第08讲 立体几何初步（复习讲义）（广东小高考专用）2026年春季高考数学

第08讲 立体几何初步 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 7 考点一 基本立体图形及直观图 7 考点二 简单几何体的表面积与体积（重） 7 考点三 外接球和内切球问题 8 考点四 空间点、直线、平面的位置关系 9 考点五 异面直线所成的角 10 考点六 空间直线、平面的平行问题（重） 11 考点七 直线与平面垂直的判定与性质（重） 12 考点八 平面与平面垂直的判定与性质（重） 15 考点九 直线与平面所成的夹角（难） 18 考点十 平面与平面所成的夹角（难） 21 实战精练与提升 25 考情解读 一、考试要求 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能描述现实生活中简单物体的结构；会用斜二测法画出简单空间图形的直观图。 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式，掌握相关计算方法。 理解空间直线与平面位置关系的定义，熟练掌握作为推理依据的4个公理和1个角的平行性质定理。 以定义、公理和定理为基础，理解并掌握空间中线面平行、垂直的相关判定定理与性质定理。 能运用所学公理、定理及已获结论，证明空间图形位置关系的简单命题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 立体几何的表面积和体积 5年4考 圆锥的表面积、三棱锥的体积 预测2026年在选择题中考查圆锥的表面积 外接球和内切球 5年1考 正方体的内切球 预测2026年在填空题中考查长方体的外接球 空间点、直线、平面的位置关系 5年2考 判断直线和直线、直线与平面的位置关系 预测2026年在选择题中考查直线与平面的位置关系 平行关系 5年2考 线面平行的判定 预测2026年在解答题中考查线面平行的判定 垂直关系 5年4考 线面垂直的判定和性质 预测2026年在解答题中考查线面垂直的判定 空间角问题 5年2考 直线与平面所成的角、二面角 预测2026年在解答题中考查二面角 知识梳理 知识点1、斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 知识点2、侧面积、表面积、体积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 知识点3、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点4、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点5、直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 知识点6、平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 知识点7、空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 考点精讲 考点一 基本立体图形及直观图 解题策略 （1）需熟记各个几何体的结构特征，找到几何体之间的区别与联系； （2）由于斜二测画法中平行于轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45° 例1．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）底面圆半径为1，母线长为4的圆锥侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·25高三下·广东汕头·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 . 练习1．（2024·25高三上·广东惠州·期末）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（    ）. A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东江门·期末）若圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该圆锥内接正方体的棱长与圆锥底面圆半径之比为（   ） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东佛山·期中）如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为 . 练习4．（2025·26高三上·广东江门·阶段练习）如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为 . 考点二 简单几何体的表面积与体积 例3．（2025·26高三上·广东·阶段练习）已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·26高三上·广东·阶段练习）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三上·广东惠州·期中）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 练习2．（2024·广东珠海·二模）已知圆锥的体积为，其母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积为（    ）． A． B． C． D． 练习3．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C．4 D． 练习4．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）在一个底面为矩形的直四棱柱中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，，则该四棱柱的表面积为 . 考点三 外接球和内切球问题 解题策略 长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 例5．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 例6．（2024·25高三下·广东清远·开学考试）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三上·广东湛江·期中）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 练习2．（2025·26高三上·广东·开学考试）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 练习4．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则 . 考点四 空间点、直线、平面的位置关系 解题策略 根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断即可 例7．（2024·25高三上·广东广州·期末）“两条直线异面”的（   ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 例8．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 练习1．（2024·25高三上·广东揭阳·期末）已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 练习2．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 练习3．（2024·25高三上·广东清远·期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 练习4．（2024·25高三上·广东湛江·阶段练习）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 考点五 异面直线所成的角 解题策略 求异面直线所成的角的步骤:①用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线；②转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角；③设由②所求得的角的大小为，若,则为所求;若,则为所求 例9．（2025·广东汕头·一模）已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 . 练习1．（2025·26高三上·广东·开学考试）已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 练习2．（2024·广东佛山·模拟预测）如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为 . 练习3．（2024·25高三上·广东阳江·阶段练习）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于 ． 练习4．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝ . 考点六 空间直线、平面的平行问题 解题策略 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论 例11．（2024·25高三上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 例12．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 练习1．（2024·25高三上·广东·期中）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．证明：平面；    练习2．（2024·25高三上·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面. 练习3．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    练习4．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 考点七 直线与平面垂直的判定与性质 解题策略 （1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； （2）要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 例13．（2024·25高三下·广东东莞·期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面． 例14．（2025·26高三上·广东·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 练习1．（2024·25高三上·广东广州·期中）已知三棱柱中，上、下底面是边长为2的正三角形，为的重心，．求证：． 练习2．（2024·25高三上·广东肇庆·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证：平面； (2)求证： 练习3．（2024·25高三上·广东汕头·阶段练习）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 练习4．（2024·25高三上·广东汕头·期末）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 考点八 平面与平面垂直的判定与性质 解题策略 （1）要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直； （2）性质定理：先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题 例15．（2024·25高三下·广东茂名·期末）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 例16．（2024·25高三上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 练习1．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 练习2．（2024·25高三上·广东韶关·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 练习3．（2024·25高三上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 练习4．（2024·25高三上·广东江门·期末）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．求证：平面. 考点九 直线与平面所成的夹角 解题策略 求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 例17．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 例18．（2024·25高三上·广东·期中）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 练习1．（2025·广东中山·模拟预测）如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为2． (1)求点到平面的距离； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 练习2．（2024·25高三上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 练习3．（2024·25高三上·广东深圳·期中）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2.     (1)求证：平面⊥平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 练习4．（2025·26高三上·广东湛江·期末）如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 考点十 平面与平面所成的夹角 解题策略 1.利用二面角的平面角的定义：在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2.利用垂线法求二面角的平面角的方法:过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 例19．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 例20．（2024·25高三上·广东·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 练习1．（2024·25高三上·广东湛江·期末）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 练习2．（2025·26高三上·广东揭阳·阶段练习）如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 练习3．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 练习4．（2025·26高三上·广东梅州·期中）如图，在直三棱柱中，M为的中点，N为的中点，，，AC⊥BC． (1)求证：平面ABC； (2)求平面MNC与底面所成锐二面角的余弦值． 战训练 1．（2024·25高三上·广东广州·期末）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023高三·广东·学业考试）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高三上·广东深圳·期中）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 5．（2025高三上·广东·学业考试）圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为．求母线与底面的正切值为 ． 6．（2024高三上·广东·学业考试）一个边长为的正方体八个顶点都在一个球上，则球的半径为 7．（2024高三上·广东·学业考试）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 8．（2025高三上·广东·学业考试）如图，三棱锥中，，，，． (1)求证：； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值． 9．（2024高三上·广东·学业考试）如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点. (1)求证平面； (2)求面积的最小值. 10．（2023高三·广东·学业考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F． (1)求证：平面PAC； (2)求证：． 11．（2023高三·广东·学业考试）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点. (1)证明BC⊥面PAC； (2)若求PB与面PAC的夹角. 12．（2024·广东江门·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，O为AC与BD的交点． (1)证明：平面PAC． (2)若M为PD的中点，求三棱锥的体积． 13．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. (1)求二面角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 立体几何初步 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 7 考点一 基本立体图形及直观图 7 考点二 简单几何体的表面积与体积（重） 7 考点三 外接球和内切球问题 9 考点四 空间点、直线、平面的位置关系 12 考点五 异面直线所成的角 14 考点六 空间直线、平面的平行问题（重） 17 考点七 直线与平面垂直的判定与性质（重） 21 考点八 平面与平面垂直的判定与性质（重） 25 考点九 直线与平面所成的夹角（难） 31 考点十 平面与平面所成的夹角（难） 35 实战精练与提升 41 考情解读 一、考试要求 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能描述现实生活中简单物体的结构；会用斜二测法画出简单空间图形的直观图。 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式，掌握相关计算方法。 理解空间直线与平面位置关系的定义，熟练掌握作为推理依据的4个公理和1个角的平行性质定理。 以定义、公理和定理为基础，理解并掌握空间中线面平行、垂直的相关判定定理与性质定理。 能运用所学公理、定理及已获结论，证明空间图形位置关系的简单命题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 立体几何的表面积和体积 5年4考 圆锥的表面积、三棱锥的体积 预测2026年在选择题中考查圆锥的表面积 外接球和内切球 5年1考 正方体的内切球 预测2026年在填空题中考查长方体的外接球 空间点、直线、平面的位置关系 5年2考 判断直线和直线、直线与平面的位置关系 预测2026年在选择题中考查直线与平面的位置关系 平行关系 5年2考 线面平行的判定 预测2026年在解答题中考查线面平行的判定 垂直关系 5年4考 线面垂直的判定和性质 预测2026年在解答题中考查线面垂直的判定 空间角问题 5年2考 直线与平面所成的角、二面角 预测2026年在解答题中考查二面角 知识梳理 知识点1、斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 知识点2、侧面积、表面积、体积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 知识点3、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点4、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点5、直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 知识点6、平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 知识点7、空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 考点精讲 考点一 基本立体图形及直观图 解题策略 （1）需熟记各个几何体的结构特征，找到几何体之间的区别与联系； （2）由于斜二测画法中平行于轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45° 例1．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）底面圆半径为1，母线长为4的圆锥侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥侧面展开图的圆心角为，且圆锥底面圆半径为1，母线长为4， 根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长，可得，解得. 故选：C. 例2．（2024·25高三下·广东汕头·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 . 【答案】 【详解】由直观图可知，四边形为直角梯形，如下图所示， 则四边形的面积为， 故答案为：. 练习1．（2024·25高三上·广东惠州·期末）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设截面圆的圆心与球心之间的距离为d， 则由已知 故选：A 练习2．（2024·25高三上·广东江门·期末）若圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该圆锥内接正方体的棱长与圆锥底面圆半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，所以，设圆锥的内接正方体棱长为a，则该正方体面对角线的一半为，则， 解得． 故选：B.      练习3．（2024·25高三上·广东佛山·期中）如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为 . 【答案】2 【详解】 由正六边形的性质可知， 由正六棱柱的性质可知，侧棱垂直于底面，因此有平面, 又平面, 故 设侧棱长为,运用勾股定理，有, 计算得. 故答案为：. 练习4．（2025·26高三上·广东江门·阶段练习）如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为 . 【答案】 【详解】依题意，在中，是边的中点，，， 因此，所以的周长为， 故答案为： 考点二 简单几何体的表面积与体积 例3．（2025·26高三上·广东·阶段练习）已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的高为，底面半径为1，由圆柱的体积为可得：， 所以该圆柱的表面积为， 故选：C. 例4．（2025·26高三上·广东·阶段练习）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：棱柱的体积，表面积， ，，解得. 故答案为：C. 练习1．（2024·25高三上·广东惠州·期中）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，，    ，，. 故选：D. 练习2．（2024·广东珠海·二模）已知圆锥的体积为，其母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由母线与底面所成角是知，， 所以体积，故， 化简可得， 所以，，， 所以圆锥的侧面积为． 故选：C． 练习3．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD. 取BC的中点E，连接. 因为正四棱锥的体积是8，所以，解得. 因为，所以在直角三角形中,， 则的面积为， 故该四棱锥的侧面积是. 故选：C 练习4．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）在一个底面为矩形的直四棱柱中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，，则该四棱柱的表面积为 . 【答案】 【详解】由已知得直四棱柱的底面为矩形， 则该四棱柱的各个面均为矩形，可得表面积为. 故答案为： 考点三 外接球和内切球问题 解题策略 长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 例5．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知： . 故选：A 例6．（2024·25高三下·广东清远·开学考试）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 练习1．（2024·25高三上·广东湛江·期中）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 练习2．（2025·26高三上·广东·开学考试）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 故选：B. 练习3．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径， 设球半径为，则， 球表面积为． 故选：C． 练习4．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则 . 【答案】2 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 所以，解得. 故答案为：2. 考点四 空间点、直线、平面的位置关系 解题策略 根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断即可 例7．（2024·25高三上·广东广州·期末）“两条直线异面”的（   ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 【答案】B 【详解】两条直线异面，则两条直线不相交， 反之，若两条直线不相交，则可能共面平行，不一定异面， 所以“两条直线不相交”是“两条直线异面”的必要非充分条件， 即“两条直线异面”的必要非充分条件是“两条直线不相交”. 故选：B 例8．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】选项A：若，，，则或与异面，A选项错误. 选项B：若，，，则或与相交，B选项错误. 选项C：若，，， 则或或与相交但不垂直，C选项错误. 选项D：若，，，则必有，D选项正确. 故选：D 练习1．（2024·25高三上·广东揭阳·期末）已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 【答案】D 【详解】如图所示，，， 则与的位置关系可能是平行、相交、异面、重合. 故选：D. 练习2．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【答案】B 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 练习3．（2024·25高三上·广东清远·期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，又，故，故B错误； 对于C，若，，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，则，又，则，故D正确. 故选：D. 练习4．（2024·25高三上·广东湛江·阶段练习）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】对于A，由，则或与相交， 当与相交时，可能满足，故A错误； 对于B，由，，易得，故B正确； 对于C，根据基本事实2可知，由，，，可得，故C正确； 对于D，根据基本事实3可知，由，，，，可得，故D正确. 故选：A 考点五 异面直线所成的角 解题策略 求异面直线所成的角的步骤:①用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线；②转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角；③设由②所求得的角的大小为，若,则为所求;若,则为所求 例9．（2025·广东汕头·一模）已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，且，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以， 又由，所以，所以， 即，所以异面直线与所成的角为. 故选：D.    例10．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 . 【答案】2 【详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 练习1．（2025·26高三上·广东·开学考试）已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取中点，连接，，则， 所以（或补角）即为异面直线与所成角， 因为，，则，， 由余弦定理可得， 所以异面直线AF与BD所成角的余弦值为.    故选：D. 练习2．（2024·广东佛山·模拟预测）如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】 还原正方体，连接，， 由正方体性质可知，且， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 练习3．（2024·25高三上·广东阳江·阶段练习）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于 ． 【答案】 【详解】连接 设正方体的棱长为, ∵与是正方形，M，N分别为的中点， 所以M，N分别为的中点， ∴ ∴是等边三角形，∴ 在由正方体中,∥，， ∴四边形是平行四边形，∴∥， 所以为异面直线MN与所成的角（或其补角）. 异面直线MN与所成的角为. 故答案为：. 练习4．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝ . 【答案】5 【详解】取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， ∴MN＝5. 故答案为：5. 考点六 空间直线、平面的平行问题 解题策略 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论 例11．（2024·25高三上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】连接交于点，设，连接， 四边形为菱形，为中点， 分别为中点，，且为中点，， 又，， 平面，平面，平面. 例12．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析； 【详解】因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 练习1．（2024·25高三上·广东·期中）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．证明：平面；    【答案】证明见解析 【详解】连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 练习2．（2024·25高三上·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 练习3．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，    在上取一点，使得，连接， 因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点， 所以，所以∥，∥， 因为∥，故∥． 因为平面平面， 所以∥平面∥平面， 因为平面，所以平面∥平面． 因为平面，所以∥平面． 练习4．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图，取中点，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 考点七 直线与平面垂直的判定与性质 解题策略 （1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； （2）要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 例13．（2024·25高三下·广东东莞·期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，连接，连接并延长交于点， 因为是底面的内接正三角形，易得为的中点， 所以，即． 因为为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以．因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 例14．（2025·26高三上·广东·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】正方体中， 因为，分别为棱，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 正方形中，∵为的中点，为的中点， ∴，∴， 设、交点为，则， ∴，即； 又、平面，， ∴平面. 练习1．（2024·25高三上·广东广州·期中）已知三棱柱中，上、下底面是边长为2的正三角形，为的重心，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图所示，连接并延长交于，连接， 因为为的重心，所以为的中点， 在三棱柱中， 因为， 所以，所以， 因为为的中点，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以． 练习2．（2024·25高三上·广东肇庆·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为2的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵为正方形的对角线 ∴ ∵，且 ∴， 又∵，， ∴. 练习3．（2024·25高三上·广东汕头·阶段练习）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）侧面为正方形，且，∴E为的中点， 又为的中点，， 又直三棱柱中，，. 又平面，平面， 平面. （2）直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 练习4．（2024·25高三上·广东汕头·期末）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）∵面是正方形， ， ， 又因为，且平面，平面，所以平面， 平面. 考点八 平面与平面垂直的判定与性质 解题策略 （1）要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直； （2）性质定理：先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题 例15．（2024·25高三下·广东茂名·期末）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】 【详解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 例16．（2024·25高三上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 练习1．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 练习2．（2024·25高三上·广东韶关·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，所以平面. 即证：平面. 练习3．（2024·25高三上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 练习4．（2024·25高三上·广东江门·期末）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. 考点九 直线与平面所成的夹角 解题策略 求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 例17．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 例18．（2024·25高三上·广东·期中）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，所以， 又因为分别是的中点，所以，所以， 因为，平面所以平面， 因为平面，所以. （2）在中，，，， 所以， 在中，， 由可得， 在中，，则， 因为平面平面， 所以平面平面， 又因为平面平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，，，， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 练习1．（2025·广东中山·模拟预测）如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为2． (1)求点到平面的距离； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由，，得，， 设点到平面的距离为，， 由，得，即，解得， 所以点到平面的距离为. （2）由（1）知，，而点到平面的距离为2， 所以与平面所成角的正弦值为. 练习2．（2024·25高三上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 练习3．（2024·25高三上·广东深圳·期中）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2.     (1)求证：平面⊥平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为为正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 即平面⊥平面； （2）连接，由（1）知，平面，平面， 所以，因为，，平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角， 因为，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 练习4．（2025·26高三上·广东湛江·期末）如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1），有，则， 直三棱柱中，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，平面平面； （2）连接，与相交于点，连接， ，侧面为正方形，则有 平面，平面，， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为， ，则，，又，则， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 考点十 平面与平面所成的夹角 解题策略 1.利用二面角的平面角的定义：在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2.利用垂线法求二面角的平面角的方法:过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 例19．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角. 设 ，因为 ，所以 . 在 中，根据勾股定理 . 根据正弦函数的定义，. 所以二面角 的平面角的正弦值为. 例20．（2024·25高三上·广东·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)2 【分析】 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接． 四边形是菱形，为的中点． 是棱的中点，． 又平面，平面， 平面． （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角． ，，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得． ，即，从而． 四边形是菱形，且， ， 是等边三角形，从而． 又，， ． ，从而． 又，平面，平面， 平面． 取的中点为，连接 点为中点， 平面． 又且 求三棱锥的体积为． （3）过作，垂足为，连接． 由（2）知平面， 平面，平面， ，． ，，平面，平面， 平面． 平面， ， 为二面角的平面角， 在Rt中，，． ， 二面角的正切值是2． 练习1．（2024·25高三上·广东湛江·期末）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 练习2．（2025·26高三上·广东揭阳·阶段练习）如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：， 又平面，平面，平面． （2）如图，在正方体中，平面， 又平面，． 为的中点，． 又，平面，平面， 平面．又平面，． 又，为二面角的平面角． 设正方体的棱长为2， 则，，， 二面角的正弦值为． 练习3．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 练习4．（2025·26高三上·广东梅州·期中）如图，在直三棱柱中，M为的中点，N为的中点，，，AC⊥BC． (1)求证：平面ABC； (2)求平面MNC与底面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）如图，连，显然与相交于点M， ，， ， ， ， 平面ABC，平面ABC， 平面ABC； （2）如图，取的中点P，连PC，， 直三棱柱中，，，AC⊥BC， ，， 是平面MNC与底面所成的锐二面角，记为， 在中，， 在中，， ， 故平面MNC与底面所成锐二面角的余弦值为． 战训练 1．（2024·25高三上·广东广州·期末）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】①若，且， 可能平行，可能垂直，可能异面， 故“”是“”的不充分条件； ②若， 可能平行，可能相交，可能垂直. 故则“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 2．（2023高三·广东·学业考试）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此是的充要条件． 故选：C． 3．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该圆锥的高为，圆柱底面半径为，圆锥底面半径为， 则，解得，圆锥的体积为， 故选：B． 4．（2024·25高三上·广东深圳·期中）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【答案】A 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确，B、C错误； 在中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：A.    5．（2025高三上·广东·学业考试）圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为．求母线与底面的正切值为 ． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，母线与底面所成角为， 根据题意，圆锥的侧面积和轴截面面积的比值为， 由侧面积，轴截面面积， 因此，简化得， 由勾股定理得，代入得到， 从而，解得， 由定义知，将代入得： . 故答案为：. 6．（2024高三上·广东·学业考试）一个边长为的正方体八个顶点都在一个球上，则球的半径为 【答案】 【详解】正方体外接球的直径等于体对角线长， 所以球的半径为. 故答案为： 7．（2024高三上·广东·学业考试）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【详解】依题意，设圆锥的底面半径，则母线长为， 则，解得， 所以该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 8．（2025高三上·广东·学业考试）如图，三棱锥中，，，，． (1)求证：； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1），, 又，且平面 平面， 又平面, （2） 作，连接， ，，, 平面 平面， 又平面, 平面平面， 为平面与平面所成角， 在中，，，， 根据勾股定理可得：， 由三角形面积公式，可得， ， 所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 9．（2024高三上·广东·学业考试）如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点. (1)求证平面； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2）∵平面，平面，∴，， ∵，平面，平面，， ∴平面， ∵平面，∴， ∵，∴，即最小时，最小， ∵为线段上一点，∴当时，最小， ∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴面积的最小值为. 10．（2023高三·广东·学业考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F． (1)求证：平面PAC； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，平面平面ABCD， ∴， ∵平面PAC， ∴平面PAC． （2）∵， 平面，平面， 故平面， 又过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，即平面平面， ∴， ∴. 11．（2023高三·广东·学业考试）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点. (1)证明BC⊥面PAC； (2)若求PB与面PAC的夹角. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：平面，平面，∴，同理， 是圆直径，在圆周上，因此， 又，平面，∴平面； （2）由（1）平面，∴是与平面所成的角， 又平面，∴， 由已知，，所以， ∴与平面所成的角是． 12．（2024·广东江门·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，O为AC与BD的交点． (1)证明：平面PAC． (2)若M为PD的中点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：∵底面ABCD，∴． ∵底面ABCD是正方形，∴． ∵平面PAC．， ∴平面PAC． （2）∵O为AC与BD的交点，∴O为AC与BD的中点， ∴． ∵M为PD的中点，∴点M到平面OCD的距离为． ∴． 13．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. (1)求二面角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）取中点，连接， ，因为，为 中点， 所以. 因为平面平面，所以， . 在中，， 在中，， 从而，又 为中点， 所以. 故为二面角的平面角， 因为平面 平面，所以， 又，所以， 从而， 所以二面角的余弦值为. （2）设点到平面的距离为. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 所以. 由，得，即，故， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $