第4章 三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2024八年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形（高效培优单元测试·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列命题为假命题的是() A.对顶角相等 B.等角的补角相等 C.同位角相等，两直线平行 D.同旁内角互补 2.如图，由∠B=∠D,∠BAC=∠DCA,可得△ABC≌△CDA,使用的判定定理是() B C A.SSS B.SAS C.AAS D.HL 3.如图，已知aA0C≌aB0D,若∠A=28°，∠0=40°，则∠BD0的度数为() A.152° B.128° C.120° D.112° 4.如图，是折叠凳及其侧面示意图.若AC=BC=18cm,则折叠凳的宽AB可能是() A.53cm B.45cm C.36cm D.27cm 5.如图，在ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F,且∠BAC=110 ,则∠DAE的度数是() A.30° B.40° C.60 D.70° 6.如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,AD=4,E、F分别是线段AB、AD上 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的动点，则EF+FB的最小值为() A E B 4 A.5 B.5 C.6 D 7.如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=62°，点B、D、E在同一直线上，则∠BEC的度数是() A.25° B.62° C.87° D.930 8.在ABC中，下列结论错误的是() A.如果∠A-∠B=∠C,那么ABC是直角三角形 B.如果∠A:∠B:∠C=1:2:3,那么ABC是直角三角形 C.如果∠A=60°，AB=AC,那么ABC是等边三角形 D.如果∠B=∠C,那么ABC是等边三角形 9.如图，AD是ABC的中线，己知△ABD的周长为28cm,AB比AC长6cm,则△ACD的周长为() D A.34cm B.31cm C.22cm D.20cm 10.如图，在ABC中，∠ABC=45°，AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F,连接 CF,则下列结论： 4 B 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①BF=AC; ②LFCD=LDAC;· ③CF⊥AB; ④若点E是AC的中点，则△FDC周长等于AB的长. 其中正确的有() A.①② B.①③④ C.①③ D.②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，AB与CD交于点O.且C0=D0,只添加一个条件使得△ACO≌△BDO,则添加的条件 是 D 12.命题垂直于同一条直线的两条直线平行写成“如果..，那么..”的形式为：如果 那么 13.如图，在ABC中，AB=AC,点F在AC上，FD⊥BC于D,DE⊥AB于E.若∠AFD=155°，则 ∠EDF的度数等于一· 14.如图，在ABC中，∠B=35°，将ABC沿直线I翻折，点B落在点D的位置，则∠2-∠1的度数为 11 15.如图，若D,E分别是边BC,AC的中点，AD与BE相交于点F,若四边形CDFE的面积为3则 1 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABC的面积为 I6.如图，在等边ABC中，CD平分ABC的一个外角，CD的垂直平分线EF交CD于点E,交线段AC 于点F.连接DF,则LCFD的度数为°. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.如图，己知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,求证：BD平分 ∠ABC. M 18.如图，己知△ABC≌△DAE,点A、C、D在同一条直线上. E D C B (I)求证：AB∥DE; (2)若ED=3,CD=4,求线段AB的长。 19.如图，已知△ABC≌△DEB,点E在AB上，∠D=30°，∠EBD=65°，求∠ABC的度数. 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 2O.如图，在△ABC中，E是AB上一点，AC与DE相交于点F,F是AC的中点，AB∥CD. D E B (I)求证：△AEF≌△CDF; (2)若AB=10,CD=7,求BE的长 21.如图，AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,点P从点A出发，沿A→B→A方 向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，当点P到达点A时，P、 Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为s. 4 B DQ→ E (I)当点P在A→B运动时，BP=;(用含t的代数式表示) (2)求证：△ACB≌△ECD (3)当P,Q,C三点共线时，求t的值. 22.如图，在ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线 分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求∠FAN的度数： 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)求证：点P在线段BC的垂直平分线上. 23.如图，在ABC中，AB=AC,在AC边上取一点D,连接BD,使BD=BC.以AD为一边作等边 ADE,且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2∠BAC. D B (I)求证：∠BAC=∠BDC; (②)点F在AB上，连接DF,DF=BD,请判断BDF是否是等边三角形，并说明理由. 24.数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数 学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地。 B 图① 图② 图③ (I)发现问题：如图①，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=30°，连接BE,CF.直 接写出BE与CF的数量关系是： (2)类比探究：如图②，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,LBAC=∠EAF=I20°，连接BE,CF 请猜想BE与CF的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸：如图③，ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=LEAF=90°，连接BE、CF,且点 B、E、F在一条直线上，过点A作AM⊥BF,垂足为M.请直接写出BF、CF、AM之间的数量关系， 25.己知ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED=EC 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E B B D D 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E在线段AB上，点D在CB的延长线上时，求证：AE+AC=CD, (②)如图2，当点E在线段BA的延长线上，点D在线段BC上时，试判断线段AE、AC、CD的数量关系， 并说明理由， ③)如图3，在(2)的条件下，点D是BC中点，AC和ED交于点R,若AE2,求CF的长， 7/7 第四章 三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列命题为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角、补角、平行线的判定和性质等知识．根据对顶角的性质可判断A；根据等角的补角相等可判断B，根据平行线的性质和判定定理可判断C、D． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，原命题是真命题，不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，原命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．如图，由，，可得，使用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】在和中， ， ． 故选：C． 3．如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键，利用全等三角形的性质得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．如图，是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽AB可能是（   ） A．53cm B．45cm C．36cm D．27cm 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系， 根据，则，据此即可作答． 【详解】解：， ， A、B、C、D四个选项只有D选项符合上述范围， 故选：D． 5．如图，在中，、的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵在中，、的垂直平分线分别交于D、E两点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在中，，，于点，，、分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握“将军饮马”数学思想是解题的关键，根据“将军饮马”数学思想得到的最小值为的长，再利用三角形的面积不变性列式子，即可求得的长，从而得到答案． 【详解】解：过点作，交于，如图： ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值为， ∵的面积不变，且， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 7．如图，，，，点在同一直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键，由已知条件可证明，可知，，在等腰中可求得，利用邻补角的定义可求得，进而得到，由即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理及特殊三角形的判定．利用内角和为及比例关系、等腰三角形和等边三角形的判定逐一分析各选项，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，则：， ∴， ∴， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； B、，则：， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； C、，，则是等边三角形；结论正确，不符合题意； D、，则，故是等腰三角形，无法得到是等边三角形，结论错误，符合题意； 故选D． 9．如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 10．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论： ①； ②； ． ③； ④若点是的中点，则周长等于的长． 其中正确的有（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先证明，即可判断①，再证明，即可判断②，延长交于点M，证明即可判断③，利用垂直平分线的判定与性质即可判断④． 【详解】解：，分别为，边上的高， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ， ∵， ∴，故②错误； 延长交于点M， ， ， ， ∴，故③正确； 若点是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ， ∴即周长等于的长，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线的判定与性质等，解题关键是读懂题意，牢记相关概念并利用转化的思想． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，与交于点．且．只添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一） 12．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 13．如图，在中，，点在上，于，于．若，则的度数等于 ． 【答案】 【分析】本题考察了等边对等角，由题意得；根据，推出，求出，即可求解 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 14．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数为 ．    【答案】/70度 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角是解题的关键；由折叠的性质可知：，根据三角形外角的性质可知：，，然后问题可求解． 【详解】解：如图，    由折叠的性质可知：， 根据三角形外角的性质可知：，， ∴， ∴； 故答案为：． 15．如图，若，分别是边，的中点，与相交于点，若四边形的面积为，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查三角形中线与面积，连接，设的面积为，的面积为，根据题意得，由得，即，可得． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别是边，的中点， ∴设设的面积为，的面积为， ∴，, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 16．如图，在等边中，平分的一个外角，的垂直平分线交于点，交线段于点．连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分定义，由是等边三角形，得，则，根据角平分线定义得，又的垂直平分线，则，可得是等边三角形，再通过等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，已知，，的中垂线交于点，交于点．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，由等边对等角和三角形内角和定理得到，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵的中垂线交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 18．如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等进行推理计算． （1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 19．如图，已知，点在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等，是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，再根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）解：由（）得：， ∴， ∵，， ∴． 21．如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点同时从点出发，沿方向以的速度运动，当点到达点时，P、Q两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在运动时，_____；（用含的代数式表示） (2)求证： (3)当，，三点共线时，求t的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)8或 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是分类讨论思想， （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，则； （3）根据题意得，，，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，得，利用分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，设点P的运动时间为.根据题意得： ，则， 故答案为：； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，，则， 如图， ∵， ∴，， ∵P，Q，C三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 当时，， ∴， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 22．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，等边对等角，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据三角形内角和定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，求出，最后求出结果即可； （2）连接、、，根据线段垂直平分线的性质得出，从而得出，根据线段垂直平分线的判定得出点在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ； （2）证明：连接、、， 垂直平分垂直平分， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 23．如图，在中，，在边上取一点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求证：； (2)点在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)判断：是等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，等边三角形性质及判定，等腰三角形性质． （1）通过等边三角形性质可得，继而得到，再利用等腰三角形性质得，继而得，后得到本题答案； （2）利用（1）的结论，后得到，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：判断：是等边三角形，证明如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 24．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______； (2)类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可根据证明，则； （2）利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵和都是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 25．已知为等边三角形，为射线上一点，为直线上一点， (1)如图1，当点在线段上，点在的延长线上时，求证：． (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段上时，试判断线段、、的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点D是BC中点，AC和ED交于点F，若AE=，求CF的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）延长至点，使，连接，证明，得出，证出，则，则可得出结论； （3）延长至点，使，连接，求出，在上截取，连接，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：． 理由如下：延长至点，使，连接， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接， 由（2）得， ， ， 点是中点， ， ， ，， 在上截取，连接， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定由性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $