第五章 计数原理（单元测试·提升卷）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第三章 空间向量与立体几何·提升通关（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C A A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．60 13．78 14． 5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【答案】(1)81； (2)16； (3)304. 【分析】（1）由赋值法可求二项式展开式的系数和； （2）方法一、利用均值不等式，由即可求解；方法二、对函数进行求导，根据单调性确定最值； （3）方法一、直接利用三项式展开式求常数；方法二、把三项展开问题转化为二项展开问题，即可求解. 【详解】（1）当时，； （2）方法1：，当且仅当时，取等号． 所以． 方法2：． 由得：；由得：． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以； （3）方法1：由三项展开式可得通项为 . 要求，则或或. 所以 ; 方法2： ． 展开式通项为：，取； 展开式通项为：，无满足题意的r； . ∴．（13分） 16．【答案】(1)364 (2)2002 (3)2366 (4)4110 【分析】（1）从余下人中任选3人即可； （2）从余下人中任选5人即可； （3）分类讨论甲乙参加人数计算即可； （4）法一、直接分类讨论内外科参加人数计算即可；法二、间接法，计算只有内科5人或外科5人的总数，用16人选5人的方法数减去即可. 【详解】（1）只需从其他14人中选3人即可，共有（种）选法. （2）只需从其他14人中选5人即可，共有（种）选法. （3）分两类：甲､乙中有1人参加；甲､乙都参加. 则共有（种）选法. （4）方法一（直接法）至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 内科1人，外科4人；内科2人，外科3人；内科3人，外科2人；内科4人，外科1人. 所以共有（种）选法. 方法二（间接法）从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有（种）选法.（15分） 17．【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二项展开式得，则，分析为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可； （2）法一：两边同时求导后再代入即可；法二：首先得，，再根据恒等式计算即可. 【详解】（1）当时，， ，则， 显然为奇数时，；为偶数时，； 则当取到最大值时，为偶数， 设为最大项，其中．当时， 得，即， 解得，又因为，经验证得：． 又因为，所以最大项为． （2）法一：因为， ， 令，得：，所以：． 法二： 则，因为，所以， 所以 ．（15分） 18．【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据二项式定理求出，，和，求出，得出，令得出答案； （2）（i）分奇偶两种情况讨论：当时，关于对称，得到，求导得到，令得；当时，关于点对称，得到，多次求导得到，令得 ，，代入求出，同理得到； （ii）由（i）和得到，，利用放缩得到，再利用裂项相消法证明即可. 【详解】（1）， ，，，，，则，，，，， ，. 又， ，， （2）（i）当时，关于对称，则①， 对①式两边分别求导得②， 对②式两边分别求导得③， …… ， 令，代入上式得，即. 当时，关于点对称，则①， 对①式两边求导得②， 对②式两边求导得③， …… ， 令，代入上式得，即. 又，， 同理可得. （ii）由（i）知，，. 又，，，. 所以. 所以.（17分） 19．【答案】(1) (2)（i）是，的最小值为3；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用排列数公式化简即可； （2）（i）先化简得出，假设为级凸数列，得出，构造函数，，并研究其单调性，即可求证，再检验时即可； （ii）由（i）结合放缩可得当时，，即可化简得出，进而得出；利用基本不等式化简得，即可得出， 利用累加法即可求证. 【详解】（1） （2）（i）当时， ，则， 假设为级凸数列，则，且， 则，则， 整理得， 令，且， 二次函数的对称轴为，且， 在区间上单调递增， 当时，有， ， 当时，有，即， 为3级凸数列， 当时，，且，, 不是2级凸数列， 综上所述，可知为级凸数列，且的最小值为3; （ii），当时，， ， 当时， ， 当时，； ， ， ，且， ， 由基本不等式可知， ，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 计数原理·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 2.若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 3．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 4.哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 5.的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 6.学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（   ） A． B． C． D． 7．的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 10．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 11．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 13．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有 种. 14．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数，. (1)求； (2)求的最小值； (3)求的值． 16． （15分） 某医院有内科医生10名，外科医生6名，现选派5名参加新冠肺炎医疗队. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲､乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲､乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 17． （15分） 已知. (1)当时，，求中的最大值； (2)若，求. 18． （17分） 已知函数，. (1)若，求； (2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称. （i）求，； （ii）若，，.证明：. 19．（17分） 杨辉三角是由组合数构成的三角形数表，其第行的第个数可以表示为组合数，该数表有很多性质，如第行的所有数之和为. 现构造如图所示的三角形数表，中的第行的第个数为排列数，其中，且．    (1)求的值. (2)记的第行所有数的和为． （i）若，使得数列满足：，，则称为级凸数列.判断数列是否为级凸数列？若是，请求出的最小值；否则请说明理由. （ii）当时，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 计数原理·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 【答案】C 【分析】利用“隔板法”进行求解． 