专题5.1 直角三角形的性质定理（1大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题5.1 直角三角形的性质定理 教学目标 1. 理解直角三角形定义与表示方法，掌握两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半等核心性质，能运用角或中线判定直角三角形。 2. 通过动手测量与逻辑推理，探究特殊直角三角形性质，培养逆向思维和几何推理能力。 3. 体会从实践到理论的探究过程，增强运用性质解决实际问题的意识与能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握直角三角形两锐角关系、斜边上的中线性质及特殊直角三角形的关键特征。 （2）灵活运用直角三角形的性质与判定方法，解决基础几何计算和简单实际问题。 2.难点 （1）理解“斜边上的中线等于斜边的一半”的推导逻辑，以及含30°角直角三角形性质的证明过程。 （2）在复杂几何情境中准确识别直角三角形模型，合理选择性质或判定方法解题。 知识点01 直角三角形的性质定理 1. 两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和为90°。比如在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=90°。其逆命题也成立，可作为直角三角形的判定依据，即有两个角互余的三角形是直角三角形。 2. 斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。若在Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB的中点，那么CD=AD=BD=½AB。 【即学即练1】1．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，点在上，，，则 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半等知识，正确把握等腰三角形的性质是解题关键．利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形的外角以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半得出答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ． 故答案为：12． 2．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，且为的中点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含的直角三角形，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． （1）根据题意，得到是线段的垂直平分线，进而推出，利用角平分线，得到，进而求出． （2）利用所对的直角边是斜边的一半，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图， ∵于点E，E为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴． 题型01 根据直角三角形两锐角互余求角度 【典例1】（25-26八年级上·新疆·期中）如图，是斜边上的高线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质．在熟记知识点的基础上应用是关键．利用等角的余角相等进行计算即可． 【详解】解：∵是斜边上的高线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，在中，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形的性质．三角形的外角性质结合等边对等角求得，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，，则的大小是 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故答案为： 【变式3】 （25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是中点，，垂足为E．若． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质． （1）根据可得，再根据内角和定理即可求解； （2）首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到平分，然后求得的度数，从而求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例2】（25-26八年级上·河北·阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·月考）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式3】（25-26八年级上·贵州·阶段练习）如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 题型03 利用斜边上的中线定理求线段长 【典例3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵中，是斜边上的中线，若， ， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在等边三角形中，，于点，是的中点，连接，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的性质． 根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵，于点D， ∴， ∵点E为的中点， ∴. 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 故答案为：4． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，AD是边BC上的高，DE，DF分别是AB，AC上的中线，，，求的长． 【答案】7 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可分别得，的长，接着求的长即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∵，是上的中线， ∴． ∵，是上的中线， ∴． ∴． 题型04 利用斜边上的中线定理求角度 【典例4】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D为AB的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】 D为中点， ， ， ． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角形外角性质. 根据直角三角形性质得到,再结合等腰三角形的性质和三角形外角性质得到,进而得到,即可解题. 【详解】解：∵，点E为的中点,， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， 同理可得， ∴ 故选：B. 【变式2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，直角中，，，过作，连接与相交于，若，则的大小是 度． 【答案】26 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质． 取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可推出，已知，则不难求得的度数． 【详解】解：如图，取的中点，连接． ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：26． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质和三角形外角的性质，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质可证明，则由三线合一定理可证明结论； （2）设，由等边对等角和三角形外角的性质可得，进而得到，据此结合已知条件求解即可． 【详解】（1）证明：是边上的高，是边上的中线， ． ． ∵， ． 又∵， ． （2）解：设． ， ． ． ， ． ． 又∵，即， ，即． 题型05 利用含30度角的直角三角形的性质求线段长 【典例5】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据直角三角形中，30度角所对的直角边长度等于斜边长度的一半，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，是斜边上的高，若，，则长为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，求出，运用所对直角边等于斜边的一半 求出，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴； ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，交于点，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，再由等腰三角形的判定可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3 【变式3】（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，在等边中，点为上一点，． (1)求证：； (2)延长交于，连接，若为的中点，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，，即可证明，即可解题； （2）易证为等边中边上的高，根据等边三角形三线合一性质可得，根据，可得，即可求得，根据角所对直角边是斜边一半的性质即可解题． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ． ； （2）解：， 理由：为的中点， 为等边中边上的高，平分， ， ， ， ， ， 在中，． 题型06 利用含30度角的直角三角形的性质求角度 【典例6】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，于点，将沿折叠，使点落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，先得出，根据折叠的性质得，再结合，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在纸片中，，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若，则的度数为 ． 【答案】/124度 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，图形的折叠，邻补角，先根据，求出的值，再由折叠的性质求出，然后根据邻补角即可求解． 【详解】∵，， ∴． ∵将折叠后，点A落在边BC上的点D处，折痕为， ∴， ∴； 故答案是：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先求出，再根据折叠的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，交于点，为的中点，连接． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1），由，得，，由得，可得，进而得，由为的中点，三线合一即可得； （2）由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得，得，同理得，由即可得出． 【详解】（1）解：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型07 利用直角三角形的性质求周长或面积 【典例7】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，．的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据中垂线的性质，得到，推出，进而求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是； 故选B． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，点是的中点，点是的中点，连接和，若的周长是11，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据线段中点与三角形中位线性质可得，根据的周长是11，得的周长为22，根据，求解即得． 【详解】解：∵，是的中点，点是的中点， ∴． ∵的周长是11， ∴的周长为22． ∴． ∵， ∴． 故答案为：8． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 【变式3】（2024八年级下·广东惠州·竞赛）如图，在中，，垂直平分． (1)求的度数； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，根据垂直平分线的性质得到，即可得到答案； （2）过点B作于F，得到，根据三角形面积公式求得答案． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ （2）过点B作于F， 则， ∵，， ∴， ∴的面积是． 题型08 利用直角三角形的性质求最值 【典例8】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，平分，P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据垂线段最短得出何时的值最小，再根据角平分线的定义和含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在，上滑动，且，若点M、N分别是的中点，连接，则的长度最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接，， 在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ， 当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：， 的最小值为：2． 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，平分交于点，点、分别是线段，上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线的问题、角平分线的性质以及含30度直角三角形的性质等知识点，作C点关于的对称点，过作交于点E，交于点F，的最小值的长． 【详解】解：平分， 作C点关于的对称点，点在上， 如图：过作交于点E，交于F， ∴， ∴的最小值的长， C点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 【答案】4 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短，过点P作关于的对称点，连接，，证明，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作关于的对称点，连接，， ． ∵平分， ． 在和中， ， ， ， ∴要求的最小值，只要求出的最小值，即的最小值， ∴当时，的值最小，即点Q与点D重合，点与点B重合，最小值为的长． ∵在中，， ， 的最小值为4． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键． 过点A作于点E，在中，利用含角的直角三角形的性质可以求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可得的长． 【详解】解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，点是边的中点，，，，若，，则的长是（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及三角形全等的判定与性质、含直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质、含直角三角形性质是解决问题的关键． 延长，交于点，如图所示，先证明，得到，再证明，从而有，在中，由含直角三角形性质直接求解即可得到答案． 【详解】解：延长，交于点，如图所示： ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在中，，则，从而有， ， ， 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，为的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，可得，，，由三角形外角的性质，可得，，可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理． 4．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，等边对等角，结合三角形的外角的性质，求出，推出为等边三角形，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点，垂足为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线，交边于点F，连接AF，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再结合线段垂直平分线的性质得到，，然后得到，最后由角直角三角形的性质求解． 【详解】解：， 根据作图可知是的垂直平分线 ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，以及性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质以及角直角三角形的性质． 二、填空题 6．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，由直角三角形的性质得，进而由折叠的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙的夹角，梯子的长为，则梯子底端与墙角的距离的长为  ． 【答案】3 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，米， ∵在中，， ∴（米）， 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，点D是边上一点，过点D分别作，交于点E，交于点F，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含角直角三角形的性质，等边三角形的性质．解题的关键是证明是含角直角三角形．由，，可得是含角直角三角形．可求的长，可知的长，再由是等边三角形，则可得的长． 【详解】解：， ． ， ． 是含角直角三角形． ． ． ， ． 是等边三角形． ． 故答案为：6． 9．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在中，于点是斜边的中点．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据题意先求出，，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，，，则的长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，利用角的和差求出，进而得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，已知中，，，交于点，若，求的长． 【答案】BD的长为 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的判定等知识，推导出及是解题的关键． 由，交于点C，得，而，，则，由，得，即可求解． 【详解】解：，交于点C， ， ，， ， ， ， ， 的长为． 12．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)30° (2)4 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键； （1）根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据即可得出的度数， （2）证明△是等边三角形得，再根据含有角的直角三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）解：△是等边三角形， ， ， ， ， △是直角三角形， 在中，， （2）解：，， △是等边三角形， ， 在中，， ． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)如果 ，，试求的周长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角及直角三角形两锐角互余． （1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等直接求解即可得到答案； （2）设，则得到，结合直角三角形两锐角互余列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在和中，，E是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：∵在和中，，E是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期中）如图，等边三角形中，D、E分别为，边上的点，，与交于点F，于点G， (1)求的度数； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是关键． （1）由等边三角形的性质得到，证明，则，利用三角形外角的性质和等量代换即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，则，再利用含角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.1 直角三角形的性质定理 内容概览 教学目标、教学重难点 知识清单 知识点1直角三角形的性质定理 题型1根据直角三角形两锐角互余求角度 题型2锐角互余的三角形是直角三角形 直角三角形的性质定理 题型3利用斜边上的中线定理求线段长 题型4利用斜边上的中线定理求角度 题型精讲 题型5利用含0度角的直角三角形的性质求线段长 题型6利用含30度角的直角三角形的性质求角度 题型7利用直角三角形的性质求周长或面积 题型8利用直角三角形的性质求最值 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解直角三角形定义与表示方法，掌握两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半 等核心性质，能运用角或中线判定直角三角形 教学目标 2.通过动手测量与逻辑推理，探究特殊直角三角形性质，培养逆向思维和几何推理能力。 3.体会从实践到理论的探究过程，增强运用性质解决实际问题的意识与能力。 1.重点 (1)熟练掌握直角三角形两锐角关系、斜边上的中线性质及特殊直角三角形的关键特 征。 (2)灵活运用直角三角形的性质与判定方法，解决基础几何计算和简单实际问题。 教学重难点 2.难点 (1)理解“斜边上的中线等于斜边的一半”的推导逻辑，以及含30°角直角三角形性 质的证明过程。 (2)在复杂几何情境中准确识别直角三角形模型，合理选择性质或判定方法解题。 知识清单 知识点01直角三角形的性质定理 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和为90°。比如在Rt△ABC中，若∠C-90°，则∠A+∠B-90°。 其逆命题也成立，可作为直角三角形的判定依据，即有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。若在Rt△ABC中，∠C-90°，D是 斜边AB的中点，那么CD-AD-BD-AB。 【即学即练1】1.(25-26八年级上·吉林期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠C=30°，点D在BC上， AB⊥AD,AD=4,则BC= B D 2.(25-26九年级上河北保定·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D, DE⊥AB于点E,且E为AB的中点， C E (1)求∠B的度数： (2)若DE=5,求BD的长. 题型精讲 题型01 根据直角三角形两锐角互余求角度 【典例1】(25-26八年级上新疆期中)如图，CD是R△ABC斜边上的高线，∠A=60°，则∠2=() D A.30 B.40° C.45 D.60° 【变式1】(25-26八年级上·天津北辰·期中)如图，在Rt△ABC中，AD=ED,∠CDE=72°，则∠B的大 小是() 2/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E A D A.108 B.64° C.54° D.36 【变式2】(25-26八年级上·湖北武汉·期中)如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD,垂足为D, ∠DAC=20°，∠C=38°，则∠ABC的大小是 【变式3】 (25-26八年级上广东广州期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC中点，DE⊥AC,垂足为E.若 ∠BAC=50°. (1)求∠C的度数； (2)求∠ADE的度数. 题型02锐角互余的三角形是直角三角形 【典例2】(25-26八年级上河北阶段练习)在下列条件中：①LA+∠B=∠C;②LA:∠B:LC=1:2:3; ③LA=90°-∠B;④LA=∠B=∠C,能确定ABC是直角三角形的条件有() 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1】(25-26七年级上山东东营·月考)在下列条件：①LA+∠B=∠C;②LA:∠B:∠C=1:2:3;③ LA=∠B=2∠C;④LA=90°-∠B;⑤LA=LB=∠C中，能确定ABC为直角三角形的条件有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上福建福州·期中)如图，在ABC中，∠C=90°，D、E分别在AB、AC上， 连接DE,若∠I=∠2，则ADE是」 三角形. E B 【变式3】(25-26八年级上贵州阶段练习)如图，CE平分LACB,LA=38,∠B=60°，∠DCE=11°.求 证：△BCD是直角三角形 B 题型03利用斜边上的中线定理求线段长 【典例3】(25-26八年级上·浙江温州·期中)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=12, 则CD的长为() A.6 B.8 C.10 D.12 【变式1】(2425八年级下·云南普洱期末)如图，在等边三角形ABC中，BC=6,AD⊥BC于点D,E是 AC的中点，连接DE,则DE的长为() 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.4 C.3 D.2 【变式2】(24-25八年级上江苏南京·月考)如图，在ABC中，D是BC边上的一点，AD=AB,E,F分 别是BD,AC的中点.若AC=8,则EF的长为一· 【变式3】(24-25八年级上·全国课后作业)如图，在ABC中，AD是边BC上的高，DE,DF分别是AB, AC上的中线，AB=6,AC=8,，求DE+DF的长. 题型04利用斜边上的中线定理求角度 【典例4】(25-26八年级上江苏无锡·期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，若 ∠A=64°，则∠BCD的度数为() B A.26° B.32° C.36° D.38 【变式1】(25-26九年级上广东深圳月考)如图，在ABC中，∠ABC=90°，点E为AC的中点，在 △AFC中，LAFC=90°，连接BE,BF,EF,若∠ACB=50,∠ECF=24°，则∠EFB的度数为() 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.14° B.16° C.18 D.15o 【变式2】(24-25八年级下·云南昆明期末)如图，直角ABC中，LB=90°，∠BAC=78°，过C作 CF∥AB,连接AF与BC相交于G,若GF=2AC,则∠BAG的大小是度， B G B E C 【变式3】(25-26八年级上·江苏南京·期中)如图，在ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的中 线，BD=CE,DF⊥BE于点F. B D (I)求证：BF=EF; (2)若∠AEB=72°，求LEBC的度数. 题型05利用含30度角的直角三角形的性质求线段长 【典例5】(25-26八年级上·云南昭通·期中)在ABC中，AB⊥BC,∠C=30°，若AB=4,则AC的长为 () A.2 B.4 C.6 D.8 【变式1】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高， 若∠BCD=30°，BD=1,则AD长为(). C D B A.2 B.3 C.4 D.5 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上·湖北武汉·期中)如图，在ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB交BC于点 D,BC=9,则CD的长是 B D 【变式3】(25-26七年级上山东济宁.期中)如图，在等边ABC中，点D为AC上一点， CD=CE,LACE=60°. 图1 图2 (I)求证：△BCD≌aACE; (②)延长BD交AE于F,连接CF,若D为AC的中点，猜想线段BF,AF的数量关系，并证明你的猜想. 题型06利用含30度角的直角三角形的性质求角度 【典例6】(24-25七年级下，河南南阳·期末)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=55°，AD⊥BC于 点D,将aADB沿AD折叠，使点B落在点B处，则∠CAB'的度数为() D B C A.10° B.15° C.20° D.25 【变式1】(24-25七年级下·四川雅安期末)如图，在ABC纸片中，∠ACB=90°，将该三角形纸片折叠， 使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE,若2∠A-∠B=78°，则∠BDE的度数为 B 7/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上·湖北武汉·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将 △CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=30°，则LCDE的度数为」 B 【变式3】(25-26八年级上江苏徐州·期中)在ABC中，AB=AC,∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D, E为AC的中点，连接DE. B D (①)判断DE与AC的位置关系并说明理由： (2)若DE=2cm,求BC的长. 题型07利用直角三角形的性质求周长或面积 【典例7】(23-24八年级上湖北孝感期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.AB的垂直平分线 DE交AB于点D,交BC于点E,若CE=L,AC=V3,则ABC的周长是() A.3+25 B.3+3V5 C.4+25 D.4+35 【变式1】(24-25八年级上江苏南京阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC,BC=6,点F是BC的中 点，点D是AB的中点，连接AF和DF，,若aDBF的周长是11，则AC=一 4 B 8/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级下，河南郑州·期末)如图，在ABC中，D,E,F分别为边AC,BD,AE的中点，已 知BC=4,AC=6,若∠ABC与∠BAC互余，则图中阴影部分的面积等于一· 【变式3】(2024八年级下·广东惠州竞赛)如图，在ABC中，AB=AC=12cm,DE垂直平分 AC,∠A=30°. B (I)求∠BCD的度数 (2)求ABC的面积. 题型08利用直角三角形的性质求最值 【典例8】(25-26八年级上江苏无锡·月考)如图，∠M0N=60°，0A平分∠M0N,P是射线OA上的一点， 且0P=6,若点Q是射线OM上的一个动点，则Q的最小值为() M A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1】(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=6,BC=8, 线段DE的两个端点D、E分别在AC,BC上滑动，且DE=6,若点M、N分别是AB、DE的中点，连接 MN,则MN的长度最小值为() 9/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E A. 3 B.2 a D.3 【变式2】(25-26八年级上·辽宁鞍山期中)如图，在ABC中，AC=BC=3,∠ACB=120°，BD平分 ∠ABC交AC于点D,点E、F分别是线段BD,BC上的动点，则CE+EF的最小值是 A E B 【变式3】(2025八年级上·全国专题练习)如图，在ABC中，∠B=90°，LACB=30°，CD平分∠ACB, P,Q分别是AC,DC上的动点，连接PQ,AQ,若AC=8,求AQ+PQ的最小值. B 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上浙江月考)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,D为BC边上一点，连接AD ,且AD=AC,若CD=2,则BD的长为() 10/14