专题5.5 直角三角形全等的判定（1大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题5.5 直角三角形全等的判定 内容概览 教学目标、教学重滩点 知识点1HL证明两直角三角形全等 知识清单 题型1添加条件使两直角三角形全等 直角三角形全等的判定 题型2根据已知条件找三角形全等的判定方法 题型3利用HL证明三角形全等 题型精讲 题型4利用全等三角形的性质和HL求线段长 题型5利用全等三角形的性质和H求角度 题型6利用全等三角形的性质和HL证明 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握直角三角形全等的HL判定定理，明确其与一般三角形全等判定的区别与联 系，能准确表述定理内容。 2.熟练运用HL及一般全等判定(SSS、SAS、ASA、AAS)证明直角三角形全等，规 教学目标 范书写推理步骤。 3.经历定理探究与应用过程，提升几何直观与逻辑推理能力，养成严谨的数学证明习 惯。 1.重点 (1)理解并熟记HL判定定理的条件与结论，明确其仅适用于直角三角形的特殊性。 (2)灵活选择HL或一般判定方法，解决直角三角形全等的证明及线段、角相等的相 关问题。 教学重难点 2.难点 (1)区分HL与一般全等判定的适用场景，避免在非直角三角形中误用HL定理。 (2)复杂图形中准确识别隐含的直角条件，合理构造辅助线，运用HL完成全等证明 与综合推理。 知识清单 1/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 知识点01HL证明两直角三角形全等 HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“HL”是“斜边、直角边”的英文缩 写)。 【即学即练1】 1.(25-26八年级上·全国·课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，OM⊥AB于点 M,ON⊥BC于点N.若OM=ON,则∠ABO的度数为· M 2.(25-26八年级上福建泉州期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE1AB于点E, 点F在AC上，BD=DF. (I)求证：AC=AE」 (2)若AB=10,AF=6,求CF的长」 题型精讲 题型01添加条件使两直角三角形全等 【典例1】(25-26八年级上·四川绵阳期中)如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定 Rt△ABD和RtACDB全等，则需要添加的条件是() A.AD=CBB.∠A=∠C C.∠ADB=∠CBDD.AB=CD 【变式1】(25-26八年级上陕西榆林期中)如图，∠C=∠D=90°，要用“HL”证明 RtAABC≌RtAABD,还需要添加的一个条件是() 2/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D B A.AB平分∠CAD B.AC∥BD C.BC=BD D.∠ABC=∠ABD 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江佳木斯期中)如图，C⊥AE,垂足为C,且AC=CD,若用“HL ”证明△ABC≌△DEC,则需添加的条件是 B 【变式3】(25-26八年级上福建厦门月考)如图，CE=BF,AE1BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明 Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是一· C 题型02根据已知条件找三角形全等的判定方法 【典例2】(24-25八年级下山西太原·期末)在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图1)的 卡片，然后要求同学们画一个Rt△ABC,使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小宏同学先画出了∠MB'N=90°之 后，后续画图的主要过程如图所示.这种画图方法的依据是() W B -M B 图1 第一步 第二步 A.SAS B.AAS C.ASA D.HL 3/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上·山西晋城期中)如图，一斜坡的坡面与地面呈钝角∠PAQ,王师傅要在该坡 角靠墙处铺设木板，他的做法为：①将两块等宽的长方形木板的长边分别贴住坡面AP和地面AQ,且两块 长方形木板的顶角交于点A,两长边交于点D,分别在两块长方形木板上做标记；②裁剪两个全等的 △ABD和△ACD.这样就可以将坡角靠墙处贴合地铺设木板，则△ABD≌△ACD的依据是() B A Q A.SAS B.HL C.ASA D.SSS 【变式2】(25-26八年级上四川阶段练习)如图，C,F为线段AE上两点，BC⊥AE,DF⊥AE, AB=DE,则添加一个条件：①BC=DF;②∠A=∠E;③AF=CE:④AC=EF.能用“HL”判定 △ABC≌△EDF的是. (填序号) 【变式3】(25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习)在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图 I)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△ABC,使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小宏同学先画出了 ∠MB'N=90°之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是一· B -M B 第一步 第二步 图1 图2 题型03利用HL证明两三角形全等 【典例3】(25-26八年级上·浙江温州·期中)如图，在四边形ACDB中，∠ABD=∠ACD=90°，连接AD, 若BD=CD.求证：△ABD≌△ACD 4/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B D C 【变式1】(23-24八年级上·云南曲靖期中)如图，在△ABC和△A'B'C中， ∠C=∠C'=90,AB=AB,AD与AD分别为BC,B'C边上的中线，且CD=CD',求证： △ABC≌△A'B'C'. 【变式2】(25-26八年级上·吉林松原·期中)如图，点A、C、D、E在同一条直线上，BC⊥AE, FD⊥AE,且AB=EF,AD=CE,求证：△ABC≌△EFD. E C D B 【变式3】(25-26八年级上·浙江绍兴·期中)已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E是AC上一 点，连接BE交AD于点F,BF=AC,DF=DC. B D E A (I)求证：△BDF≌AACD (2)若BD=4,CD=3,求BE的长. 5/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型04利用全等三角形的性质和HL求线段长 【典例4】(25-26八年级上·天津南开·期中)如图，AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别为点C,D, AC=AD,若BC=3,则BD的大小为() B A.3 B.4 C.5 D.6 【变式1】(25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=6, P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，且PQ=AB,要使△ABC和△APQ全等，则AP的长 为() Q B P A.6 B.12 C.6或12 D.6或12或18或24 【变式2】(25-26八年级上·吉林松原·期中)如图，EC⊥BD,垂足为C,A是EC上的一点，AC=CD, 连接AB、ED,且AB=DE.若AC=3.5,BD=9,则CE的长为一· B 【变式3】(25-26八年级上·北京·期中)如图，△ABC中点D为BC中点，BE⊥AD于点E,CF⊥AD, 交AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点，连接BG. 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G A E D (I)求证：BE=CF; (2)若BG=CA,DF=1,求GA的长. 题型O5利用全等三角形的性质和HL求角度 【典例5】(24-25八年级上·甘肃武威期末)如图所示，AC=CD,∠B=∠E=90°，BC=DE, ∠A=40°，则∠2=() D 2 C E A.30° B.40° C.50 D.60° 【变式1】(25-26八年级上·全国·单元测试)如图，BD=CF,FD⊥BC于D点，DE L AB于点E, BE=CD,若∠AFD=134°，则∠EDF的度数为() E B A.44° B.36° C.46° D.34° 【变式2】(25-26八年级上·山东菏泽·期中)如图，点D在BC上，DE L AB于点E,DF⊥BC于点 D,交AC于点F,BD=CF,BE=CD,∠AFD=148°，则∠EDF的度数为一· A D 7/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上·浙江温州·期中)如图，△ABC外角∠EAC的角平分线上取一点P使得 PB=PC,作PD⊥AC于点D,PE⊥AB于点E. B (I)求证：BE=CD (2)若∠EPB=35°，∠ACB=15°，求∠PBC的度数. ∴.∠PBC=∠PCB=70°」 题型06利用全等三角形的性质和HL证明 【典例6】(25-26八年级上浙江舟山期中)如图，在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,若BE=CF.求证：AB=AC. E 0 请你补全下述证明过程中的条件或依据： 证：DE⊥AB,DF L AC, ∴.∠BED=∠CFD=90° 在Rt△DBE和RtADCF中，BD=CD,①( )=(② .RtADBE≌Rt△DCF(③ .∠B=∠C, .AB=AC(④ 【变式1】(25-26九年级上·安徽芜湖·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋 转得到△AB'C,点B,C的对应点分别为B,C,B'C的延长线与边BC相交于点D,连接CC'. 8/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B BD (I)求证：∠B'AB=∠B'DB; (2)若AC=4,CD=3,求线段CC的长. 【变式2】(2025浙江台州一模)如图，在△ABC中，AB=AC,点O为BC中点，点D在边AB上，连 接OD. D E B B O (图1) (图2) (I)如图1，若OD⊥AB,OE⊥AC于点E,求证：OE=OD; (2)如图2，己知∠BAC=90°，AB=4,AD=1.若点F在边AC上，OF=OD,求AF的长. 【变式3】(24-25八年级上·贵州遵义·期中)如图，BD在∠ABC的内部，点E、D在BD上，连接AE、 CE,过点D作DF⊥AE,DG^CE,垂足分别是F、G.且F、G恰好是AE和CE的中点，DG=DF. (I)求证：EF=EG: (2)求证：BD平分∠ABC. 9/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上·福建福州·期中)如图，AC=BC,AC⊥OA,CB⊥OB,则△AOC≌△BOC的依据是 () O B C A.SSS B.SAS C.AAS D.HL 2.(25-26八年级上陕西榆林期中)如图，点A,D,C，F在同一条直线上，∠B=∠E=90°， AB=DE,要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF,还需要添加的一个条件是() B A.AD=CF B.∠BCA=∠F C.BC∥EF D.∠BAC=∠EDF 3.(25-26八年级上·陕西榆林期中)如图所示，在△ABC中，AC=BC,点E是△ABC内一点，连接 AE,CE,且AE⊥CE,过点B作BD⊥CE交CE的延长线于点D,且AE=CD,若AE=6,BD=2,则 DE的长是() E B D A.7 B.4 C.3 D.2 4.(25-26八年级上江苏镇江期中)如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB, ∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F,BC=6,CF=1,则AC的长为() 10/13 专题5.5 直角三角形全等的判定 教学目标 1. 掌握直角三角形全等的HL判定定理，明确其与一般三角形全等判定的区别与联系，能准确表述定理内容。 2. 熟练运用HL及一般全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）证明直角三角形全等，规范书写推理步骤。 3. 经历定理探究与应用过程，提升几何直观与逻辑推理能力，养成严谨的数学证明习惯。 教学重难点 1.重点 （1）理解并熟记HL判定定理的条件与结论，明确其仅适用于直角三角形的特殊性。（2）灵活选择HL或一般判定方法，解决直角三角形全等的证明及线段、角相等的相关问题。 2.难点 （1） 区分HL与一般全等判定的适用场景，避免在非直角三角形中误用HL定理。 （2）复杂图形中准确识别隐含的直角条件，合理构造辅助线，运用HL完成全等证明与综合推理。 知识点01 HL证明两直角三角形全等 HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“HL”是“斜边、直角边”的英文缩写）。 【即学即练1】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，于点M，于点N．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）证明得到． （2）由得到，再证明，得到，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵于点E， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵, ∴， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ， ， 解得：． 题型01 添加条件使两直角三角形全等 【典例1】（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；     C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，，要用“”证明，还需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据证明时，为公共边，只需添加或，解答即可． 