【详解】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙， 要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案， 所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即. 故选：C 2.若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 【答案】B 【分析】根据二项式系数和求出n的值，即可求出展开式的通项公式，继而可求得展开式中的常数项. 【详解】由题意可知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，故，则， 则展开式的通项公式为， 令，则，则该展开式中的常数项为. 故选：B 3．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 4.哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】根据题意，先将5名教师志愿者分为4组，再将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分2步进行： ①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况， 则有种分配方案. 故选：C 5.的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 【答案】A 【分析】考虑中选取，或选取，确定的展开式中选取什么项，可得到项，即可求得答案. 【详解】若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得； 若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得， 故的展开式中的系数为20－80＝－60, 故选： A． 6.学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定分层抽样人数得出抽样比，从而得出来自各社团的抽取人数，再计算5人中抽取2人的总组合数，结合对立事件定义求出“两人均不来自绘画社”的组合数，进行概率计算得出“至少有一名来自绘画社”的概率． 【详解】学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人， 总人数为人，抽样比为， 抽取人数：书法社，绘画社，摄影社， 从5人中随机抽取2人，总组合数为， “至少一名来自绘画社”的对立事件是“两人均不来自绘画社”，组合数为， 2名负责人至少有一名来自绘画社的概率． 故选：A． 7．的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】设，分别代入和，两式作差即可构造方程求得的值. 【详解】设， 令得：； 令得：； 两式作差得：，即，解得：. 故选：A. 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角每一行的数字与组合数的对应关系，结合组合数的运算性质，依次判断选项. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数和计算判断A，根据展开式项数判断B，应用通项公式计算判断C，应用赋值法求系数和判断D. 【详解】A：展开式各项的二项式系数之和为，则，故A正确； B：当为偶数时，中间项的二项式系数最大，由，第4项作为中间项，其二项式系数最大，B正确； C：当时，展开式通项为，令，解得，此时常数项为，C正确； D：由题设，令，则，解得或，D错误； 故选：ABC. 10．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 【答案】ABD 【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解；对于C选项利用贝叶斯公式求解；对于D选项不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】对于A选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球， 则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为： ，故A正确， 对于B选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球， 依题意两两互斥， 其和为， 并且， ， ， ， 由全概率公式有：，故B正确； 对于C选项：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同， ， ， ， 则故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1的口袋的概率最大， 故C不正确； 对于D选项：先将5个不同的小球分成或三份， 再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有： ，故D正确； 故选：ABD. 11．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，分别利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 所以， 故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导， 得， 令，则4050，故D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 【答案】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 故答案为：. 13．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有 种. 【答案】 【分析】根据题意，分配模式为1，1，2或0，1，3或0，2，2，三种情况讨论，由排列、组合数公式，结合分类加法和分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】因为数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年须将这四门选修课程选修完， 当分配模式为1，1，2时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，1，3时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，2，2时，每位同学的不同选修方式有种， 则每位同学的不同选修方式共有种． 故答案为：. 14．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是 ． 【答案】5 【分析】根据二项式定理对的表达式进行化简，即可求出结果. 【详解】由于， 所以， 所以, 所以. 由于 ， 所以 ， 因为. 所以被除后余数为，由，则正整数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数，. (1)求； (2)求的最小值； (3)求的值． 【答案】(1)81； (2)16； (3)304. 【分析】（1）由赋值法可求二项式展开式的系数和； （2）方法一、利用均值不等式，由即可求解；方法二、对函数进行求导，根据单调性确定最值； （3）方法一、直接利用三项式展开式求常数；方法二、把三项展开问题转化为二项展开问题，即可求解. 【详解】（1）当时，； （2）方法1：，当且仅当时，取等号． 所以． 方法2：． 由得：；由得：． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以； （3）方法1：由三项展开式可得通项为 . 要求，则或或. 所以 ; 方法2： ． 展开式通项为：，取； 展开式通项为：，无满足题意的r； . ∴．（13分） 16．某医院有内科医生10名，外科医生6名，现选派5名参加新冠肺炎医疗队. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲､乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲､乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 【答案】(1)364 (2)2002 (3)2366 (4)4110 【分析】（1）从余下人中任选3人即可； （2）从余下人中任选5人即可； （3）分类讨论甲乙参加人数计算即可； （4）法一、直接分类讨论内外科参加人数计算即可；法二、间接法，计算只有内科5人或外科5人的总数，用16人选5人的方法数减去即可. 【详解】（1）只需从其他14人中选3人即可，共有（种）选法. （2）只需从其他14人中选5人即可，共有（种）选法. （3）分两类：甲､乙中有1人参加；甲､乙都参加. 则共有（种）选法. （4）方法一（直接法）至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 内科1人，外科4人；内科2人，外科3人；内科3人，外科2人；内科4人，外科1人. 所以共有（种）选法. 方法二（间接法）从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有（种）选法.（15分） 17．已知. (1)当时，，求中的最大值； (2)若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二项展开式得，则，分析为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可； （2）法一：两边同时求导后再代入即可；法二：首先得，，再根据恒等式计算即可. 【详解】（1）当时，， ，则， 显然为奇数时，；为偶数时，； 则当取到最大值时，为偶数， 设为最大项，其中．当时， 得，即， 解得，又因为，经验证得：． 又因为，所以最大项为． （2）法一：因为， ， 令，得：，所以：． 法二： 则，因为，所以， 所以 ．（15分） 18．已知函数，. (1)若，求； (2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称. （i）求，； （ii）若，，.证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据二项式定理求出，，和，求出，得出，令得出答案； （2）（i）分奇偶两种情况讨论：当时，关于对称，得到，求导得到，令得；当时，关于点对称，得到，多次求导得到，令得 ，，代入求出，同理得到； （ii）由（i）和得到，，利用放缩得到，再利用裂项相消法证明即可. 【详解】（1）， ，，，，，则，，，，， ，. 又， ，， （2）（i）当时，关于对称，则①， 对①式两边分别求导得②， 对②式两边分别求导得③， …… ， 令，代入上式得，即. 当时，关于点对称，则①， 对①式两边求导得②， 对②式两边求导得③， …… ， 令，代入上式得，即. 又，， 同理可得. （ii）由（i）知，，. 又，，，. 所以. 所以.（17分） 19．杨辉三角是由组合数构成的三角形数表，其第行的第个数可以表示为组合数，该数表有很多性质，如第行的所有数之和为. 现构造如图所示的三角形数表，中的第行的第个数为排列数，其中，且．    (1)求的值. (2)记的第行所有数的和为． （i）若，使得数列满足：，，则称为级凸数列.判断数列是否为级凸数列？若是，请求出的最小值；否则请说明理由. （ii）当时，证明：． 【答案】(1) (2)（i）是，的最小值为3；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用排列数公式化简即可； （2）（i）先化简得出，假设为级凸数列，得出，构造函数，，并研究其单调性，即可求证，再检验时即可； （ii）由（i）结合放缩可得当时，，即可化简得出，进而得出；利用基本不等式化简得，即可得出， 利用累加法即可求证. 【详解】（1） （2）（i）当时， ，则， 假设为级凸数列，则，且， 则，则， 整理得， 令，且， 二次函数的对称轴为，且， 在区间上单调递增， 当时，有， ， 当时，有，即， 为3级凸数列， 当时，，且，, 不是2级凸数列， 综上所述，可知为级凸数列，且的最小值为3; （ii），当时，， ， 当时， ， 当时，； ， ， ，且， ， 由基本不等式可知， ，， 当时， ， 当时，， 当时，.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 计数原理·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 2.若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 3．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 4.哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 5.的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 6.学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（   ） A． B． C． D． 7．的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 10．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 11．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 13．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有 种. 14．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数，. (1)求； (2)求的最小值； (3)求的值． 16． （15分） 某医院有内科医生10名，外科医生6名，现选派5名参加新冠肺炎医疗队. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲､乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲､乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 17． （15分） 已知. (1)当时，，求中的最大值； (2)若，求. 18． （17分） 已知函数，. (1)若，求； (2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称. （i）求，； （ii）若，，.证明：. 19．（17分） 杨辉三角是由组合数构成的三角形数表，其第行的第个数可以表示为组合数，该数表有很多性质，如第行的所有数之和为. 现构造如图所示的三角形数表，中的第行的第个数为排列数，其中，且．    (1)求的值. (2)记的第行所有数的和为． （i）若，使得数列满足：，，则称为级凸数列.判断数列是否为级凸数列？若是，请求出的最小值；否则请说明理由. （ii）当时，证明：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $