第05讲 指对运算、指对数函数及零点问题（复习讲义）（广东小高考专用）2026年春季高考数学

第05讲 指对运算、指对数函数及零点问题 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 6 考点一 指数幂的运算 6 考点二 对数的运算（重） 8 考点三 求指对函数的解析式 9 考点四 指对数函数的定义域和值域（重） 11 考点五 指对函数的图象 12 考点六 指对函数的定点 16 考点七 指对函数的单调性 18 考点八 指对幂比较大小问题（重） 20 考点九 指对函数解不等式 22 考点十 求零点及判断零点所在区间 23 考点十一 零点个数问题（难） 26 实战精练与提升 26 考情解读 一、考试要求 了解指数函数模型的实际背景，掌握有理及实数指数幂的运算，理解指数函数的概念、单调性，熟记其图象特殊点。 理解对数的概念与运算性质，会用换底公式转化对数，知晓对数在简化运算中的作用。 掌握对数函数的概念、单调性及图象特殊点，明确指数函数与对数函数互为反函数。 结合二次函数图象，了解函数零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及个数。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 指数运算及指数函数 5年5考 指数运算 预测2026年在选择题中考查指数运算 对数运算及对数函数 5年3考 对数运算及对数函数的图象和性质 预测2026年在填空中考查对数运算 零点问题 5年1考 零点个数问题 预测2026年在选择中考查判断零点所在的区间 知识梳理 知识点1、指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 知识点2、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 知识点3、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 知识点4、对数函数及其性质 1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 知识点5、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 考点精讲 考点一 指数幂的运算 解题策略 利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 例1．（2025·广东广州·模拟预测）若，则的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，. 故选：C. 例2．（2025·广东中山·模拟预测） 【答案】100 【详解】. 故答案为：100 练习1．（2024·25高三上·广东潮州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，，，显然B正确. 故选：B 练习2．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）化简 . 【答案】 【详解】. 故答案为： 练习3．（2024·广东佛山·模拟预测）求值： ． 【答案】//30.5 【详解】原式． 故答案为： 练习4．（2024·25高三上·广东湛江·期末）已知，则 . 【答案】2 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：2 考点二 对数的运算 解题策略 1.对数的运算：根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 2.应用换底公式应注意： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 例3．（2024·25高三上·广东阳江·阶段练习）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】∵，∴， 故选：C． 例4．（2024·25高三上·广东·期中） ． 【答案】9 【详解】原式. 故答案为：. 练习1．（2024·25高三上·山东·阶段练习） ． 【答案】 【详解】原式. 故答案为：. 练习2．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 练习3．（2024·25高三上·广东深圳·期中）若，则 . 【答案】/ 【详解】由得，则， 所以. 故答案为：. 练习4．（2024·25高三上·广东揭阳·期末）已知，，则 . 【答案】2 【详解】因为， 所以. 故答案为：2 考点三 求指对函数的解析式 例5．（2024·25高三上·广东江门·期中）若指数函数满足，则 ． 【答案】27 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 例6．（2024·25高三上·广东汕头·期末）已知对数函数的图象过点，则（    ） A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】设，因为函数图象过点，所以，， 所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查对数函数的解析式．求对数函数值，掌握对数函数的定义是解题关键． 练习1．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】8 【详解】设（且）． 则．解得，所以， 所以. 故答案为：8. 练习2．（2024·25高三下·安徽合肥·期末）若函数是对数函数，则实数a的值为 ． 【答案】2 【详解】解：因为函数是对数函数， 所以，解得． 故答案为：2. 练习3．（2025·广东广州·模拟预测）函数 为对数函数，则等于 【答案】 【详解】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1， 即即或， 因为对数函数底数大于0，所以， ，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查由函数是对数函数求参数值，涉及对数运算，属基础题. 练习4．（2024·25高三上·广东惠州·期末）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数是指数函数，所以需满足， 解得且.故实数的取值范围为. 故答案为：. 考点四 指对数函数的定义域和值域 例7．（2025·26高三上·广东·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式可得且， 所以该函数的定义域为， 故选：B 例8．（2024·广东江门·三模）已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 练习1．（2024·25高三上·广东·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 练习2．（2024·25高三上·广东惠州·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，函数的值域为，故A不正确； 对B，函数的值域为，故B不正确； 对C，函数的值域为，故C不正确； 对D，因为，故函数值域为，故D正确. 故选：D. 练习3．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）函数在上的最小值是 ． 【答案】 【详解】因函数是R上的增函数，且， 则时，函数取得最小值为. 故答案为：. 练习4．（2024·25高三上·广东惠州·期末）函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 在上递增， 所以. 故选：C 考点五 指对函数的图象 例9．（2024·25高三下·广东·开学考试）函数的图象在图中的序号依次为（   ） A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③ 【答案】D 【详解】，两函数的定义域为， 因为，所以①为，②为， 两函数的定义域为， 因为，所以③为，④为. 故选：D. 例10．（2025·26高三上·广东·阶段练习）函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，函数单调递增，当时，， 故选：A 练习1．（2024·25高三下·广东汕头·期末）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 练习2．（2024·25高三上·广东江门·期末）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 练习3．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 故选：D. 练习4．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数在上单调递增，排除AB； 当时，由，得或，此时函数图象与非正半轴有2个交点，排除C，选项D符合题意. 故选：D 考点六 指对函数的定点 解题策略 （1）指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． （2）对数函数的图象经过点：求对数型函数图象所过的定点时，只要令真数为1，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． 例11．（2024·25高三上·广东惠州·期中）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，此时， 所以图象经过定点P，则点P的坐标为，即点P的横、纵坐标之和为， 故选：B. 例12．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，令， 解得，此时， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A 练习1．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数过定点， 即，则， 故选：A. 练习2．（2024·25高三上·广东韶关·期末）已知常数且，假设无论取何值，函数的图象恒过一个定点，则此定点坐标是 . 【答案】 【详解】由于且，故，因此令，则， 故经过的定点为 故答案为： 练习3．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 . 【答案】 【详解】根据指数的性质有，即函数的图象过定点. 故答案为： 练习4．（2024·广东珠海·二模）若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对数函数恒过定点得函数恒过定点，设指数函数（且），则，故． 故选：A． 考点七 指对函数的单调性 例13．（2025·26高三上·广东·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，根据指数函数的单调性，函数在上单调递减，故A错误； B选项，根据对数函数的单调性，函数在上单调递减，故B错误； C选项，根据幂函数的单调性，函数在上单调递增，故C正确； D选项，根据幂函数的单调性，函数在上单调递减，故D错误. 故选：C. 例14．（2024·25高三下·广东清远·开学考试）是函数为增函数的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由函数是增函数，得，解得， ∴是函数为增函数的充分不必要条件. 故选：A. 练习1．（2020·21高三上·广东茂名·期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由反比例函数性质得在区间上单调递减，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在区间上单调递增，故B正确， 对于C，由指数函数性质得在区间上单调递减，故C错误， 对于D，由对数函数性质得在区间上单调递减，故D错误. 故选：B 练习2．（2024·25高三上·广东湛江·期中）函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象是单调递减的，所以， 由选项可知A正确. 故选：A. 练习3．（2024·25高三上·广东汕头·期中）函数与在区间上的单调性相同，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】因为在区间上单调递减， 若函数与在区间上的单调性相同， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 练习4．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）已知函数且在上单调递增，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 又因为，所以，即， 解得或（舍），所以. 故选：D. 考点八 指对幂比较大小问题 解题策略 （1）中间值法：选0、1等特殊数作为中间桥梁，分别比较两个待比数与中间值的大小，进而得出结论 （2）单调性法：先确定指对幂函数的单调区间，若两数能转化为同一函数的函数值，再根据单调性 “自变量大小定函数值大小”，直接比较得出结果 例15．（2024·25高三上·广东惠州·期中）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的单调性，可得， 即， 因为函数在上为增函数，且， 则，即. 故. 故选：D. 例16．（2024·25高三上·广东肇庆·期中）已知，则p，q，r的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 故. 故选：B. 练习1．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 即，所以. 故选：D. 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数、对数函数的性质， 易知， 所以. 故选：D 练习3．（2025·26高三上·广东·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 练习4．（2024·广东广州·模拟预测）已知 ，，，则a，b，c的大小关系为 .（由大到小的顺序） 【答案】 【详解】因为幂函数在内单调递增，则，即； 又因为指数函数在定义域R内单调递增，则，即； 综上所述：. 故答案为：. 考点九 指对函数解不等式 解题策略 可借助指对数函数的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． 例17．（2024·25高三上·广东汕头·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由，可得， 所以未必满足， 未必满足， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 例18．（2024·25高三上·广东潮州·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，而，故， 所以“”是“”的充分条件. ，则成立，但， 故“”不是“”的必要条件. 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 练习1．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 练习2．（2024·25高三上·广东梅州·阶段练习）n实战训练1若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得，由可得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 练习3．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式， 所以，所以， 不等式的解集为. 故答案为：. 练习4．（2024·25高三上·广东广州·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题设可得，所以， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 考点十 求零点及判断零点所在区间 解题策略 判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 例19．（2024·25高三上·广东佛山·期中）二次函数的一个零点是 . 【答案】（答案不唯一，也可） 【详解】令，解得或， 故二次函数的零点是、. 故答案为：.（答案不唯一，也可） 例20．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用零点存在定理判断后可得正确的选项. 【详解】因为均为上的增函数， 故为上的增函数，故至多有一个零点，. 而，，因为的图象不间断， 由零点存在定理可知在区间有且只有一个零点， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的位置，注意根据零点存在定理和函数的单调性来判断，在应用零点存在定理判断零点的位置时，需函数的图象是连续不间断，本题属于基础题. 练习1．（2024·25高三上·广东汕头·期中）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，且与在都是增函数，所以在定义域内单调递增. 因为，， ， ，， 根据零点存在定理，且， 所以函数的零点所在的大致区间是. 故选：B. 练习3．（2024·25高三上·广东深圳·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，且函数的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间，，上均有零点． 而，所以函数在区间上不一定有零点． 故选：A． 练习4．（2025·26高三上·广东中山·阶段练习）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 考点十一 零点个数问题 解题策略 函数零点个数问题的处理方式： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例21．（2024·25高三上·广东深圳·期中）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个. 故选：B. 例22．（2024·25高三下·广东深圳·期末）已知函数 若方程有个实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】①若，则对有， 对有. 所以方程不可能有个实数解，不满足条件； ②若，则对，由且可知，从而有， 同时对有，对有. 所以方程不可能有个实数解，不满足条件； ③若，则方程有个实数解，，，满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：D. 练习1．（2025·26高三上·广东湛江·期末）已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】原方程即为，变形得， 要求方程根的个数， 即求函数和函数的图象在上的交点个数， 作出两函数的图象如图所示，    由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根． 故选：C. 练习2．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）函数的零点个数为 . 【答案】2 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期末）已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递增，且值域为， 故必有唯一解， 故当时，有两不同根， 即有两不同非正根， 即有，解得， 由，则，解得， 故.nn 故选：D. 练习4．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数若有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在单调递减，在单调递增， 则，； 当时，在单调递增. 如图，作出的大致图象， 只需函数与的图象有三个交点，结合图象得的取值范围为. 故答案为：. 1．（2024·25高三上·广东韶关·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 2．（2024·25高三上·广东广州·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，须满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即. 故选：D 4．（2025·广东佛山·三模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以． 故选：A 5．（2024·25高三上·广东广州·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，且函数在上单调递减， 而， 所以函数的零点所在区间是. 故选：C 6．（2024·25高三上·广东深圳·期中）若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】令，得，， 所以（且）的图象过定点， 即. 所以． 故选：C. 7．（2024·25高三上·广东清远·期末）计算： 【答案】2 【详解】. 故答案为：2 8．（2024·25高三上·广东深圳·期末）已知函数，设，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：. 9．（2024·25高三上·广东·期中）函数的零点为 ． 【答案】 【详解】令，故，解得， 故的零点为2. 故答案为：2 10．（2025·广东汕头·一模）已知，则的取值范围为 【答案】 【详解】由，得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 11．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）已知函数 在区间上的最大值为 . 【答案】0 【详解】因为在区间上单调递减， 所以当时，函数 在区间上的最大值. 故答案为：0. 12．（2025·26高三上·广东·开学考试）若，则函数的值域是 ． 【答案】 【解析】化简可得的取值范围，即可根据指数函数的单调性求的值域. 【详解】因为， 所以， 即， 解得， 因为为R上的单调递减函数， 所以当时，， 即函数的值域为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，利用函数单调性解不等式，求函数值域，属于中档题. 13．（2024·25高三上·广东佛山·期末）已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是 ． 【答案】0 【详解】由函数解析式，在上递减，、上递增，且在处连续， 所以大致图象如下， 由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点， 由图知：. 故答案为：0 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 指对运算、指对数函数及零点问题 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 6 考点一 指数幂的运算 6 考点二 对数的运算（重） 7 考点三 求指对函数的解析式 7 考点四 指对数函数的定义域和值域（重） 8 考点五 指对函数的图象 8 考点六 指对函数的定点 11 考点七 指对函数的单调性 12 考点八 指对幂比较大小问题（重） 12 考点九 指对函数解不等式 13 考点十 求零点及判断零点所在区间 14 考点十一 零点个数问题（难） 15 实战精练与提升 15 考情解读 一、考试要求 了解指数函数模型的实际背景，掌握有理及实数指数幂的运算，理解指数函数的概念、单调性，熟记其图象特殊点。 理解对数的概念与运算性质，会用换底公式转化对数，知晓对数在简化运算中的作用。 掌握对数函数的概念、单调性及图象特殊点，明确指数函数与对数函数互为反函数。 结合二次函数图象，了解函数零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及个数。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 指数运算及指数函数 5年5考 指数运算 预测2026年在选择题中考查指数运算 对数运算及对数函数 5年3考 对数运算及对数函数的图象和性质 预测2026年在填空中考查对数运算 零点问题 5年1考 零点个数问题 预测2026年在选择中考查判断零点所在的区间 知识梳理 知识点1、指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 知识点2、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 知识点3、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 知识点4、对数函数及其性质 1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 知识点5、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 考点精讲 考点一 指数幂的运算 解题策略 利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 例1．（2025·广东广州·模拟预测）若，则的化简结果是（ ） A． B． C． D． 例2．（2025·广东中山·模拟预测） 练习1．（2024·25高三上·广东潮州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 练习2．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）化简 . 练习3．（2024·广东佛山·模拟预测）求值： ． 练习4．（2024·25高三上·广东湛江·期末）已知，则 . 考点二 对数的运算 解题策略 1.对数的运算：根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 2.应用换底公式应注意： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 例3．（2024·25高三上·广东阳江·阶段练习）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 例4．（2024·25高三上·广东·期中） ． 练习1．（2024·25高三上·山东·阶段练习） ． 练习2．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东深圳·期中）若，则 . 练习4．（2024·25高三上·广东揭阳·期末）已知，，则 . 考点三 求指对函数的解析式 例5．（2024·25高三上·广东江门·期中）若指数函数满足，则 ． 例6．（2024·25高三上·广东汕头·期末）已知对数函数的图象过点，则（    ） A．-3 B．1 C．2 D．3 练习1．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）已知指数函数的图象经过点，则 ． 练习2．（2024·25高三下·安徽合肥·期末）若函数是对数函数，则实数a的值为 ． 练习3．（2025·广东广州·模拟预测）函数 为对数函数，则等于 练习4．（2024·25高三上·广东惠州·期末）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 考点四 指对数函数的定义域和值域 例7．（2025·26高三上·广东·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·广东江门·三模）已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三上·广东·期中）函数的定义域为 . 练习2．（2024·25高三上·广东惠州·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 练习3．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）函数在上的最小值是 ． 练习4．（2024·25高三上·广东惠州·期末）函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点五 指对函数的图象 例9．（2024·25高三下·广东·开学考试）函数的图象在图中的序号依次为（   ） A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③ 例10．（2025·26高三上·广东·阶段练习）函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三下·广东汕头·期末）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东江门·期末）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   练习3．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 练习4．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点六 指对函数的定点 解题策略 （1）指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． （2）对数函数的图象经过点：求对数型函数图象所过的定点时，只要令真数为1，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． 例11．（2024·25高三上·广东惠州·期中）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（   ） A． B． C． D． 例12．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 练习1．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（   ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东韶关·期末）已知常数且，假设无论取何值，函数的图象恒过一个定点，则此定点坐标是 . 练习3．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 . 练习4．（2024·广东珠海·二模）若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 考点七 指对函数的单调性 例13．（2025·26高三上·广东·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 例14．（2024·25高三下·广东清远·开学考试）是函数为增函数的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习1．（2020·21高三上·广东茂名·期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东湛江·期中）函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 练习3．（2024·25高三上·广东汕头·期中）函数与在区间上的单调性相同，则实数a的取值范围是 练习4．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）已知函数且在上单调递增，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 考点八 指对幂比较大小问题 解题策略 （1）中间值法：选0、1等特殊数作为中间桥梁，分别比较两个待比数与中间值的大小，进而得出结论 （2）单调性法：先确定指对幂函数的单调区间，若两数能转化为同一函数的函数值，再根据单调性 “自变量大小定函数值大小”，直接比较得出结果 例15．（2024·25高三上·广东惠州·期中）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例16．（2024·25高三上·广东肇庆·期中）已知，则p，q，r的大小关系为（   ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 练习3．（2025·26高三上·广东·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 练习4．（2024·广东广州·模拟预测）已知 ，，，则a，b，c的大小关系为 .（由大到小的顺序） 考点九 指对函数解不等式 解题策略 可借助指对数函数的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． 例17．（2024·25高三上·广东汕头·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例18．（2024·25高三上·广东潮州·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习1．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）不等式的解集为 . 练习2．（2024·25高三上·广东梅州·阶段练习）n实战训练1若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习3．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）不等式的解集为 . 练习4．（2024·25高三上·广东广州·期中）函数的定义域为 ． 考点十 求零点及判断零点所在区间 解题策略 判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 例19．（2024·25高三上·广东佛山·期中）二次函数的一个零点是 . 例20．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三上·广东汕头·期中）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东深圳·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 练习4．（2025·26高三上·广东中山·阶段练习）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点十一 零点个数问题 解题策略 函数零点个数问题的处理方式： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例21．（2024·25高三上·广东深圳·期中）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例22．（2024·25高三下·广东深圳·期末）已知函数 若方程有个实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习1．（2025·26高三上·广东湛江·期末）已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习2．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）函数的零点个数为 . 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期末）已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数若有三个零点，则的取值范围是 . 1．（2024·25高三上·广东韶关·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 2．（2024·25高三上·广东广州·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东佛山·三模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2024·25高三上·广东广州·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·25高三上·广东深圳·期中）若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2024·25高三上·广东清远·期末）计算： 8．（2024·25高三上·广东深圳·期末）已知函数，设，则 . 9．（2024·25高三上·广东·期中）函数的零点为 ． 10．（2025·广东汕头·一模）已知，则的取值范围为 11．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）已知函数 在区间上的最大值为 . 12．（2025·26高三上·广东·开学考试）若，则函数的值域是 ． 13．（2024·25高三上·广东佛山·期末）已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是 ． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $