期末复习09圆期末冲刺必备讲义(2)(知识梳理+题型精析+备考强化通关)2025-2026学年人教版九年级数学上册

期末复习09 圆期末冲刺必备讲义(2) 期末必备 知识点梳理 1.核心基础:点与圆的位置关系 2.关键定理:确定圆的条件 3.重要概念:三角形的外接圆与外心 4.思维方法:反证法 5.易错点与注意事项 常考题型 精讲精炼 1.点与圆的位置关系判定方法 2.结合点与圆的位置关系求解圆的半径 3.点与圆上点的距离最值问题分析 4.三角形外接圆的概念辨析 5.三角形外心坐标的计算方法 6.特殊三角形的外接圆半径求法 7.三角形外接圆圆心的位置判断技巧 8.确定一个圆所需条件的判定 9.圆的圆心位置确定方法 10.反证法证明中的假设步骤与要点 期末备考 强化通关 单选题(5) 填空题(6) 解答题(5) 【知识点01.核心基础:点与圆的位置关系】 一、核心定义与数量关系 设⊙O 的半径为r，点P到圆心O的距离为OP=d，则点P与⊙O 的位置关系可通过d与r的大小关系精准判定： 位置关系 数量关系 几何特征 点P在圆内 d<r 点完全在圆的内部，无公共点 点P在圆上 d=r 点恰好落在圆周上，是公共点 点P在圆外 d>r 点完全在圆的外部，无公共点 双向等价性：位置关系与数量关系一一对应，即 “点的位置⇔d与r的大小”，可互相推导。 二、关键推论与应用 1.圆上点的性质：所有到圆心距离等于半径的点都在同一个圆上（圆的集合定义）。 2.最值问题： *若点A在圆外，圆心为O，半径为r，OA=d，则点A到圆上点的最大距离为d+r（延长AO交圆于点B，AB=d+r），最小距离为d−r（连接AO交圆于点C，AC=d−r）。 *若点A在圆内，OA=d，则点A到圆上点的最大距离为r+d，最小距离为r−d。 3. 判定步骤： ① 确定圆的半径r； ② 计算点到圆心的距离d； ③ 比较d与r的大小，得出位置关系。 【知识点02.关键定理:确定圆的条件】 1.过一点作圆：平面内，经过一个点的圆有无数个，圆心可在平面内除该点外的任意位置，半径为圆心到该点的距离。 2.过两点作圆：经过两点 A、B 的圆有无数个，这些圆的圆心都在线段 AB 的垂直平分线上，半径为圆心到 A（或 B）的距离。 3.过三点作圆 *不在同一直线上的三个点确定一个圆（“确定” 即有且仅有一个）。 *作图方法：分别作任意两点连线的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心，圆心到任意一点的距离为半径。 *同一直线上的三个点不能作圆，因为两条垂直平分线平行，无交点，无法确定圆心。 【知识点03.重要概念:三角形的外接圆与外心】 1.外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。 2.外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 3.外心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径。 4.位置规律 *锐角三角形的外心在三角形内部。 *直角三角形的外心在斜边的中点上。 *钝角三角形的外心在三角形外部。 【知识点04.思维方法:反证法】 1.定义：假设命题的结论不成立，通过推理得出矛盾（与已知条件、定理、公理等矛盾），进而断定假设错误，原命题成立的证明方法。 2.一般步骤 (1)反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）。 (2)归谬：从反设出发，结合已知条件进行正确推理，导出矛盾。 (3)结论：由矛盾判定反设错误，从而肯定原命题的结论正确。 3.典型应用：证明 “经过同一直线上的三点不能作圆”“两直线平行，同位角相等” 等命题。 【知识点05.易错点与注意事项】 1.混淆 “内接” 与 “外接”：三角形内接于圆，圆外接于三角形，对应关系不能颠倒。 2.外心与内心区别：外心是三边垂直平分线交点，到顶点距离相等；内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，切勿混淆。 3.反证法中 “反设” 要全面，如证明 “一个三角形中不能有两个直角”，反设应为 “一个三角形中有两个直角”，推理后与三角形内角和为 180° 矛盾。 【题型1.点与圆的位置关系判断方法】 【典例】在等边中，以A为圆心，长为半径画圆，则点C在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能 【跟踪训练1】设的半径为2，点P到圆心O的距离，且m使得关于x的方程没有实数根，则点P与的位置关系为 ． 【跟踪训练2】如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【题型2.结合点圆位置关系求解圆的半径】 【典例】圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是 ． 【跟踪训练1】已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【跟踪训练2】已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是 ． 【题型3.点到圆上的距离最值问题分析】 【典例】如图，在半径为4的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 【跟踪训练2】已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【题型4.三角形外接圆的概念辨析】 【典例】对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【跟踪训练1】已知点O是的外心，，则 ． 【跟踪训练2】下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径所对的圆周角是直角；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5.三角形外心坐标的计算方法】 【典例】如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 【题型6.特殊三角形的外接圆半径求法】 【典例】如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【跟踪训练1】将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【跟踪训练2】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【题型7.三角形外接圆圆心的位置判断技巧】 【典例】如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为 ． 【跟踪训练1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪训练2】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【题型8.确定一个圆所需条件的判定.】 【典例】下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【跟踪训练1】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【跟踪训练2】如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型9.圆的圆心位置确定方法】 【典例】有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【跟踪训练2】将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【题型10.反证法证明中的假设步骤与要点】 【典例】用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 【跟踪训练2】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 一.单选题 1．已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 2．如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④，正确的有几项（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 4．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5.如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 二.填空题. 6．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 7．等腰三角形中，，，则的外接圆的半径为 ． 8．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ． 9．如图是由三张大小相同的正方形、、纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方形纸片的边长是，正方形向左平移，整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是 10．在平面直角坐标系中，已知点．若在x轴正半轴上有一点C．使，则点C的横坐标是 ． 11．如图，面积为4的平行四边形中，，过点B作边的垂线，垂足为点E，点E正好是的中点，点M、点N分别是、上的动点，的延长线交线段于点P，若点P是唯一使得的点，则线段长x的取值范围是 ． 三.解答题 12．如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为__________； (2)的面积是__________； (3)的度数为__________； (4)点P是x轴上的一点，且的值最小，则点P坐标为__________． 13．在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． (1)对点的“最近覆盖距离”为________________； (2)点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________； (3)若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； (4)，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围． 14．如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线和下方拱线的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为，高为．右侧的四根立柱在拱线上的端点，，，的相关数据如下表所示． 点 点 点 点 距的水平距离（） 4 5 6 7 距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0 所查阅的资料显示：拱线为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分． 根据以上信息，解答下列问题： (1)选取拱线上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆； (2)建立适当的平面直角坐标系，选取拱线上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）． 15．如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线上是否存在一点，使得的周长最短．若存在，求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由； (3)若点在以点为圆心，2为半径的上，与轴交于点两点（点在点的左侧），连接，以为边在的下方作等腰，且，连接，求长度的取值范围． 16．在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：点关于直线对称后得到点，再将点关于直线对称后得点．则称点是点关于点的“双称点”． (1)点关于原点的双称点是___________． (2)半径为均为圆上任意一点，是直线上一点，若点是点关于点的双称点，求点横坐标的取值范围． (3)点半径为均为上任意一点，直线与轴、轴交于点、．若上所有点都是点关于点的双称点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习09 圆期末冲刺必备讲义(2) 期末必备 知识点梳理 1.核心基础:点与圆的位置关系 2.关键定理:确定圆的条件 3.重要概念:三角形的外接圆与外心 4.思维方法:反证法 5.易错点与注意事项 常考题型 精讲精炼 1.点与圆的位置关系判定方法 2.结合点与圆的位置关系求解圆的半径 3.点与圆上点的距离最值问题分析 4.三角形外接圆的概念辨析 5.三角形外心坐标的计算方法 6.特殊三角形的外接圆半径求法 7.三角形外接圆圆心的位置判断技巧 8.确定一个圆所需条件的判定 9.圆的圆心位置确定方法 10.反证法证明中的假设步骤与要点 期末备考 强化通关 单选题(5) 填空题(6) 解答题(5) 【知识点01.核心基础:点与圆的位置关系】 一、核心定义与数量关系 设⊙O 的半径为r，点P到圆心O的距离为OP=d，则点P与⊙O 的位置关系可通过d与r的大小关系精准判定： 位置关系 数量关系 几何特征 点P在圆内 d<r 点完全在圆的内部，无公共点 点P在圆上 d=r 点恰好落在圆周上，是公共点 点P在圆外 d>r 点完全在圆的外部，无公共点 双向等价性：位置关系与数量关系一一对应，即 “点的位置⇔d与r的大小”，可互相推导。 二、关键推论与应用 1.圆上点的性质：所有到圆心距离等于半径的点都在同一个圆上（圆的集合定义）。 2.最值问题： *若点A在圆外，圆心为O，半径为r，OA=d，则点A到圆上点的最大距离为d+r（延长AO交圆于点B，AB=d+r），最小距离为d−r（连接AO交圆于点C，AC=d−r）。 *若点A在圆内，OA=d，则点A到圆上点的最大距离为r+d，最小距离为r−d。 3. 判定步骤： ① 确定圆的半径r； ② 计算点到圆心的距离d； ③ 比较d与r的大小，得出位置关系。 【知识点02.关键定理:确定圆的条件】 1.过一点作圆：平面内，经过一个点的圆有无数个，圆心可在平面内除该点外的任意位置，半径为圆心到该点的距离。 2.过两点作圆：经过两点 A、B 的圆有无数个，这些圆的圆心都在线段 AB 的垂直平分线上，半径为圆心到 A（或 B）的距离。 3.过三点作圆 *不在同一直线上的三个点确定一个圆（“确定” 即有且仅有一个）。 *作图方法：分别作任意两点连线的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心，圆心到任意一点的距离为半径。 *同一直线上的三个点不能作圆，因为两条垂直平分线平行，无交点，无法确定圆心。 【知识点03.重要概念:三角形的外接圆与外心】 1.外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。 2.外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 3.外心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径。 4.位置规律 *锐角三角形的外心在三角形内部。 *直角三角形的外心在斜边的中点上。 *钝角三角形的外心在三角形外部。 【知识点04.思维方法:反证法】 1.定义：假设命题的结论不成立，通过推理得出矛盾（与已知条件、定理、公理等矛盾），进而断定假设错误，原命题成立的证明方法。 2.一般步骤 (1)反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）。 (2)归谬：从反设出发，结合已知条件进行正确推理，导出矛盾。 (3)结论：由矛盾判定反设错误，从而肯定原命题的结论正确。 3.典型应用：证明 “经过同一直线上的三点不能作圆”“两直线平行，同位角相等” 等命题。 【知识点05.易错点与注意事项】 1.混淆 “内接” 与 “外接”：三角形内接于圆，圆外接于三角形，对应关系不能颠倒。 2.外心与内心区别：外心是三边垂直平分线交点，到顶点距离相等；内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，切勿混淆。 3.反证法中 “反设” 要全面，如证明 “一个三角形中不能有两个直角”，反设应为 “一个三角形中有两个直角”，推理后与三角形内角和为 180° 矛盾。 【题型1.点与圆的位置关系判断方法】 【典例】在等边中，以A为圆心，长为半径画圆，则点C在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，点与圆的位置关系，由于等边三角形的三边相等，得到．以A为圆心、为半径画圆，点C到圆心的距离等于半径，因此点C在圆上，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵ 以A为圆心、长为半径画圆， ∴ 点C到圆心A的距离（半径）， ∴ 点C在圆上； 故选B． 【跟踪训练1】设的半径为2，点P到圆心O的距离，且m使得关于x的方程没有实数根，则点P与的位置关系为 ． 【答案】点P在圆外 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及点与圆的位置关系．先根据一元二次方程无实数根的条件，列不等式求出的取值范围；再确定点P与的位置关系． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴ ， 解得， ∵的半径为2， ∴点P到圆心O的距离， ∴点P与的位置关系为点P在圆外， 故答案为：点P在圆外． 【跟踪训练2】如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，判断点与圆的位置关系．利用垂径定理求出半径的长，比较的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点在内； 故选：A． 【题型2.结合点圆位置关系求解圆的半径】 【典例】圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径， 【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， ∴， 故答案为：2． 【跟踪训练1】已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 【跟踪训练2】已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是 ． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 【题型3.点到圆上的距离最值问题分析】 【典例】如图，在半径为4的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；连接，，，取的中点，连接，，结合90度的圆周角所对的弦是直径，故点在以为直径的圆上运动，即得出点在以为半径的上运动，当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，，，取的中点，连接，， 是的中点， ， ∵点是的中点 ， 在整个运动过程中， 结合90度的圆周角所对的弦是直径，故点在以为直径的圆上运动， 即点在以为半径的上运动， 当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为， ，， ∵ 即 ， ， 的最大值为， 故选：A 【跟踪训练1】如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，5为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为. 故答案为：． 【跟踪训练2】已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 【题型4.三角形外接圆的概念辨析】 【典例】对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 【跟踪训练1】已知点O是的外心，，则 ． 【答案】65°或115° 【分析】本题考查圆周角定理，画出图形，根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴根据圆周角定理可知或， 故答案为：65°或115°． 【跟踪训练2】下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径所对的圆周角是直角；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了弦的定义，等弧定义，圆周角定理推论，三角形外心定义等知识，根据相关知识逐项判定即可求解． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； ②长度相等的两条弧是等弧，错误，少了前提条件“在同圆或等圆”，不合题意； ③直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意； ④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点，错误，三角形外心是三边垂直平分线的交点，不合题意． 故选：B 【题型5.三角形外心坐标的计算方法】 【典例】如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 【跟踪训练2】如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键． 找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点， 由图可得点坐标为， 故答案为：； 【题型6.特殊三角形的外接圆半径求法】 【典例】如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理推出被垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 则， 则， 解得：． 故选：B ． 【跟踪训练1】将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，取的中点O，连接、、，根据勾股定理分别求出、、，得到答案． 【详解】解：取的中点O，连接、、， 由题意得：， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为， 故答案为：． 【跟踪训练2】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【题型7.三角形外接圆圆心的位置判断技巧】 【典例】如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 【跟踪训练1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示： 的外心是点， 故选：A． 【跟踪训练2】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 【题型8.确定一个圆所需条件的判定.】 【典例】下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 【跟踪训练1】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【跟踪训练2】如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点、、、四点共圆是解本题的关键． 先判断出点、、、四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选：A． 【题型9.圆的圆心位置确定方法】 【典例】有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是 【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 再作的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可. 【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键. 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 【跟踪训练2】将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 【题型10.反证法证明中的假设步骤与要点】 【典例】用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：∵ 结论是， ∴ 反证法第一步应假设结论不成立，即， 故选：D． 【跟踪训练1】用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法得到第一步假设即可得到答案． 【详解】解：“如果，那么”的第一步应假设， 故答案为：． 【跟踪训练2】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 一.单选题 1．已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 【答案】D 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】解：A、16是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； B、15不是偶数，也不是8的倍数，既不满足命题的题设，也不满足结论，故不能作为反例，不符合题意； C、24是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； D、42是偶数，但42不是8的倍数，满足命题的题设，但不满足命题的结论，故能作为反例，符合题意． 故选：D． 2．如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④，正确的有几项（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①利用正方形的性质证明即可； ②利用的性质得出相等的角，然后利用等量代换即可求解； ③延长和，相交于点，证明，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； ④利用反证法进行证明即可． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴②正确，符合题意； ③如图所示，延长和，相交于点， ∵E是的中点， ∴， 又∵,， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴③正确，符合题意； ④假设， 由③得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 显然，矛盾， ∴假设错误， ∴④不符合题意； 综上，正确选项为①②③， 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线定理，反证法，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是能够综合运用上述知识． 3．我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 【答案】D 【分析】本题考查反证法，点与圆的位置关系．点D不在圆上时，其位置只能在圆内或圆外，因为圆内包括圆心（距离小于半径），圆外距离大于半径，而圆上距离等于半径． 【详解】解：∵ 假设点D不在上， ∴ 点D到圆心O的距离不等于半径， 即点D在内（距离小于半径，包括与圆心重合）或点D在外（距离大于半径）． ∴ 点D与的位置关系是点D在内或外． 故选：D． 4．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线的三点确定一个圆是解题的关键．直线上任意两个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：D． 5.如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可． 【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线． 故对应图所示． ②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示． ③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示． 故选：． 二.填空题. 6．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 7．等腰三角形中，，，则的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理、等腰三角形的性质、方程的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想．设O为外接圆的圆心，连接，且延长交于D，连接、，求出，，根据勾股定理求出，设等腰外接圆的半径，在 中，由勾股定理得出，代入求出即可． 【详解】解：设O为外接圆的圆心，连接，且延长交于D，连接、， ∵，O为外接圆的圆心， ∴，（三线合一）， （）， 设等腰外接圆的半径为R， 则， 在中，由勾股定理得：（）， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 即等腰 外接圆的半径为． 故答案为：． 8．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 9．如图是由三张大小相同的正方形、、纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方形纸片的边长是，正方形向左平移，整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是 【答案】 【分析】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，勾股定理等知识，根据垂径定理的推论可判定正方形、、组合图的最小覆盖圆的圆心在直线上，然后根据勾股定理分别求出平移前和平移后，最小覆盖圆的圆心到F的距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴正方形、、组合图的最小覆盖圆的圆心在直线上， 如图，设与的交点为P，此时最小覆盖圆的圆心为，连接，， 根据题意，得，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即； 向左移动后，如图，此时最小覆盖圆的圆心为，连接，， ∵过点A，G，K， ∴点在的垂直平分线上， ∴点在的延长线上． 根据题意，得，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴最小面积圆的圆心经过路程是， 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，已知点．若在x轴正半轴上有一点C．使，则点C的横坐标是 ． 【答案】 【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x轴正半轴为C，连接CA、CB，此时满足条件．过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，求出OK、KC，即可求解． 【详解】如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x轴正半轴为C，连接CA、CB，此时满足条件．    过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△DCK中，， ∴， ∴点C的横坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外接圆与外心，坐标与图形的性质，涉及到勾股定理、等边三角形的性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是作出辅助线构造图形解决问题，综合性较强． 11．如图，面积为4的平行四边形中，，过点B作边的垂线，垂足为点E，点E正好是的中点，点M、点N分别是、上的动点，的延长线交线段于点P，若点P是唯一使得的点，则线段长x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，三角形外接圆的相关性质等知识，由平行四边形的面积得出，点P是唯一使得的点，则可看成弦所对的圆周角，由圆周角定理得出，为等腰直角三角形，，然后分三种情况画出图形求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的面积为4，，， ∴， ∵点P是唯一使得的点， 则可看成弦所对的圆周角， 设外接圆的圆心为O， 则，为等腰直角三角形， ∴ ∵与之间的距离为1， (1)当经过点D时，即点P在点D处时， ∵与之间的距离为1， ∴，半径，， ∴， 解得， 显然与线段只有一个交点，符合题意． （2）要让与线段有且只有一个点，D点应该在外接圆外，E点应该在外接圆上， 于是①， ②， 解不等式①②可得出， （3）当圆与相切时，如下图： ， 解得， 综上所述：线段长x的取值范围是或， 故答案为：或 三.解答题 12．如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为__________； (2)的面积是__________； (3)的度数为__________； (4)点P是x轴上的一点，且的值最小，则点P坐标为__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，轴对称的性质等知识，掌握确定三角形的外接圆的圆心的方法是解题的关键． （1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，它们的交点即为M点； （2）利用勾股定理可求得半径的长，再利用圆的面积公式求解即可； （3）根据勾股定理的逆定理可求得； （4）作出点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所作，根据图形即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，分别作，的垂直平分线交于点M，则点M为所求圆心， 由图得，点M的坐标为； ；     故答案为：； （2）解：如图，连接， ∴的半径为：， ∴的面积为：； 故答案为：； （3）解：连接，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：如图，点P坐标为． 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． (1)对点的“最近覆盖距离”为________________； (2)点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________； (3)若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； (4)，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）求出原点到点的距离，再将距离减1即为对该点的“最近覆盖距离”； （2）设点P的坐标为，根据对点P的“最近覆盖距离”为2可列方程求解； （3）根据题意可得，一次函数与x轴的交点为，对和的临界状态进行分类讨论； （4）根据题意可得倾斜角度为，长度为，，对m的取值范围进行分类讨论，列不等式求出d的取值范围． 【详解】（1）解：原点到点的距离为，的半径为1， “最近覆盖距离”为， 答：． （2）解：设点， 原点到点的距离为，对点P的“最近覆盖距离”为2， ， ， 解得，，分别代入， 可得点的坐标为或， 答：或． （3）解：如下图，一次函数分别交x、y轴于E、D点，过O做于点C，考虑临界状态，一次函数上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为， 时， 中，时，，时，， ， ，， 当时， ，， ， ， ， 设，， 由勾股定理得， 解得，（舍去）， ，， 此时，， 经过分析可知，一次函数图像比临界状态更靠近轴时，则存在点C，即． 同理得，当时，， 答：的取值范围为或． （4）解：根据题意可得，且倾斜角度为， 可在圆上找到两条与之平行且相等的弦，， 当在上或在上，有， 当时，， 即； 当时，， 即； 综上，． 答：的取值范围为． 【点睛】本题主要考查“最近覆盖距离”问题，掌握圆的基本知识，两点间距离公式，一次函数的图像性质，三角形的相似与判定．找到临界状态并分类讨论是解题关键． 14．如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线和下方拱线的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为，高为．右侧的四根立柱在拱线上的端点，，，的相关数据如下表所示． 点 点 点 点 距的水平距离（） 4 5 6 7 距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0 所查阅的资料显示：拱线为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分． 根据以上信息，解答下列问题： (1)选取拱线上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆； (2)建立适当的平面直角坐标系，选取拱线上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）． 【答案】(1)尺规作图见解析 (2)，其他已知点都在抛物线上，验证过程见解析 【分析】本题考查圆与二次函数综合，涉及圆的性质、尺规作图-中垂线、待定系数法确定函数关系式、验证点是否在函数图像上等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图及待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． （1）选取拱线上的任意三点，连线构成圆的弦，作两条弦的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作圆即可得到答案； （2）以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示，利用交点式，待定系数法确定函数关系式即可得到拱线所在的抛物线对应的函数解析式为，再将，，，的横坐标代入表达式验证纵坐标是否与值相等即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示： 拱线的跨径长为，高为， 、、， 设拱线的表达式为， 将代入表达式得，解得， 拱线所在的抛物线对应的函数解析式为， 点 点 点 点 距的水平距离（） 4 5 6 7 距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上． 15．如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线上是否存在一点，使得的周长最短．若存在，求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由； (3)若点在以点为圆心，2为半径的上，与轴交于点两点（点在点的左侧），连接，以为边在的下方作等腰，且，连接，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，周长的最小值 (3) 【分析】本题考查了二次函数 （1）利用待定系数法即可求解； （2）将点A关于对称轴对称到点B，利用三角形三边关系，数形结合即可求出的周长的最小值及此时N的位置； （3）将点绕点顺时针旋转到，连接，证明，得到，从而判断出在以为圆心，2为半径的圆上运动，再根据点与圆的位置关系即可求出长度的取值范围． 本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、将军饮马问题、动点轨迹为圆的问题，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由得， 设直线的表达式为， 代入，得，解得， ∴直线的表达式为：， 点A关于抛物线对称轴的对称点为点，连接， 的周长，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当与对称轴的交点为N时，的周长最短，最小值为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即点； ∴当N点坐标为时，的周长最短，为； （3）解：将点绕点顺时针旋转到，连接， ， 又， ， ， ∴在以为圆心，2为半径的圆上运动， ， ∴的最大值为，最小值为， ． 16．在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：点关于直线对称后得到点，再将点关于直线对称后得点．则称点是点关于点的“双称点”． (1)点关于原点的双称点是___________． (2)半径为均为圆上任意一点，是直线上一点，若点是点关于点的双称点，求点横坐标的取值范围． (3)点半径为均为上任意一点，直线与轴、轴交于点、．若上所有点都是点关于点的双称点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)当上所有点都是点关于点的双称点是，的范围为：或. 【分析】（1）如图，根据新定义画图可得：点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为. （2）如图，由半径为均为圆上任意一点，点是点关于点的双称点，可得的轨迹为以为圆心，半径为，与以为圆心，半径为的圆环内（包含两圆边界），再进一步解答即可. （3）由（2）得：点半径为均为上任意一点，点关于点的双称点的轨迹是圆环，轨迹为以为圆心，半径为，与以为圆心，半径为的圆环内（包含两圆边界），再分四种情况利用数形结合的方法解题即可. 【详解】（1）解：如图，点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， ∴点关于原点的双称点是：. （2）解：如图，半径为均为圆上任意一点，点是点关于点的双称点， ∴的轨迹为以为圆心，半径为，与以为圆心，半径为的圆环内（包含两圆边界）， ∵是直线上一点，过作轴的垂线，垂足为， ∴，，， ∴， 过作轴于点，过轴于点，过作轴于点， 同理可得：，， ∴点横坐标的取值范围为：或. （3）解：由（2）得：点半径为均为上任意一点，点关于点的双称点的轨迹是圆环，轨迹为以为圆心，半径为，与以为圆心，半径为的圆环内（包含两圆边界）， ∵， ∴，， ∵上所有点都是点关于点的双称点， 如图，当在圆环的外圆上时， 此时， 如图，当在内圆上时， 此时， 如图，当在圆环的内圆上时， 此时， 如图，当在外圆上时，大与轴最左边的交点为， 同理可得：，， ∴， ∴， 综上：当上所有点都是点关于点的双称点时，的范围为：或. 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，本题的难度大，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $