8.1平行四边形 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第8章 四边形 8.1 平行四边形 苏科版（2024）数学八年下册 1 1.理解平行四边形的概念,增强几何直观. 2.探索并证明平行四边形的性质定理及判定定理，并能运用它们进 行证明和计算，提升推理能力. 学习目标 2 1.平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对 边分别 平行的 四边形 叫作平 行四边 形. 左图中的四边形 是平行四边 形，记作“ ”，读作 “平行四边形 ”. 1.表示平行四边形时一 定要按顺（或逆）时针 依次书写各顶点字母； 2.“ ”后要紧跟表示四 个顶点的字母，不能单 独使用. 新知探究 知识点1 平行四边形的概念 3 2.平行四边形的基本元素#4 基本元素 图示 边 与，与互为对边；和 ， 和，和，和 互为邻边. 角 与，与 互为对角； 与，与， 与 ，与 互为邻角. 对角 线 线段和 . 新知探究 知识点1 平行四边形的概念 4 典例1 如图所示，在 中，， ，与相交于点 ， 则图中平行四边形共有_____个. 解析： 四边形是平行四边形， ， . 又，， ， , 图中的平行四边形有如下几类： 新知探究 知识点1 平行四边形的概念 5 典例1 如图所示，在 中，， ，与相交于点 ， 则图中平行四边形共有_____个. 9 平行四边形的组成 个数 名称 单独1个四边形 4 ， ， ， 由2个四边形组成 4 ， ， ， 由4个四边形组成 1 图中共有9个平行四边形. 新知探究 知识点1 平行四边形的概念 6 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相 等. 四边形 是 平行四边形， , . 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 7 性质 符号语言 图示 角 平行四边形的对角相 等. 四边形 是 平行四边形， , . 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 8 性质 符号语言 图示 对角 线 平行四边形的对角线互相平分. 四边形 是 平行四边形， , . 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 9 性质 符号语言 图示 对称 性 平行四边形是中心对 称图形，对角线的交 点是对称中心. 与的交点 是 的对称 中心. 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 10 典例2 如图，在 中，对角线， 相交于点 ，下列式子中不一定成立的是( ) D A. B. C. D. 解析：由“平行四边形的对边相等”可知 ；根据“平行四边 形的对角线互相平分”可知；由四边形 是平行四边形 可知，就可推出 ；根据四边形 是平行四边形不能推出 . 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 11 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行考虑,具体如下表 所示.#7 判定方法 符号语言 图示 边 （1）两组对边 分别平行的四边 形是平行四边 形.（定义法） , , 四边形 是平行 四边形. 新知探究 知识点3 平行四边形的判定方法 12 判定方法 符号语言 图示 边 （2）判定定理 1：两组对边分 别相等的四边形 是平行四边形. , , 四边形 是平行 四边形. 新知探究 知识点3 平行四边形的判定方法 13 判定方法 符号语言 图示 边 （3）判定定理 2：一组对边平 行且相等的四边 形是平行四边 形. , ， 四边形 是平行 四边形. 新知探究 知识点3 平行四边形的判定方法 14 判定方法 符号语言 图示 对 角 线 （4）判定定理 3：对角线互相平 分的四边形是平 行四边形. , , 四边形 是平行 四边形. _________________________ 新知探究 知识点3 平行四边形的判定方法 15 典例3 如图所示，四边形 的对角线相交 于点，若 ，请添加一个条件：_______________________ （写一个即可），使四边形 为平行四边形. （答案不唯一） 新知探究 知识点3 平行四边形的判定方法 16 课堂小结 17 D 1. 在▱ABCD中，∠A＋∠C＝80°，则∠D＝(　　) A．80° B．40° C．70° D．140° 随堂练习 18 2. D 如图，▱ABCD的周长是28，△ABC的周长是22，则AC的长为(　　) A．6 B．12 C．4 D．8 3. C 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是(　　) A．(3，7) B．(5，3) C．(7，3) D．(8，2) 4. C 如图，▱ABCD的对角线交点在原点．若A(－1，2)，则点C的坐标是(　　) A．(2，－1) B．(－2，1) C．(1，－2) D．(－1，－2) 5. A 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为(　　) A．10 B．5 C．3 D．2 6. 1 如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，则DE的长为______. 7. 21 如图，▱ABCD的对角线交于点O，AB＝10，AC＋ BD＝22，则△COD的周长为________. 8. 10 cm 如图，在周长为20 cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为________. 9. 1 如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，则DE的长为______. 10. 如图，▱ABCD中，E为BC上一点，F为AE中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G. (1)求证：△ADF≌△EGF； 证明：由(1)知△ADF≌△EGF，∴GE＝DA. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC， ∴GE＝CB. ∵GE＝GB＋BE，CB＝BE＋CE，∴BG＝CE. (2)求证：BG＝CE. 29 11. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB∥CD.∴∠EBO＝∠FDO. 又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)．∴OE＝OF. 如图①，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F. (1)求证：OE＝OF. 30 31 ②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长． 32 12. 数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB＋BD＝AC＋CD，那么AB＝AC吗？ 悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“AB＋BD”和“AC＋CD”，…. 33 解：如图①，延长DB至E，使BE＝AB， 延长DC至F，使CF＝AC，连接AE，AF. ∵AB＋BD＝AC＋CD，∴易得DE＝DF. 又∵AD是BC边上的高，∴△AEF是等腰三角形． ∴AE＝AF.∴∠E＝∠F. ∵AB＝BE，∴∠E＝∠BAE，∴∠ABC＝2∠E. 同理可得∠ACB＝2∠F. ∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC. (1)根据悦悦的思考，完成上述解答； 34 证明：如图②，在DA的延长线上取点M， 使AM＝AB，在BC的延长线上取点N， 使CN＝CD，连接BM，DN，则∠M＝∠ABM，∠N＝∠CDN. ∵AB＋AD＝CD＋CB，且AM＝AB，CN＝CD， ∴DM＝BN. (2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＋AD＝CD＋CB.求证：四边形ABCD是平行四边形． 35 13. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点(点E，F始终在▱ABCD的外面两侧)，连接AE，CE，CF，AF. 37 ②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求AE的长． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠DAC＝∠BCA. 又∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA. ∴∠DCA＝∠DAC.∴AD＝CD. 又∵OA＝OC，∴OE⊥AC. ∴OE是AC的垂直平分线． ∴AE＝CE. 又∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形． ∴AE＝AC＝2OA＝10 cm. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠GEF.∵点F为AE的中点，∴AF＝EF. 在△ADF和△EGF中，∴△ADF≌△EGF. 证明：连接AC交BD于点O，如图． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO. ∵AM∥CN，∴∠EAO＝∠FCO. 在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO(ASA)．∴OE＝OF. ∴BO－OE＝OD－OF.∴BE＝DF. (2)如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α. ①当∠α为多少度时，EF⊥AC? 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝. 又∵AD＝1，∴AD2＋OD2＝OA2，AD＝OD. ∴∠ADO＝90°，∴∠AOD＝45°.∵EF⊥AC，∴∠AOF＝90°. ∴∠α＝90°－45°＝45°.∴当∠α＝45°时，EF⊥AC. 解：易得EF垂直平分AC，∴AF＝FC. 由①知∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝CD， ∴△ADF的周长＝AD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FC＝ AD＋CD＝1＋. 又∵AD∥BC，∴四边形MBND是平行四边形． ∴MB＝ND，∠M＝∠N.∴∠ABM＝∠CDN. 在△ABM和△CDN中， ∴△ABM≌△CDN(ASA)．∴AM＝CN. 又∵DM＝BN，∴DM－AM＝BN－CN，即AD＝BC. 又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． (1)若DE＝OD，BF＝OB. ①求证：四边形AFCE为平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵DE＝OD，BF＝OB，∴DE＝BF.∴OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形． (2)若DE＝OD，BF＝OB，则四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由． 解：若DE＝OD，BF＝OB，则四边形AFCE是平行四边形．理由如下： ∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB，∴DE＝BF. ∴OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE. 又∵OA＝OC，∴四边形AFCE为平行四边形． (3)若DE＝OD，BF＝OB，则四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并证明. 解：若DE＝OD，BF＝OB，则四边形AFCE是平行四边形．证明如下： ∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB.∴DE＝BF. ∴OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE. 又∵OA＝OC，∴四边形AFCE为平行四边形． $