期末复习12概率初步期末复习冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考强化通关)2025-2026学年人教版九年级年级数学上册

该初中数学概率初步期末复习讲义以“事件分类→概率定义与性质→概率计算→频率估计概率→实际应用”为核心逻辑链构建知识体系，通过表格对比频率与概率的区别联系，思维导图梳理列举法和几何概率的方法脉络，清晰呈现重难点分布及内在关联。 讲义亮点在于分层题型设计，如“事件类型划分”“游戏公平性判断”等12类常考题型配套典例与跟踪训练，结合高频易错点剖析，培养学生推理意识与数据意识。基础生可掌握方法，优秀生提升综合应用能力，为教师精准教学提供有力支持。

期末复习12概率初步期末复习冲刺必备讲义 1. 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能准确区分不同类型的事件，并掌握概率的定义与取值范围； 2. 熟练掌握古典概型的概率计算公式，能运用直接列举法、列表法、树状图法解决单因素、双因素及多因素的概率计算问题，做到结果不重不漏； 3. 理解频率与概率的区别与联系，能利用大量重复试验的频率估计概率，掌握统计概型的应用方法； 4. 掌握几何概率的计算思路，能根据几何区域的度量（长度、面积等）求解概率问题； 5. 能识别概率问题中的常见易错点，规避解题错误，具备解决概率与实际生活、统计图表等综合问题的能力，提升逻辑推理与数据分析素养。 核心逻辑：事件分类→概率定义与性质→概率计算→频率估计概率→实际应用。 重点：列举法求概率、频率与概率的关系； 难点：根据试验情境选对概率计算方法，解决实际综合问题。 期末必备 知识点梳理 1.随机事件与概率基础 2.用列举法求概率 3.利用频率估计概率 4.几何概率 5.高频易错点剖析 常考题型 精讲精炼 1.事件的类型划分 2.事件发生可能性的大小判断 3.概率的核心意义解读 4.多事件的概率大小关系 5.根据概率公式计算概率 6.已知概率的相关问题梳理 7.几何模型的概率求解 8.列举法求解概率 9.列表法/树状图法求概率 10.游戏公平性的判断与分析 11.由频率估计概率的方法 12.频率估计概率的综合应用 期末备考 强化通关 (15题) 【知识点01.随机事件与概率基础】 1. 事件的分类 根据事件发生的确定性，分为三类： *必然事件：一定条件下必发生，可能性为1（例：标准大气压下100℃水沸腾、红球袋摸红球）。 *不可能事件：一定条件下必不发生，可能性为0（例：红球袋摸白球、骰子掷出7）。 *随机事件：一定条件下可能发生也可能不发生，可能性介于0和1之间（例：红白球袋摸红球、骰子掷出偶数）。 注意：事件类型依赖条件，条件改变可能变化（例：非标准大气压下100℃水沸腾不是必然事件）。 2. 概率的定义与性质 （1）定义：随机事件A发生可能性的数值，记为P(A)。 （2）古典概型前提：① 结果有限；② 每个结果等可能。 （3）概率公式：P(A) = （n为总等可能结果数，m为事件A包含的结果数）。 （4）取值范围：必然事件P(A)=1；不可能事件P(A)=0；随机事件0＜P(A)＜1。 *必然事件：P(A) = 1； *不可能事件：P(A) = 0； *随机事件：0 ＜ P(A) ＜ 1。 （5）核心关系：可能性越大概率越近1，越小越近0；P(A) + P(非A) = 1（对立事件概率和为1）。 【知识点02.用列举法求概率】 列举法核心：不重不漏列所有等可能结果，按试验因素个数分三种方法： 1. 直接列举法（枚举法） （1）适用：单因素、结果少。 （2）步骤：① 列所有等可能结果；② 找事件A的结果数m；③ 代入公式计算。 2. 列表法 （1）适用：双因素（如两枚骰子、两次摸球）、结果多。 （2）步骤：① 定两因素分横行竖列；② 列所有组合；③ 统计n和m；④ 算概率。 注意：区分“有放回”（样本空间不变）和“无放回”（样本空间减少）。 3. 树状图法 （1）适用：三因素及以上，或双因素需明确分步逻辑。 （2）步骤：① 按顺序画树状图；② 每条路径为一个结果；③ 统计n和m；④ 算概率。 关键：直观体现分步计数，确保结果不重不漏。 【知识点03.利用频率估计概率】 1. 适用场景 适用：结果无限或不均等，无法用古典概型，需大量重复试验估计。 2. 核心原理 核心原理：大量重复试验中，事件A的频率（，m为发生次数，n为总次数）稳定在常数p附近，则P(A)≈p。 3. 频率与概率的区别与联系 对比维度 频率 概率 本质 试验的统计值（实际结果） 理论值（客观规律） 与试验的关系 随试验次数、试验者变化 与试验次数、试验者无关 联系 试验次数越多，频率越接近概率；频率是估计概率的基础 注意：试验次数需足够多、条件相同；大概率事件可能不发生，小概率事件可能发生。 【知识点04.几何概率】 定义：向几何区域随机投点，事件A概率与区域度量（长度、面积、体积）成正比。 公式：P(A) = 事件A对应区域度量 / 总试验区域度量 常见类型：① 线段投点（长度）；② 平面投点（面积）；③ 立体投点（体积）。 【知识点05.高频易错点剖析】 易错点1：混淆“有放回”与“无放回”试验 （1）错误：未区分有放回/无放回，导致样本空间判断错（例：5张卡抽2张，无放回总结果10/20种，有放回25种）。 （2）规避：明确试验规则，有放回概率独立，无放回考虑前次影响，用列表/树状图梳理。 易错点2：几何概率中混淆度量类型 （1）错误：平面投点误用长度计算，或未保证点均匀分布。 （2）规避：确定度量维度（平面用面积、线段用长度），验证点均匀分布。 易错点3：混淆频率与概率 （1）错误：少量试验频率当概率（例：抛10次硬币6次正面，误认概率0.6）。 （2）规避：牢记概率是频率稳定值，仅大量试验时频率趋近概率。 易错点4：列举法中重复或遗漏结果 （1）错误：列举时重复/遗漏，混淆有序与无序（例：误认骰子(1,2)和(2,1)为同一结果）。 （2）规避：按固定顺序列举，多因素优先用列表/树状图。 易错点5：综合问题中知识衔接断层 （1）错误：综合题误读数据、混淆逻辑（例：把样本容量当总结果数）。 （2）规避：分步拆解，先明确试验、总结果数、事件条件，再结合其他知识筛选。 【题型1.事件的类型划分】 【典例】下列事件为必然事件的是（    ） A．买一张电影票，座位号是奇数 B．打开电视，正在播放“新闻联播” C．抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D．在平面内画一个任意三角形，其内角和为 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：选项A：座位号可能是奇数或偶数，是随机事件，不符合题意； 选项B：电视可能播放其他节目，是随机事件，不符合题意； 选项C：抛硬币正面朝上或反面朝上都是随机事件，不符合题意； 选项D：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【跟踪训练1】给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 （填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 【跟踪训练2】下列事件属于必然事件的是（   ） A．明天太阳从西边升起 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，选项A、B、C均不一定发生，选项D是几何定理，一定成立． 【详解】解：A、太阳从西边升起是不可能事件，故该选项错误； B、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，到三边的距离不一定相等，故该选项错误； C、抛掷1枚硬币，硬币落地时可能正面朝上，也可能反面朝上，故该选项错误； D、直径所对的圆周角是直角（圆周角定理），该事件一定发生，属于必然事件，故该选项正确， 故选：D． 【题型2.事件发生可能性大小的判断】 【典例】盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【答案】 小 大 【分析】本题考查事件发生的可能性，掌握相关知识是解决问题的关键．因为红球数量最多，黑球数量最少，所以摸出的是红球的可能性大，摸出的是黑球的可能性小． 【详解】解：∵ ∴摸出的是黑球的可能性小，摸出的是红球的可能性大． 故答案为：小，大． 【跟踪训练1】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查可能性，可能性的大小是指所求情况数占总情况数的几分之几，结合题意逐项判断即可． 【详解】解：7张卡片中，数字1有4张，数字2有1张，数字3有2张， 因此摸出卡片1、2、3的可能性分别为：，，， 随意摸出一张，不一定能摸出，故 A选项描述错误； 随意摸出一张，可能摸出，故 B选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最小，故 C选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最大，故D选项描述正确； 故选：D． 【跟踪训练2】盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 【题型3.概率的核心意义解读】 【典例】下列说法正确的是（  ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数一定是次 C．年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军 D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张一定会中奖 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，正确掌握概率的实际意义是解题关键．直接利用概率的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是，说法正确，故A符合题意； B、连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，原说法错误，故B不符合题意； C、年奥运会刘翔退赛，所以年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军是不可能事件，原说法错误，故C不符合题意； D、某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张可能会中奖，原说法错误，故D不符合题意； 故选：A ． 【跟踪训练1】投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，事件发生的概率，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意得出恒成立，即可解答． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∵向上一面的点数a、b都是正数， ∴恒成立， ∴有解的概率是1． 故答案为：1． 【跟踪训练2】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，根据随机事件、必然事件、不可能事件及概率的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件，正确，故A符合题意； B、乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是必然事件，原说法错误，故B不符合题意； C、丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，原说法错误，故C不符合题意； D、丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是，是不正确的，因为试验次数太少，不能确定钉尖朝上的概率，故D不符合题意； 故选：A． 【题型4.多事件的概率大小关系】 【典例】抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面．其中事件发生的可能性最大的是 ． 【答案】② 【分析】本题主要考查了求概率， 抛掷两枚均匀硬币，一共有4种可能得结果，再确定全是正面，一正一反，全是反面的概率，比较得出答案． 【详解】解：抛掷两枚均匀硬币，可能出现的结果有4种，且每种结果发生的可能性相同，所有等可能结果有4种：正正、正反、反正、反反， 其中全是正面包含1种结果，其概率为；一正一反包含2种结果，其概率为；全是反面包含1种结果，其概率为， 因为， 所以一正一反发生的可能性最大． 故答案为：②． 【跟踪训练1】一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 【答案】B 【分析】本题考查求概率，分别求出各选项中的概率进行判断即可． 【详解】解：抽到的牌的数字为5的概率为；抽到的牌的花色为黑桃的概率为；抽到的牌是大王或小王的概率为，抽到的牌是J或Q或K的概率为， ∵； 故概率最大的是选项B． 故选B． 【点睛】概率比较直接基于有利事件数与总事件数的比值，简单直观． 【跟踪训练2】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件， ∴两个人出生月份相同的概率为， 故答案为：． 【题型5.根据概率公式计算概率】 【典例】某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意列表得出所有等可能结果以及满足题意的结果数是解题的关键． 将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表如下： A B C D E A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E） 由表知，共有25种等可能结果，其中他获得奖品的有16种结果， 所以他获得奖品的概率为． 故选：C． 【跟踪训练1】电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是 方格． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率为，根据图形发现、中只有一个地雷，所以知道必为雷，则可得到答案． 【详解】解：由图形及题意可知：、中只有一个有地雷， 所以必定有地雷， 所以、、三个方格中有地雷的概率最大的方格是，概率为 1 ． 故答案为：． 【跟踪训练2】若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率，根据题意筛选出符合条件的情况数目是解题的关键．设的个位数字为，十位数字为，根据“连加进位数”的定义得到n不是进位数当且仅当且，从而得到非进位数有12个，则从0到99中进位数有个，即可求出概率． 【详解】解：设的个位数字为，十位数字为， 个位无进位需（此时个位和分别为）， ∵个位无进位时十位数字均为b， ∴个位无进位时十位数字的和为， ∴十位无进位需，即， ∴ n不是进位数当且仅当且， ∴非进位数有：时，；时，；时，；时，，共12个， ∴从0到99中进位数有个， ∴概率为， 故选：A． 【题型6.已知概率的相关问题梳理】 【典例】某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了概率的计算公式，根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 【跟踪训练1】从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式和三角形三边关系，根据三角形三边关系正确列出不等式是解题的关键． 根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种， ∴当能组成三角形的概率为时， ∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为种， ∴有①；②；③；④， ∵， ∴能组成三角形，①能组成三角形； A、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③不能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有种， ∴A选项符合题意； B、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴B选项不符合题意； C、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴C选项不符合题意； D、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴D选项不符合题意． 故选A． 【跟踪训练2】在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的3个红色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球有 个 【答案】5 【分析】此题主要考查了概率公式，先求出红色乒乓球的概率，再求出盒子内乒乓球的总个数，然后用总个数减去红色乒乓球个数得到摸到白色乒乓球的个数． 【详解】解：∵白色乒乓球的概率为， ∴红色乒乓球的概率为， 盒子内乒乓球的个数为（个）， 白色乒乓球的个数（个）， 故答案为：5． 【题型7.几何模型的概率求解】 【典例】小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．用空白区域的面积除以总面积即可． 解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同， ∴小明掷在空白区域的概率是． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【跟踪训练2】连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成灰色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上（落在镖盘上各点的机会相等），飞镖落在灰色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的求解，解决本题的关键是根据已知条件求出阴影面积以及总的面积. 分别利用面积公式求出阴影部分的面积以及正六边形的面积，再根据概率公式进行求解即可. 【详解】解：如图，令， 则， 将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，P（飞镖落在灰色区域）． 【题型8.列举法求解概率】 【典例】某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列举所有可能结果是解题的关键． 列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，共有、、、、、这种等可能的结果，其中恰好从入口进入且从出口驶出的结果有种； ∴． 故答案为：． 【跟踪训练1】小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过列举法求概率，列举出点数之和小于6的情况数与总情况数是解题的关键． 先确定总情况数，再列举出点数之和小于6的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解∵总共有种等可能结果，点数之和小于6的情况有：①和为2：，共1种；  ②和为3：共2种；③和为4：共3种；④和为5：共4种；   ∴掷得面朝上的点数之和小于6的情况数共有种情况．   ∴ 掷得面朝上的点数之和小于6的概率是． 故选D． 【跟踪训练2】物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【详解】解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为：． 【题型9.列表法/树状图法求概率】 【典例】如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法和树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与能获得“汽车”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种， ∴他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是， 故选A． 【跟踪训练1】如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可. 【详解】解：将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有种， 所以配成紫色的概率是 ． 故答案为： ． 【跟踪训练2】同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 【题型10.游戏公平性的判断与分析】 【典例】小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 【答案】 不公平 小兰 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 【跟踪训练1】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 【跟踪训练2】桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了游戏公平性． 通过计算数字之和为偶数和奇数的概率，判断游戏是否公平． 【详解】解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 【题型11.由频率估计概率的方法】 【典例】袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色放回袋中，记为一次试验． 通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（ ） A． 5 B． 10 C． 15 D． 20 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率． 通过多次试验，频率稳定在某个值，该值可作为概率的估计值，从而计算红球个数． 【详解】∵ 摸出红球的频率稳定在0.3， ∴ 估计摸出红球的概率为0.3． ∵ 总球数为50， ∴ 红球的个数为． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键，用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， ∵正方形区域内任取个点中，有个点在黑色部分， ∴黑色部分占正方形的：， ∴二维码中黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 【跟踪训练2】在利用正方体骰子进行频率估计概率的试验中，小悦同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．朝上的点数是1的概率 B．朝上的点数是偶数的概率 C．朝上的点数小于5的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．分别计算各选项的概率，再对比统计图即可． 【详解】解：A、朝上的点数是1的概率为，不符合题意，选项错误； B、朝上的点数是偶数的概率为，不符合题意，选项错误； C、朝上的点数小于5的概率为，不符合题意，选项错误； D、朝上的点数是3的倍数的概率为，符合题意，选项正确； 故选：D． 【题型12.频率估计概率的综合应用】 【典例】在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个． 【答案】12 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 【跟踪训练1】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算． 利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果． 【详解】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为，接近图中概率，该选项符合题意； D. 是绿球的概率为，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练2】一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有 个红色小球． 【答案】20 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意，得到摸取到红色小球的概率为，设盒子里有个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸取到红色小球的频率稳定在左右， ∴摸取到红色小球的概率为， 设盒子里有个红色小球， 由题意，得：， 解得：， 故盒子中约有个红色小球， 故答案为：． 1．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 2．如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 设正方形的边长为a，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为a， ， 点O落在如图所示以为直径的半圆内． 半圆的面积为：， 正方形的面积是， 满足的概率是． 故选： 3．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 4．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 ． 【答案】16 【分析】本题考查列举法的应用．根据限定条件首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：如图所示： 共有16种取法， 故答案为：16． 5．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 6．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键． 7．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，概率公式，解一元一次不等式，难度较大，正确运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意可知，则．①当时，；②当时， ，；③当时，，分别求解计算即可． 【详解】解：由题意可知． ∵，m，n均为正整数， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6， 此时的值可以是8，12，16，20． ②当时， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ③当时，， ∴， ∴，不符合题意． 综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为． 故选：D． 8．从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键． 先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当，即时原分式无解， ∴使关于x的方程有整数解的：，1，2； ∵， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解， ∴或， ∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有， ∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：． 故答案为：． 9．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、二次根式的性质等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． 