专题5.2 探索勾股定理（1大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题5.2 探索勾股定理 教学目标 1. 体验勾股定理的探究过程，掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方的核心内容。 2. 学会用面积法证明勾股定理，能运用定理求直角三角形未知边的长度。 3. 了解勾股定理相关历史，感受古代数学成就，增强对几何学习的兴趣与自信心。 教学重难点 1.重点 （1） 精准掌握勾股定理的具体内容，明晰直角三角形三边的数量关系。 （2）熟练运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的基础计算问题。 2.难点 （1）理解面积法证明勾股定理的逻辑，尤其是赵爽弦图等拼图方式中面积关系的推导过程。 （2）面对未明确直角边和斜边的题目时，能准确分类讨论，避免求解时出现漏解情况。 知识点01 勾股定理 勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 【即学即练1】1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和．进而可求出边长． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积． 则字母A所代表的正方形的边长是． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．因为将折叠使点恰好落在边上的点，，已知，由勾股定理可求得长，则可求，设，则，，在中用勾股定理列方程即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， 又∵将折叠使点恰好落在边上的点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 即的长为5． 题型01 利用勾股定理求边长 【典例1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，四边形中，，连接，交于点E，若，，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，先证明，得到，结合，得到，即，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图所示，在中，，，点是线段上的一个动点(不与、重合)，若线段的长为整数，则的长度为 ． 【答案】3或4/4或3 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，得到答案． 【详解】解：作于， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， 又， ∴， ∵线段的长为整数， ∴的长度为3或4， 故答案为：3或4． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，是斜边上的高，是斜边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识． （1）根据直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，从而得是等边三角形，进而即可得证； （2）根据直角三角形的性质得，再利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵在中，，是斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型02 勾股定理与网格 【典例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，则方格纸上的中边长为无理数的边数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理求格点间的距离，再判断否过化简二次根式，判断是否为无理数，解题的关键是熟悉勾股定理求线段长． 【详解】解：的顶点在格点上，每个小正方形的边长为， ；；． 都是无理数， 无理数的边数是． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1，则任意两个格点（网格线的交点）间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1， ∴任意两个格点间的距离可能是，，，，，，，，， ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ， 设到线段的距离为， ， ， 解得：； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·月考） 如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点 重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定等知识，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可求解． 【详解】解：如图，当点 P 与点D重合时， ，∴， ，∴， 在和中， ， ∴． 故答案为：D 题型03 勾股定理与折叠 【典例3】（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在上的点E处，若,则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，，可得，，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ，     ， ∴， 在中，， 在中，， ， 故答案为：16． 【变式3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，则可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）过点作于点，先利用勾股定理可得，再设，则，在中，利用勾股定理可得的值，则可得的长，然后根据折叠的性质可得，根据求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴． 题型04 利用勾股定理证平方关系 【典例4】（24-25八年级下·青海玉树·期末）在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1)猜想：．理由见解析； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 题型05 勾股数（树） 【典例5】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）下列各组数据中，不是勾股数的是（） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的判定条件“三个正整数且满足勾股定理”是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需满足两较小正整数的平方和等于最大正整数的平方， ∴验证各选项： A．，相等，是勾股数； B．，相等，是勾股数； C．，相等，是勾股数； D．，不是勾股数． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列各组数为勾股数的是（　　） A．6，8，10 B．，， C．，， D．4，5，6 【答案】A 【分析】本题考查勾股数，掌握相关知识是解决问题的关键．勾股数是三个正整数，且满足较小两数的平方和等于最大数的平方，只需验证各选项是否同时满足这两个条件即可． 【详解】解：A、计算，， 即，且、、为整数，故此组数为勾股数； B、，不是正整数，不符合勾股数的定义； C、，，不是正整数，不符合勾股数的定义； D、，不符合勾股数的定义． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 【答案】(1) (2) (3)这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？答案：每次生长增加的正方形面积之和是 【分析】此题主要考查了三角形、正方形的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． （1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可； 【详解】（1）解：正方形和是通过在正方形的边上构建直角三角形后形成的，根据勾股定理，直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和， 因此，正方形的面积等于正方形和的面积之和，即：． （2）解：正方形、、、是通过在正方形和 的边上构建直角三角形后形成的．根据勾股定理，正方形和的面积之和等于正方形的面积，而正方形、、、的面积之和等于正方形和的面积之和． 因此，正方形、、、的面积之和等于正方形的面积，即：． （3）解：这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？ 答案：每次生长增加的正方形面积之和是． 题型06 以弦图为背景的计算题 【典例6】（25-26八年级上·福建漳州·期中）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． 根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， A、可知，又，（负值已舍），故选项A正确，符合题目要求， B、可知，故选项B错误，不符合题目要求， C、可知，故选项C错误，不符合题目要求， D、可知，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理、二元一次方程组的应用，运用方程思想．解题关键是通过设直角三角形的直角边为未知数，结合“”和“小正方形边长”建立方程组，求出直角边后用勾股定理求大正方形面积；易错点是混淆小正方形边长与直角边的关系，导致方程列错． 首先设直角三角形的直角边，．再根据“”得；根据“小正方形边长”得．然后解方程组，求出，．最后由勾股定理求大正方形边长的平方，即大正方形的面积为34． 【详解】设直角三角形的直角边，． 已知，即； 小正方形的边长，由图形可知，小正方形的边长等于，即． 联立方程组： ， 解得，． 在中，根据勾股定理： ， 因此，大正方形的面积为． 故答案为：34． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】（）见解析；（）见解析；，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 题型07 勾股定理的证明 【典例7】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·月考）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得． 【详解】解：图形：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以完全平方公式成立； 图形：方法一：四个小长方形的面积为， 方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则四个小长方形的面积为， 所以公式成立； 图形：方法一：两个直角梯形的面积为， 方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则两个直角梯形的面积为， 所以平方差公式成立； 图形：方法一：中间小正方形的面积为， 方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 则中间小正方形的面积为， 所以勾股定理成立； 故答案为：①；②；③；④． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 【答案】探索新知：，，；知识迁移：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】本题考查的是勾股定理的证明与应用，完全平方公式的应用，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解题的关键. 探索新知：如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． 知识迁移：（1）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可． （2）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接，可得，当三点共线且时，，此时最小；再进一步求解即可. 【详解】解：探索新知： 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 大正方形的面积； 小正方形的面积个直角三角形的面积； 从而得出数学等式：； 化简证得勾股定理． 知识迁移： （1）由题意得： 空白部分的面积为． （2）∵， 设，依题意有 ， 解得：， ∴ ． 故该飞镖状图案的面积是24． 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接， ∴， 当三点共线且时，，此时最小； ∵中，， ∴， ∵， ∴. ∴的最小值为. 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，以的三条边分别为边向外作正方形，已知两个小正方形的面积分别为25，64，则大正方形的面积（阴影部分）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据以的三条边分别为边向外作正方形，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵以的三条边分别为边向外作正方形， ∴ 即大正方形的面积（阴影部分）为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）下列各组中，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，14 D．9，12，15 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理， 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解： A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、 ，∴能构成直角三角形，不符合题意； C、，∴不能构成直角三角形，符合题意； D、，∴能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括三角形内角和定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握判定直角三角形的方法． 通过分析每个选项是否满足直角三角形条件，找出不能判断的选项． 【详解】解：∵ 在中，，且， ∴，即，， ∴是直角三角形，故A能判断，不符合题意； ∵，设， 则， ∴ 不满足勾股定理逆定理，故B不能判断，符合题意； ∵，设， 则， ∴ 满足勾股定理逆定理，故C能判断，不符合题意； ∵，，， 则， ∴，满足勾股定理逆定理，故D能判断，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，点表示0，点表示1，以线段为边长向上作一个正方形，连接线段，以点为圆心，线段为半径画圆，交数轴与点和点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，掌握实数与数轴是解题的关键． 利用勾股定理求出的长度，即可得出点F表示的数． 【详解】解：， ∴， ∴点F表示的数是， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，中，，则底边上的高 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结合图形灵活应用是解题关键．先根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理即可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求得，设，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， 依题意，，，， ∴，， 在中， 即， 解得：，即， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点在OB上，点在上，于点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，垂线段最短，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等．如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于M，此时，为的最小值，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于点M， 此时，为的最小值， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，是边上的中线，是边上的高线，于G，．已知，，则的面积为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线定理得出，证明是的垂直平分线，得出相等的线段，求出相关线段的长度，利用勾股定理求出，求出的面积，然后利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解： ， ， 点是的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ； ∴， ， 在中，由勾股定理得，； 的面积为 点是的中点， 的面积 的面积为22． 故答案为：22． 三、解答题 11．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，分别是，边上的高，与相交于点，的延长线交于点． (1)问与全等吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明即可； （2）根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：与全等 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，分别是，边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 【答案】(1)， (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴即点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是为， ∵， ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 13．（25-26八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长即可； （2）由翻折的性质求得，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 14．（25-26七年级上·山东东营·期中）为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．若种植草皮的费用是每平方米100元，那么在这块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】9600元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理，可以得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，然后即可得到四边形的面积．进而求出种植草皮的费用即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形ABCD的面积是：（平方米）， （元） 即在这块空地上种植草皮共需投入9600元． 15．（25-26七年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，，且， 整理得，， ； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 【点睛】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 16．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法． 【课本例题重现】 如图，为的斜边上的高，设，，，求证：． 证明：在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ， ． ． 【解法探究】小明同学提出了不同的证明思路： 小明：我想可以取中点，连接，则_________，在中，由勾股定理推理得到． 请帮小明写出完整的证明过程． 【答案】；证明见解析 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，，再结合勾股定理、平方差公式即可得证． 【详解】证：取中点，连接， ，， 在中，根据勾股定理，得， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.2 探索勾股定理 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1勾股定理 知识清单 题型1利用沟股定理求边长 题型2勾股定理与网格 探索勾股定理 题型3勾股定理与折桑 题型精讲 题型4利用勾股定理证平方关系 题型5勾股数树) 题型6以人弦图为背景的计算题 题型7勾股定理的证明 强化训练 教学目标、教学重难点 1.体验勾股定理的探究过程，掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方的核心内 教学目标 容。 2.学会用面积法证明勾股定理，能运用定理求直角三角形未知边的长度。 3.了解勾股定理相关历史，感受古代数学成就，增强对几何学习的兴趣与自信心。 1.重点 (1)精准掌握勾股定理的具体内容，明晰直角三角形三边的数量关系。 (2)熟练运用勾股定理解决直角三角形中己知两边求第三边的基础计算问题。 教学重难点 2.难点 (1)理解面积法证明勾股定理的逻辑，尤其是赵爽弦图等拼图方式中面积关系的推导 过程。 (2)面对未明确直角边和斜边的题目时，能准确分类讨论，避免求解时出现漏解情况。 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01勾股定理 勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 注意： b ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系 ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边.尤其在记忆a2+b2=c2时，此关系只有当c是斜边时才成立.若 b是斜边，则关系式是a2+c2=b2;若a是斜边，则关系式是b2+c2=a2. 【即学即练1】1.(25-26八年级上江苏徐州期中)如图，两个较小正方形的面积分别为4,10，则字母A 所代表的正方形的边长是。 10 A 2.(25-26七年级上山东烟台期中)如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=10,点E在CD边上，将长 方形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，求EF的长. -----1D 题型精讲 题型01利用勾股定理求边长 【典例1】(24-25八年级上·江苏宿迁·期中)如图，AB1CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形， 如果CD=5,BE=2,那么AC的长为() 2/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.5 B.13 C.7 D.13 【变式1】(25-26八年级上江苏徐州·期中)如图，四边形ABCD中，AD=AB,CD=CB,连接AC,BD, 交于点E,若LEAB=30°，AB=2,则AE的长为() C A.6 B.4 C.3 D.2 【变式2】(25-26七年级上·山东济宁·期中)如图所示，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,点D是线段 BC上的一个动点（不与B、C重合），若线段AD的长为整数，则AD的长度为 D 【变式3】(25-26八年级上浙江金华.期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，BC<AC,CD是斜边AB上 的高，CE是斜边AB上的中线. B (I)若BD=ED,求∠A的度数. (2)若AD=4BD=8,求CD的长. 题型02勾股定理与网格 【典例2】(24-25八年级上·全国课后作业)如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，则方 3/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 格纸上的ABC中边长为无理数的边数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【变式1】(25-26八年级上陕西西安期中)如图，在3×3的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1， 则任意两个格点（网格线的交点）间的距离不可能是() A.√2 B.5 C.5 D.10 【变式2】(24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1， 则点B到线段AC的距离为」 【变式3】(25-26八年级上·全国·月考)如图，在5×5的正方形网格中，ABC的项点均在格点上，若 △ABC≌△PCB,,则点P与点_ 重合.（填“D“E或“F,且点D,E,F均为格点） E 题型03勾股定理与折叠 【典例3】(24-25八年级下·青海海西·期中)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=5cm, BC=12cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于() 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D 10 A. 3 cm B.3cm cm D.5cm 3 【变式1】(25-26八年级上·内蒙古包头期中)如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C 处，BC交AD于点E.若AB=4,AD=8,则线段BE=一· E D 22----------------0 【变式2】(25-26八年级上·四川达州期中)如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD上的点 E处，若BC=8,BE=2,则AB2-AC2的值为一 A B 【变式3】(25-26八年级上江苏徐州期中)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落 在点D处，折痕为EF. D D B E --C (I)求证：△AEF是等腰三角形 (2)若AB=4cm,EF=5cm,求AE和BC的长. 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型04利用勾股定理证平方关系 【典例4】(24-25八年级下·青海玉树·期末)在ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,且 ∠A:∠B:∠C=1:1:2,则下列等式正确的是() A.a2=b2+c2B.a2=2c2 C.c2=2b2 D.b2=2a2 【变式1】(2022山东枣庄·模拟预测)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形ABCD,若AD=3,BC=5,则AB2+CD2= 【变式2】(2025八年级上·全国专题练习)已知：如图，在ABC中，E是BC中点，D是AB上一点，F 是AC上一点，若∠DEF=90°，且∠BAC=90°，求证：BD2+FC2=FD2. D 【变式3】(2025八年级上·全国专题练习)我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形， 图① 图② (I)如图①，已知四边形ABCD是垂美四边形，请探究两组对边AB2+CD与AD2+BC之间的数量关系，并 说明理由； (2)如图②，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接 BE,CG,EG,已知AC=4,AB=5,求GE2. 题型05勾股数（树） 【典例5】(25-26八年级上·陕西咸阳·期中)下列各组数据中，不是勾股数的是() A.3,4,5B.7,24,25 C.8,15,17 D.5,7,9 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上·广东深圳期中)下列各组数为勾股数的是（) A.6,8,10B.5,4,√7 C.0.3,0.4,0.5D.4,5,6 【变式2】(25-26七年级上山东烟台·期中)如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构 成的勾股树”，若所有正方形的面积之和是12cm2,则正方形A的面积是_ A 【变式3】(25-26八年级上·全国·课后作业)如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四 边形都是正方形，面积分别记作SM,SA,SB,Sc,SD,SE,S,所有的三角形都是直角三角形. D M (I)正方形M,E,F的面积SM,SE,SF之间有什么关系？ (②)第2次“生长”出来的4个正方形A,B,C,D的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案. 题型06以弦图为背景的计算题 【典例6】(25-26八年级上福建漳州期中)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造 了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾=3，弦 c=5,则小正方形ABCD的边长是() 弦(c) 勾(a y 股(b) D C B 7/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.√34-3 B.1 C.2 D.4 【变式1】(25-26八年级上·广东深圳期中)赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何 图形.该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为α和b,斜边为c)围绕一个正方形拼成一个大正方形 (如图).若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于α和b的结论正确的是() A.a+b=5 B.ab=8 C.a2+b2=12 D.a-b=2 【变式2】(25-26八年级上，全国期中)如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成 的大正方形.若AE+BE=8,GH=2,则大正方形ABCD的面积为一 【变式3】(25-26八年级上·江苏盐城期中)第14届数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中心 图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图.如图2所示的弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形 拼成的大正方形 a b a 图1 图2 【知识探索】(1)请用图2验证勾股定理：c2=a2+b2: 【知识迁移】(2)①如果满足等式a2+b2=c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数.已知 n是正整数且m>n.请证明2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数； ②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数 ； 【知识应用】(3)鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，己知这四个直角三角 形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1 棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 果，不必说明理由). 题型07勾股定理的证明 【典例7】(25-26八年级上江苏徐州期中)勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙.下面四幅图中， 不能证明勾股定理的是() A. B b a b b D 61 b 【变式1】(24-25七年级下·福建泉州月考)将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式， 如图，你能写出的等式是 【变式2】(23-24七年级上湖北武汉·自主招生)“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习 中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： b b 6 a-b b a-b b a b b 图形A 图形B 图形C 图形D ①由图形 可知；勾股定理a2+b2=c2成立； 9/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②由图形 可知；完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2成立； ③由图形 可知；平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)成立； ④由图形 可知；公式(a+b)2-(b-a2=4ab成立. 【变式3】(25-26八年级上·广东深圳期中)阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积. 请用含有a,b,c的代数式表示以上面积： 大正方形的面积= 小正方形的面积+4个直角三角形的面积= 从而得出数学等式： ； 化简证得勾股定理a2+b2=c2. 【知识迁移】 (1)将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若a=4,b=6,此时空白部分的面积为 (2)将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，己知外围轮廓（实线）的周长为24， OC=3,求该飞镖状图案的面积. 【拓展延伸】 如图4，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=9,AD平分∠BAC,N是线段AC上一动点（不与点A, 点C重合)，M是线段AD上一动点（不与点A,点D重合），直接写出CM+MN的最小值 图1 图2 图3 图4 10/14