本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，根据证明时，为公共边，只需添加或， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出，根据推出即可． 【详解】解：需添加的条件是：， 理由是：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用的判定定理进行推理并运用数形结合思想．根据垂直求出，再根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 题型02 根据已知条件找三角形全等的判定方法 【典例2】（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，一斜坡的坡面与地面呈钝角，王师傅要在该坡角靠墙处铺设木板，他的做法为：①将两块等宽的长方形木板的长边分别贴住坡面和地面，且两块长方形木板的顶角交于点A，两长边交于点D，分别在两块长方形木板上做标记；②裁剪两个全等的和．这样就可以将坡角靠墙处贴合地铺设木板，则≌的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，理解题意是解题的关键． 根据题意找到三角形全等的条件，进而解题． 【详解】解：由题意知，， 在与中， ， ∴≌． 故选：B ． 【变式2】（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图，C，F为线段上两点，，，则添加一个条件：①；②；③；④．能用“”判定的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ①∵，，∴，符合题意； ②∵，，，∴，不符合题意； ③∵，∴，∴，∵，∴，符合题意； ④∵，，∴，符合题意． 故答案为：①③④． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故答案为：． 题型03 利用HL证明两三角形全等 【典例3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 【变式1】（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ， ， ， ∵， ∴在和中， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知：如图，在中，于点，是上一点，连接交于点，，．   (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用，得，从而证得，再利用三角形全等得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴ （2）解：∵， ， ， ， ； ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 题型04 利用全等三角形的性质和HL求线段长 【典例4】（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，，，垂足分别为点，，，若，则的大小为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质．根据“”可判定，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在Rt中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为（　　） A．6 B．12 C．6或12 D．6或12或18或24 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析动点在运动过程中三角形的变化进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行计算，一是，二是点与点重合，分别求解即可； 【详解】当时， 在与中， ， ； 当点运动到与点点重合时，， 在和中， ； 综上所述：长为或． 故选． 【变式2】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由已知得，再证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，中点D为中点，于点E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得到结论； （2）利用证明，得出，再根据得到，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴ ， ∵，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴ . ∵， ∴， ∴． 题型05 利用全等三角形的性质和HL求角度 【典例5】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据证明，得出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，于点，于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据先证明，得到，再利用补角和余角的性质，即可求解． 【详解】解：，， ． ， ． 在与中， ， ， ． ， ． 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，点D 在上， 于点E，于点D，交于点F，，，，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，外角的角平分线上取一点使得，作于点，于点． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据垂线的定义得到，，根据证明，得到，根据证明，即可证明； （2）根据得到，根据三角形内角和得到，进而得到，根据等边对等角即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵外角的角平分线上取一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型06 利用全等三角形的性质和HL证明 【典例6】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，于点E，于点F，若．求证：．    请你补全下述证明过程中的条件或依据： 证：∵，， ∴， 在和中，，①（___________）（②__________）， ∴（③___________）， ∴， ∴（④___________）． 【答案】①；②；③；④等角对等边 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据证明得到，再由等角对等边即可得出答案． 【详解】证：， ， 在和中， ， ， ∴， ∴．（④等角对等边）． 【变式1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为将绕点顺时针旋转得到，所以．设与交于点，则，所以． （2）连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 【变式2】（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由，，垂足分别是F，G，得，根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，推导出，由，且，推导出，而，即可根据“”证明，得，则平分． 【详解】（1）证明：∵，，垂足分别是F，G， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∵、恰好是和的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴平分． 一、单选题 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据题意可得，由可根据定理可证明，即可解答． 【详解】解：∵， ， 在和中，， ， 则的依据是． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，要根据“”判定，还需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用“”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“”的方法判定，故只能添上斜边这一条件，即可解答． 【详解】解：∵， ∴添加条件，根据“”即可判定； 或添加条件，也可得出，根据“”即可判定，故A正确． 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图所示，在中，，点是内一点，连接，，且，过点作交的延长线于点，且，若，，则的长是（   ） A．7 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． 根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵于点E，于点D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，D是的中点，，，交于F，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的定义与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合D是的中点，，得，根据，，故，证明，得，，即，再证明，则，，即可作答． 【详解】解：依题意，连接，如图所示： ∵D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 过作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 连接，证出得出，设，得出，，即可解得． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， 的周长为12， ， 的周长为6， ， ， 解得：， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，通过证明三角形全等得到对应角相等，再根据直角三角形的性质以及角之间的关系求出的度数即可. 【详解】解：， 是直角三角形 在和中 又 故答案为： ． 7．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在和中，，，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了直角三角形的判定及性质，直角三角形的特征，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解． 【详解】解：， ， （）， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，中，，点在外，且，垂直平分交线段、于、，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/76度 【分析】连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，，，根据等边对等角得出，根据证明，得出，进而求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确添加辅助线是解题的关键． 9．（24-25八年级上·河南新乡·月考）如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，是的高，为上一点，交于，且有，，则与的位置关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．发现并利用两个直角三角形全等是解题的关键． 证明，可得，由可推出，即可证得结论． 【详解】解：猜想：． 理由：是的高， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，，，证明，再结合，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（21-22七年级下·山东济南·期末）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于利用全等三角形的性质将相等的边进行转化． （1）由可得和都是直角三角形，已经给出一条直角边和斜边对应相等，直接用“”证明全等即可； （2）由可得对应边相等，通过勾股定理求出，进而求出的长． 【详解】（1）证明：∵于点， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·重庆江津·期中）如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． (1)若，，求的度数； (2)试判断与的关系？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)垂直平分．理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质和全等三角形的判定证明线段相等． （1）先由三角形内角和求出，再根据角平分线性质得，结合，在中利用内角和求出． （2）先根据角平分线性质得，证明，得，再结合平分，根据等腰三角形三线合一性质，得出结论 【详解】（1）解：∵，， ∴中． ∵为的平分线， ∴平分． ∴， ∵于D， ∴， ∴在中 ∴， （2）垂直平分．理由如下： ∵为的平分线， ∴平分．． 又∵于D，于F， ∴． ∴， ∴在与中 ∴． ∴． 又∵AE平分∠BAC．． ∴根据等腰三角形三线合一的性质得 垂直平分． 14．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到的距离=点D到的距离，即，是解答本题的关键． （1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离=点D到的距离，即．再根据，得； （2）利用角平分线性质证明，，再将线段进行转化． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在Rt和Rt中， ， ． ； （2）证明：在与中， ， ， ． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，点D在上，点E在的延长线上，且 (1)求证：； (2)若，，则______． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据证明，即可得到； （2）求出，根据得到，根据计算即可． 【详解】（1）证明：在中，，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $