCG=∠ACE=90°，AD=CE, 四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,∴.CE=BC, 又.CE=CG·CA, cE·BC-0G.CA,爱器， △BCGの△ACE…(8分) 22.【解析】(1)设A口味的奶茶是x元一杯，B口味的奶茶是y元一杯， 由题意得： 3x+4y-125,解得z=15. x+3y=75, 1y=20, 答：A口味的奶茶是15元一杯，B口味的奶茶是20元一杯。… …(4分) (2)设购买A口味的奶茶m杯，则购买B口味的奶茶(30一m)杯， A口味的数量与B口味的数量的差不大于7， m-(30-m≤7，解得m<, 又.m为正整数，.m≤18， 总费用=15m+20(30-m)=-5m+600. -5<0,w随m增大而减小，当m=18时，m=一5×18+600=510. 所以购买A口味的奶茶18杯，B口味的奶茶12杯才能使总费用最少，最少费用为510元.…(9分) 23.【解析】(1)如图1，连接OD. D为半圆的中点， .∠DOA=90°， ∴.△AOD是等腰直角三角形， .∠OAD=45°. AE是⊙O的切线， ∴.∠OAE=90°， 图1 .∠DAE=∠OAE-∠OAD=90°-45°=45.…(3分) (2)证明：，AC为⊙O的直径，B,D为半圆的中点， ∠BAD=90°，AD=AB,∴.AD=AB. 由(1)得∠OAD=45°，.∠BAG=45°， 九年级数学参考答案(C)一2 .∠DAE=∠BAG A,B,F,D四，点共圆，∴.∠ABG十∠ADF=180°. .∠ADE+∠ADF=180°，∴.∠ADE=∠ABG 在△ADE和△ABG中， (∠DAE=∠BAG, AD=AB, ∠ADE=∠ABG, ∴.△ADE≌△ABG(ASA),.AE=AG.… …(6分) (3)如图2，连接FC,OB,圆的半径为2. .G为OC的中点，.OG=CG=1, 又OB=2,在Rt△OGB中，BG=√OB+Og=√5. B为半圆的中，点，∴△ABC是等腰直角三角形， 01 AB=AC,ms45=4X号-2wE. A,B,C,F四，点共圆，∴△ABG△FCG, 图2 器器中后c-2 (9分) 2√2√5 5 24.【解析】(1)①y=-2x(X);②y=2x-3(√). (2分) (2)由b>a得：2a+1>a,.a>-1, ①当-l<a<-号时，函数)y=2在a≤x≤2a十1上y随x增大而增大， x x=a时，ym=名=1：x=2a十1时，m-2a 因为反比例函教y=会为“3倍函教”，则=3y=, 即2分=3，解得：0=号； …(4分) ②当-<a<0时，函数y-是在a≤≤2a十1上无最值，不符合题意； ③当a>0时，函数y=当a≤≤2a十1时，y随x增大而减小，且恒大于零， x x=a时，yx=g=1;x=2a+1时，ym=2a十1 a 因为反比例函数y=只为“3倍函数”，则ymx=3ym|, 即1=21解得a=1. 综上所述：a的值为-号或1. …(6分） (3)二次函数y=t-十4的对称轴为直线x=号-号十1<a+1, ①当a<号十1<a十1，即0<a<2时，函数y=2-ba十4当a≤≤<a十2时，y随x增大先减小后增大， x=a十2时，ymx=(a十2)2-(a+2)(a十2)+4=4； x号时=（空）-a+2+4=a2+40: 4 因为二次函数y=x2一bx十4为“3倍函数”，则ymx=3|ym|, 即4=3-a2》+4],解得a=-2士6 3 又0a<2,a=-2+45, …(8分) ②当号十1≤a,即a≥2时，函数y=x-br十4在a≤x≤a十2上y随x增大而增大， x=a十2时，ymx=(a十2)2-(a+2)(a十2)+4=4； 九年级数学参考答案(C)一3 x=a时，ymn=a2-(a十2)a十4=-2a十4≤0； 因为二次函数y=x2一bx十4为“3倍函数”，则yx=3ym|, 即4=3-2a十4=3(2☑一0，解得：a=g 综上所达a=-2+4我a=号 3 (10分) 25.【解析】(1)证明：如图1，连接AO, AB=AC,,AB=AC,∴OA⊥BC .AF∥BC,∴.OA⊥AF ,OA为半径，且，点A在⊙O上， AF是⊙O的切线.…(3分) (2)如图1，设AO交BC于点H,连接OB. OA⊥BC,BH=CH=2BC=6. 在R△ABH中，∠ABC-器=号， ∴AH=号BH=2,AB=AC=V公+6=2WI0. 图1 设⊙O的半径为x,则OA=OB=x,OH=x一2. 在Rt△BOH中，由勾股定理得x=(x-2)2+62, 解得x=10,.⊙0的半径为10.…(5分) .CE平分∠BCD,∴.∠BCE=∠DCE. .∠ABC=∠ADC, ∴.∠AEC=∠ADC+∠DCE=∠ABC+∠DCE-∠ACB+∠BCE-∠ACE, AE=AC=AB=2W/10.…(6分) (3)AM·AN的值不发生变化，其值为40.理由如下： 如图2，连接AO并延长交⊙O于，点Q,连接MQ,过点A作AP⊥L2于P, 则AQ是⊙O的直径， .∠AMQ=90°. 0 .AP⊥l2,∴.∠APN=90°，.∠AMQ=∠APN. :∠AQM=∠ANP,∴.△AQM∽△ANP, ..AM_AQ Q 图2 AP AN' .AM·AN=AP·AQ. 由(2)可知，点A到直线11的距离为2. 又.直线（绕，点A旋转得到l2, .点A到直线l2的距离始终等于2， .AP=2. AQ=2OA=20, ∴.AM·AN=AP·AQ=40, .直线l2在运动的过程中，AM·AN的值不发生变化，其定值为40.…(10分) 九年级数学参考答案(C)4