由二次函数不经过第四象限，，或，再列表得到m、n的所有可能的值以及图象不经过第四象限的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：∵二次函数不经过第四象限， ∴，或顶点纵坐标，即：，或， 列表： nm 0 .0 共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为5， ∴二次函数不经过第四象限的概率为． 故选：A． 10．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 11．小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键分清是简单概率计算还是需要用树状图或者列表求概率； （1）根据简单的概率公式求出概率即可； （2）运用树状图法求出概率即可； 【详解】（1）解：按下一个开关这个事件一共有3种结果，其中走廊灯亮的结果一共有1种， ∴小明打开走廊灯的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的结果有2种； ∴客厅灯和走廊灯同时亮的概率是． 12．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 13．一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． (1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． (2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 【答案】(1) (2)红，白，黑个数分别是2，1，1（答案不唯一） 【分析】本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）设加入个红球，个黑球，根据随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，列出不等式和方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，白球有4， ∴从盒子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是． （2）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，红球有5个，白球有4个， ∴黑球有个， 往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，则总共个球， 设加入个红球，个黑球， ∵红球的概率不超过，摸出黑球的概率是， ∴， 解得：，， ∴放入红，白，黑个数分别是2，1，1或者1，2，1或者0，3，1 或者3，0，1 （答案不唯一，选择一种答案即可）． 14．一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了已知频率求概率，已知概率求数量，列举法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）已知摸出白球的频率，即摸出白球的概率，然后用白球的个数除以摸出白球的概率即可求出球的总个数，进而可得答案； （2）列出从布袋一次性摸出2个球的等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个）， ∴布袋中红球的个数为（个）， 答：布袋中红球的个数为3个． （2）解：设白球为白，3个红球分别为红1，红2，红3， 从布袋一次性摸出2个球的等可能结果有：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）， 共有6种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有3种结果， 所以一次性摸出2个球都是红球的概率为． 15．在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)可以用整数18作为峰值的估计值，理由见解析 (4)不是，理由见解析 【分析】本题考查了阅读理解题型、推理与论证等内容； （1）根据材料易知第一次操作后，峰值m在第三段，且，即峰值m不在第一段内，也不在第二段内，从而求出第一个分点，因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，所以第二段内数值逐渐增大，进而求出第二个分点； （2）因为第一次操作后，峰值m在第三段，且，所以第二次操作中所设置的； （3）因为第二次操作后，峰值m在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16，所以，解不等式组即可； （4）由题意得，第三次操作中所设置的，继而推出即，与题意不符，进而得解． 【详解】（1）解： 解法一： 因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段，且，即峰值不在第一段内，也不在第二段内． 所以第一个分点． 因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16， 所以第二段内数值逐渐增大． 所以第二段的最小值是，最大值是． 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． 解法二： 因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段且． 所以峰值不在第一段内． 所以第一个分点． 因为峰值在第三段， 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． （2）解：因为第一次操作后，峰值在第三段，且， 所以第二次操作中所设置的 （3）解：解法一： 因为第二次操作后，峰值在第三段，不妨设该段为，其中为该段的左端值， 所以，解得 因为峰值为该段的最大值， 所以，解得． 因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以，解得． 所以． 所以可以用整数18作为峰值的估计值， 解法二： 因为第二次操作后，峰值在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以 解这个不等式组得． 所以可以用整数18作为峰值m的估计值． （4）解：解法一： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的 假设：用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值这一段． 那么，解得，与矛盾． 所以假设不成立： 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 解法二： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的． 因为， 当时，，即， 所以第三次操作后，峰值不在第三段． 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习12概率初步期末复习冲刺必备讲义 1. 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能准确区分不同类型的事件，并掌握概率的定义与取值范围； 2. 熟练掌握古典概型的概率计算公式，能运用直接列举法、列表法、树状图法解决单因素、双因素及多因素的概率计算问题，做到结果不重不漏； 3. 理解频率与概率的区别与联系，能利用大量重复试验的频率估计概率，掌握统计概型的应用方法； 4. 掌握几何概率的计算思路，能根据几何区域的度量（长度、面积等）求解概率问题； 5. 能识别概率问题中的常见易错点，规避解题错误，具备解决概率与实际生活、统计图表等综合问题的能力，提升逻辑推理与数据分析素养。 核心逻辑：事件分类→概率定义与性质→概率计算→频率估计概率→实际应用。 重点：列举法求概率、频率与概率的关系； 难点：根据试验情境选对概率计算方法，解决实际综合问题。 期末必备 知识点梳理 1.随机事件与概率基础 2.用列举法求概率 3.利用频率估计概率 4.几何概率 5.高频易错点剖析 常考题型 精讲精炼 1.事件的类型划分 2.事件发生可能性的大小判断 3.概率的核心意义解读 4.多事件的概率大小关系 5.根据概率公式计算概率 6.已知概率的相关问题梳理 7.几何模型的概率求解 8.列举法求解概率 9.列表法/树状图法求概率 10.游戏公平性的判断与分析 11.由频率估计概率的方法 12.频率估计概率的综合应用 期末备考 强化通关 (15题) 【知识点01.随机事件与概率基础】 1. 事件的分类 根据事件发生的确定性，分为三类： *必然事件：一定条件下必发生，可能性为1（例：标准大气压下100℃水沸腾、红球袋摸红球）。 *不可能事件：一定条件下必不发生，可能性为0（例：红球袋摸白球、骰子掷出7）。 *随机事件：一定条件下可能发生也可能不发生，可能性介于0和1之间（例：红白球袋摸红球、骰子掷出偶数）。 注意：事件类型依赖条件，条件改变可能变化（例：非标准大气压下100℃水沸腾不是必然事件）。 2. 概率的定义与性质 （1）定义：随机事件A发生可能性的数值，记为P(A)。 （2）古典概型前提：① 结果有限；② 每个结果等可能。 （3）概率公式：P(A) = （n为总等可能结果数，m为事件A包含的结果数）。 （4）取值范围：必然事件P(A)=1；不可能事件P(A)=0；随机事件0＜P(A)＜1。 *必然事件：P(A) = 1； *不可能事件：P(A) = 0； *随机事件：0 ＜ P(A) ＜ 1。 （5）核心关系：可能性越大概率越近1，越小越近0；P(A) + P(非A) = 1（对立事件概率和为1）。 【知识点02.用列举法求概率】 列举法核心：不重不漏列所有等可能结果，按试验因素个数分三种方法： 1. 直接列举法（枚举法） （1）适用：单因素、结果少。 （2）步骤：① 列所有等可能结果；② 找事件A的结果数m；③ 代入公式计算。 2. 列表法 （1）适用：双因素（如两枚骰子、两次摸球）、结果多。 （2）步骤：① 定两因素分横行竖列；② 列所有组合；③ 统计n和m；④ 算概率。 注意：区分“有放回”（样本空间不变）和“无放回”（样本空间减少）。 3. 树状图法 （1）适用：三因素及以上，或双因素需明确分步逻辑。 （2）步骤：① 按顺序画树状图；② 每条路径为一个结果；③ 统计n和m；④ 算概率。 关键：直观体现分步计数，确保结果不重不漏。 【知识点03.利用频率估计概率】 1. 适用场景 适用：结果无限或不均等，无法用古典概型，需大量重复试验估计。 2. 核心原理 核心原理：大量重复试验中，事件A的频率（，m为发生次数，n为总次数）稳定在常数p附近，则P(A)≈p。 3. 频率与概率的区别与联系 对比维度 频率 概率 本质 试验的统计值（实际结果） 理论值（客观规律） 与试验的关系 随试验次数、试验者变化 与试验次数、试验者无关 联系 试验次数越多，频率越接近概率；频率是估计概率的基础 注意：试验次数需足够多、条件相同；大概率事件可能不发生，小概率事件可能发生。 【知识点04.几何概率】 定义：向几何区域随机投点，事件A概率与区域度量（长度、面积、体积）成正比。 公式：P(A) = 事件A对应区域度量 / 总试验区域度量 常见类型：① 线段投点（长度）；② 平面投点（面积）；③ 立体投点（体积）。 【知识点05.高频易错点剖析】 易错点1：混淆“有放回”与“无放回”试验 （1）错误：未区分有放回/无放回，导致样本空间判断错（例：5张卡抽2张，无放回总结果10/20种，有放回25种）。 （2）规避：明确试验规则，有放回概率独立，无放回考虑前次影响，用列表/树状图梳理。 易错点2：几何概率中混淆度量类型 （1）错误：平面投点误用长度计算，或未保证点均匀分布。 （2）规避：确定度量维度（平面用面积、线段用长度），验证点均匀分布。 易错点3：混淆频率与概率 （1）错误：少量试验频率当概率（例：抛10次硬币6次正面，误认概率0.6）。 （2）规避：牢记概率是频率稳定值，仅大量试验时频率趋近概率。 易错点4：列举法中重复或遗漏结果 （1）错误：列举时重复/遗漏，混淆有序与无序（例：误认骰子(1,2)和(2,1)为同一结果）。 （2）规避：按固定顺序列举，多因素优先用列表/树状图。 易错点5：综合问题中知识衔接断层 （1）错误：综合题误读数据、混淆逻辑（例：把样本容量当总结果数）。 （2）规避：分步拆解，先明确试验、总结果数、事件条件，再结合其他知识筛选。 【题型1.事件的类型划分】 【典例】下列事件为必然事件的是（    ） A．买一张电影票，座位号是奇数 B．打开电视，正在播放“新闻联播” C．抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D．在平面内画一个任意三角形，其内角和为 【跟踪训练1】给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 （填序号）． 【跟踪训练2】下列事件属于必然事件的是（   ） A．明天太阳从西边升起 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．直径所对圆周角是直角 【题型2.事件发生可能性大小的判断】 【典例】盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【跟踪训练1】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【跟踪训练2】盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 【题型3.概率的核心意义解读】 【典例】下列说法正确的是（  ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数一定是次 C．年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军 D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张一定会中奖 【跟踪训练1】投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 【跟踪训练2】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【题型4.多事件的概率大小关系】 【典例】抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面．其中事件发生的可能性最大的是 ． 【跟踪训练1】一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 【跟踪训练2】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 【题型5.根据概率公式计算概率】 【典例】某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（ ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练1】电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是 方格． 【跟踪训练2】若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型6.已知概率的相关问题梳理】 【典例】某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 【跟踪训练1】从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪训练2】在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的3个红色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球有 个 【题型7.几何模型的概率求解】 【典例】小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是 ． 【跟踪训练2】连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成灰色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上（落在镖盘上各点的机会相等），飞镖落在灰色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【题型8.列举法求解概率】 【典例】某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为 ． 【跟踪训练1】小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是 ． 【题型9.列表法/树状图法求概率】 【典例】如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（） A． B． C．1 D． 【跟踪训练1】如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为 ． 【跟踪训练2】同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【题型10.游戏公平性的判断与分析】 【典例】小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 【跟踪训练1】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【跟踪训练2】桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【题型11.由频率估计概率的方法】 【典例】袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色放回袋中，记为一次试验． 通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（ ） A． 5 B． 10 C． 15 D． 20 【跟踪训练1】如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【跟踪训练2】在利用正方体骰子进行频率估计概率的试验中，小悦同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．朝上的点数是1的概率 B．朝上的点数是偶数的概率 C．朝上的点数小于5的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率 【题型12.频率估计概率的综合应用】 【典例】在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个． 【跟踪训练1】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【跟踪训练2】一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有 个红色小球． 1．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 2．如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 4．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 ． 5．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球． 6．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 7．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 8．从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为 ． 9．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A． B． C． D． 10．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 11．小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 12．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 13．一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． (1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． (2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 14．一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 15．在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $