专题5.4 勾股定理的应用（1大考点+11大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题5.4勾股定理的应用 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1勾股定理的应用 知识清单 题型1求梯子下滑的高度 题型2求旗杆的高度 题型3求小鸟飞行的距离 题型4求大树折断前的高度 勾股定理的应用 题型5解决水杯中筷子问题 题型6解决航海问题 题型精讲 题型7求河宽 题型8求台阶上地毯长度 题型9判断汽车是否超速 题型10判断是否受台风影响 题型11求最短路径 强化训练 教学目标、教学重难点 1.熟练运用勾股定理解决几何图形边长计算、折叠等问题，能将航海、最短路径等实 际场景抽象为直角三角形模型。 2.经历“建模一分析一求解”过程，提升数学建模和逻辑推理能力，掌握构造直角三 教学目标 角形的解题技巧。 3.感受数学与生活的联系，体会定理的应用价值，增强用数学知识解决实际问题的意 识。 教学重难点 1.重点 (1)精准把握勾股定理的适用条件，能在直角三角形或构造的直角三角形中灵活计 算边长。 1/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)熟练将实际问题转化为数学模型，运用定理解决距离、高度、折叠等常见应用 问题。 2.难点 (1)复杂场景中挖掘隐含条件，通过作辅助线等方式构造直角三角形，建立定理适 用的数学模型。 (2)解决含分类讨论、方程思想的综合问题，如未明确斜边的边长计算、动态几何 中的距离求解。 知识清单 知识点01勾股定理的应用 【即学即练1】1.(24-25八年级上江苏苏州期中)如图，一架竹梯长2.5m,斜靠在一面墙上(AB所 示)，梯子底端离墙0.7m.如果梯子的顶端下滑1.7m(CD所示)，那么梯子的底部在水平方向也滑动了 m 2.(25-26八年级上·江苏无锡·月考)在一条东西走向的河流一侧有一村庄A,河边原有两个取水点 B,C,其中BA=BC,由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建 一个取水点D(B、C、D在一条直线上)，并新修一条路AD,测得AC=3千米，AD=2.4千米， CD=1.8千米. (1)问AD是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线AB的长. 题型精讲 题型01求梯子下滑的高度 【典例1】(25-26八年级上·全国·课后作业)一架10m长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端 2/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 6m,如果梯子的顶端下滑2m,则梯脚将水平移动() A.0.5m B.0.75m C.1m D.2m 【变式1】(25-26八年级上江苏扬州·期中)如图，一根竹竿长1.5米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙 0.9米，若竹竿底端向左滑动0.3米，那么竹竿顶端下滑_米. D B 【变式2】(24-25八年级上江苏·期末)如图所示，靠墙放着一个梯子AB,梯子底端B离墙根的距离为3 米，现梯子底端B向右滑动1米到了B处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了A处.则梯子的长度是 米 A A B B' 【变式3】(25-26八年级上江苏徐州·期中)如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在与地面垂直的墙AO上 (垂足为O),此时AO为2米. B D (1)求梯子底端到墙的距离BO的长； (2)如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离BD是多少米？ 3/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型02求旗杆的高度 【典例2】(25-26八年级上广东·阶段练习)如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13 米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为() C B A.12米 B.11米 C.10米 D.9米 【变式1】(24-25八年级下·广东惠州·期末)为了固定垂直于地面的木桩AB,工人们在木桩离地面高4 米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的C处（接头处长度不计），则点C与木桩底部B的 距离应为() B A.3米 B.4米 C.5米 D.6米 【变式2】(25-26八年级上·全国随堂练习)新情境某中学在大门口的正上方离地2.1米的点A处装着一 个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高16米 的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，测温仪自动显示体温，则人头顶离测温 仪的距离AD为米. 感应器A 【变式3】(25-26八年级上广东深圳期中)小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解 决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离BC为15米：根据手中余线长度 计算出AB为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离CD为1.8米. 4/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B ---C D (I)求风筝离地面的垂直高度AD; (2)如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 题型03求小鸟飞行的距离 【典例3】(25-26八年级上·福建三明·月考)两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8m，,另 一只朝左挖，每分钟挖6Cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距() A.50em B.100cm C.140cm D.80cm 【变式1】(25-26九年级上湖北月考)如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行() A.6米 B.5米 C.4米 D.3米 【变式2】(25-26八年级上山东青岛·月考)已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两 树相距10米.一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行米. 题型04求大树折断前的高度 【典例4】(25-26八年级上·山西运城月考)《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺.问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折 断处离地面的高度为多少？（注：1丈=0尺），若设竹子未折断部分的高度为x尺，根据勾股定理可列 方程求解，则未折断部分的高度为() 5/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.4.55尺 B.5.45尺 C.6.35尺 D.7.25尺 【变式1】(25-26八年级上·陕西西安·开学考试)如图，一棵大树在台风中于离地面8米处折断倒下，树 的顶端落在离树干6米远处，这棵大树在折断前的高度为() 7777777777777777777T A.10米 B.14米 C.18米 D.19米 【变式2】(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中 树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为 【变式3】(25-26八年级上·广东佛山期中)如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度 为12m的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC=4m,树尖B恰好碰到地面.在大树倒下的方向上 的点D处停着一辆小轿车，CD=6.5m,树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由. B 61/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型05解决水杯中筷子问题 【典例5】(25-26八年级上·福建宁德·期中)平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺.一阵 强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面.此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向 上移动了4尺.由此可知水池的深度是 15 A.7尺 B. C.8尺 D. 17 尺 2 【变式1】(25-26八年级上陕西汉中·月考)如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为12cm,内 侧高度为16cm,现有一幅总长度为26cm的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为 () A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 【变式2】(25-26八年级上·四川成都·月考)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题， 这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它 高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这根芦苇的长度是 尺. 【变式3】(25-26八年级上·宁夏银川阶段练习)如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲， 它高出水面30Cm,突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的 7/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 水平距离为60cm,则水深是多少cm? 30cm 题型06解决航海问题 【典例6】(25-26八年级上江苏南京·期中)一艘轮船以12海里时的速度从港口A出发向北航行，另一 轮船以5海里时的速度同时从港口A出发向东航行，离开港口1小时后两船相距() A.12海里 B.8海里 C.10海里 D.13海里 【变式1】(24-25八年级下·广西南宁·期末)如图，甲、乙两艘轮船同时从港口0出发，甲轮船以9海里/ 时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距15海里，则乙轮船每 小时航行海里. 北 B 【变式2】(24-25八年级上·甘肃兰州期中)如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方 向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直 线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程AC=海里. 北F 北G B 8/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上·陕西西安·期中)如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出 发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里时的航速沿正北方向航行，10 小时后两艘军舰分别到达点A,B,此时要求两军舰沿AB航线相向而行. 北 →东 B A 0 A (1)求A,B两点之间的距离； (2)若从港口O派一艘补给舰在AB航线上接应，求该轮船行驶的最短距离. 题型07求河宽 【典例7】(23-24八年级上·陕西咸阳·月考)如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达的B点240m,结果他在水中实际游了510m,则该河的宽度为() A.300m B.400m C.450m D.480m 【变式1】(25-26八年级上陕西宝鸡·月考)如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际 上岸地点G偏离欲到达点F400m,结果他在水中实际划了500m,则该河流的宽度EF=_m. F G E 【变式2】(24-25八年级下·广西南宁·期中)某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地 点C偏离了想到达的点B50米.他在水中游了130米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）一· B C 9/19 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(24-25八年级下·吉林白城期末)某人欲从一条河岸边的点A,划船垂直河岸横渡一条河，到 达河对岸岸边的点B,由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离45m,已知他在水中实际划了 75m.(假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线) (1)画出符合题意的图形： (2)求该河流的宽度AB. 题型08求台阶上地毯长度 【典例8】(25-26八年级上·安徽宿州·期中)如图，在高为2.5m,坡面长为6.5m的楼梯表面铺地毯，则 地毯的长至少需要() 2.5m6.5m A.7m B.7.5m C.8m D.8.5m 【变式1】(25-26八年级上：四川成都·月考)某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m,高5m的 台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m,地毯的价格为100元/m，则购买地毯需花费一元. 5m 13m 【变式2】(23-24八年级下·重庆九龙坡·期中)如图，某会展中心准备将高5m,长13m,宽2m的楼道铺 上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要一元. 5m 13m B 2m A 【变式3】(24-25八年级下·湖南长沙·期末)树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯， 将楼梯台阶完全盖住.已知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C=90°，AC=3m,AB=5m. 10/19 专题5.4 勾股定理的应用 教学目标 1. 熟练运用勾股定理解决几何图形边长计算、折叠等问题，能将航海、最短路径等实际场景抽象为直角三角形模型。 2. 经历“建模—分析—求解”过程，提升数学建模和逻辑推理能力，掌握构造直角三角形的解题技巧。 3. 感受数学与生活的联系，体会定理的应用价值，增强用数学知识解决实际问题的意识。 教学重难点 1.重点 （1）精准把握勾股定理的适用条件，能在直角三角形或构造的直角三角形中灵活计算边长。 （2）熟练将实际问题转化为数学模型，运用定理解决距离、高度、折叠等常见应用问题。 2.难点 （1）复杂场景中挖掘隐含条件，通过作辅助线等方式构造直角三角形，建立定理适用的数学模型。 （2）解决含分类讨论、方程思想的综合问题，如未明确斜边的边长计算、动态几何中的距离求解。 知识点01 勾股定理的应用 【即学即练1】1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用．根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据求，根据求，根据计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中， ∴米， 已知米，， 则米， 在直角中，为直角边, ∴米， 米． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． 【答案】(1)为从村庄A到河边最近的路，见解析 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是从村庄A到河边最近的路，理由如下：     ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴，即， ∴为从村庄A到河边最近的路； （2）解：设千米， ∵， ∴千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴的长为千米． 题型01 求梯子下滑的高度 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数量掌握勾股定理是解题的关键． 通过勾股定理计算初始墙高和移动后梯脚离墙的距离，求差即可得到移动距离． 【详解】初始状态：设墙高为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． 移动后：顶端下滑 2m，新墙高为 m， 设新梯脚离墙距离为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． ∴ 梯脚移动距离为m． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，一根竹竿长米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙米，若竹竿底端向左滑动米，那么竹竿顶端下滑 米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意列出已知数据，并利用勾股定理求解．由题意得米，米，米，米，在中，，在中，，即可求出顶端下滑的距离． 【详解】解：如图， 由题意得，米，米，米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 则顶端下移的距离米． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米． 【答案】5 【分析】利用勾股定理可得，， 梯子移动过程中长短不变，建立等式，继而可求出的长，再利用勾股定理即可求出梯子的长度． 本题考查了勾股定理的应用，题中梯子与墙构成了一个直角三角形，可根据勾股定理边长的关系来列方程． 【详解】解：， ， ∴， 得， ∴梯子的长AB（米）． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架长2.5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上（垂足为O），此时为2米． (1)求梯子底端到墙的距离的长； (2)如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离是多少米？ 【答案】(1)1.5米 (2)0.5米 【分析】（1）在中，根据勾股定理可得米； （2）由题意得米，米，在中，根据勾股定理可得米，进而可得米． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得中，，米，米， ∴（米）． （2）解：由题意得米，米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 题型02 求旗杆的高度 【典例2】（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 由题意知：米，米， （米） 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·广东惠州·期末）为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．过点作，则米，在中，根据勾股定理即可得． 【详解】解：过点作， 由题意知，米，米，米， ∴（米）， 在中，根据勾股定理得，米， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离为15米；根据手中余线长度计算出为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用． （1）先利用勾股定理求解，再进一步求解即可． （2）先求解，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，（米） ∴线段的长为米． （2）解：风筝沿方向再上升12米，则， 在中，， 由勾股定理得，， ， ∴他应该再放出8米线． 题型03 求小鸟飞行的距离 【典例3】（25-26八年级上·福建三明·月考）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用． 根据题意，可得小鼹鼠朝前挖的距离和朝左挖的距离，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴10分钟之后两只小鼹鼠相距． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·湖北·月考）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，首先求出两棵树的高度差为（米），然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两棵树的高度差为（米），间距为10米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离为（米）． 故答案为：． 题型04 求大树折断前的高度 【典例4】（25-26八年级上·山西运城·月考）《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，由题意得米，米，由勾股定理求出（米）即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得米，米， ∴（米）， ∴这棵大树在折断前的高度为（米）， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点离地面的高度的值为 3 米， 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 题型05 解决水杯中筷子问题 【典例5】（25-26八年级上·福建宁德·期中）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 画轴露出筒口外的长度最少，即在筒内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：底面直径为，高为， 画轴露出筒口外的长度最少为：． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 尺． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺，根据题意可得芦苇底部到水池右边的距离为5尺，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形， ∴芦苇底部到水池右边的距离为5尺， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∴这根芦苇的长度是13尺， 故答案为：13． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深是，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深是， 如图所示，在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得， 答：水深是． 题型06 解决航海问题 【典例6】（25-26八年级上·江苏南京·期中）一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1小时后两船的距离即可． 【详解】解：第一艘船向北航行距离：（海里）， 第二艘船向东航行距离：（海里）， 且两方向垂直， 则两船距离为直角三角形的斜边：（海里）， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)400海里 (2)该轮船行驶的最短距离为192海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知，，根据“路程速度时间”分别得出，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点 ， ， 答：两点之间的距离为400海里． （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ， ， 答：该轮船行驶的最短距离为192海里． 题型07 求河宽 【典例7】（23-24八年级上·陕西咸阳·月考）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度 m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 【变式3】（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 题型08 求台阶上地毯长度 【典例8】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·月考）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 题型09 判断汽车是否超速 【典例9】（22-23八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【变式1】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【变式3】（23-24八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 题型10 判断是否受台风影响 【典例10】（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【答案】A 【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，， ∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 故选：A 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·月考）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； （2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 题型11 求最短路径 【典例11】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 根据勾股定理得． ∴它爬行的最短路程为， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约16米，则这串装饰彩灯至少长为 米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到答案． 【详解】解：如图，把圆柱体的侧面展开， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴米，米， ∴（米），则这串装饰彩灯至少长为米． 故答案为：20． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图：作沿上沿B点的对称点，作于C， ∵高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点B处， ∴依题意得：， ， 连接，则即为最短距离， 故答案为：17． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 【答案】分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·课后作业）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键． 根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设的长为尺， 尺，尺， 尺， 在中，尺，尺，尺，则由勾股定理得， 解得， 秋千绳索或的长度为尺， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期中）我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：1丈尺，葭生其中央， 尺， 在中，根据题意列方程得，， 故选：A． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆柱的最短路径问题，运用侧面展开与勾股定理思想，关键是将圆柱侧面展开为长方形，利用对称点转化为线段最短问题，易错点是展开后对应线段的长度计算错误； 思路是将圆柱侧面沿母线展开为长方形，作点关于展开图上边的对称点，连接对称点与，利用勾股定理计算这条线段的长度（即最短路程）． 【详解】 解：如图，将玻璃杯的侧面展开一半，作点关于直线的对称点，连接，则的长即为蚂蚁从玻璃杯外壁处到玻璃杯内壁处的最短路程．过点作交的延长线于点． 由题意，知（），（）． 在中，由勾股定理得（），所以蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为． 故选A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高 ． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长度，进而即可求出这棵树折断前高度． 【详解】解：根据题意得，， 在中，， ， 这棵树折断前高为， 故答案为：18 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖 ． 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 即要挖到该文物至少要挖， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，最短为； 当玻璃棒垂直杯子底面时，漏出杯子外面的长度最长，最长为； ∴的取值范围是； 故答案为． 10．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条线上，小辰用一根彩带从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根彩带的长度最短是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为 ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ； 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是； 根据勾股定理求得； ∴； 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北·课后作业）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 12．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺，当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．现在问这个秋千的绳索有多长？ 【答案】这个秋千的绳索的长是14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用．设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【详解】解：设尺， 依题意，，， ∴ ， 在中，， ， 解得， 故尺， 答：这个秋千的绳索的长是14.5尺． 13．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 【答案】池塘水深尺，荷花长尺． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺，然后由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺， 在中，，即， 解得：． ∴池塘水深为尺，荷花长度为， 答：池塘水深尺，荷花长尺． 14．（25-26八年级上·全国·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）过点作于点，此时线段为点到线段的距离，通过三角形面积相等可求出线段的长，若，则海港受台风影响，若，则海港不受台风影响； （2）通过勾股定理可求出线段、的长，从而求出线段的长，利用路程除以速度即可求出时间； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，过点作于点构建直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是直角三角形． ∴， 即， 解得． ∵， ∴海港受台风影响． （2）设台风到达点时开始影响该海港，到达点时解除影响该海港， ∴． ∵于点， ∴， ， ∴． ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 15．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边有两个取水点，村庄修建了道路和，其中．由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并修建道路．经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄到河边的最近道路，并说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，见解析 (2)原来的路线的长为百米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练中午知识点是解题的关键． （1）先由勾股定理证明，再根据点到直线的距离最短求解即可； （2），继而表示出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是从村庄到河边的最近道路； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴，即百米， 所以，原来的路线的长为百米． 16．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是指，设，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设水泥墙的高度为x米，则米, 由题意，知， 所以, 因为两名运动员所经过的路程长度相等， 所以，即， 所以米, 在中，由勾股定理得，即， 解得，即米, 答：水泥墙的高度为米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $