第2章 整式及其加减 章综合复习 课件 2025-2026学年华东师大版七年级 数学上册

章综合复习 第二章 整式及其加减 数学华东师大版七年级上册 整式及其加减 代数式 用字母表示数 整式 多项式的项、次数 代数式 列代数式 求代数式的值 单项式的次数、系数 整式的加减 升(降)幂的排列 同类项 单项式 多项式 合并同类项 去(添)括号 本章知识结构 字母可以表示任何数. 用字母表示数 代数式 字母表示数解决了一般到特殊的关系，具有一般性和简洁性. 用字母表示数量之间关系 用含有字母的式子可以表示运算律，数量关系，数学公式等. 注意：①式子中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写； ②在数字与字母相乘时，通常把数字写在字母的前面； ③除法运算一般写成分数形式； ④式子中有加减运算，且后面有单位时，式子要加上括号. 知识要点提炼 由数或表示数的字母用运算符号连接所成的式子，叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式. 代数式的概念 代数式 书写格式 知识要点提炼 ①认真审题；②抓住关键词；③弄清数量关系；④准确列代数式. 列代数式的基本步骤 代数式 求代数式的值的基本步骤 求代数式的值的概念 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值. ①用数值代替代数式里的字母，简称代入； ②按照代数式指明的运算计算出结果，简称计算. 知识要点提炼 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式. 单独一个数或一个字母也是单项式. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 单项式的系数：单项式中的数因数叫做这个单项式的系数. 单项式 整式 注意：①单独一个数或一个字母也是单项式，单独一个非零常数的次数是0；②单项式的次数不是指次数最高的字母的次数，而是指所有字母的指数之和. 知识要点提炼 多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数. 多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.多项式中，单项式的个数叫做多项式的项数. 多项式 整式 整式 单项式和多项式统称为整式. 整式中如果有分母，分母不能含有字母. 知识要点提炼 x2+x+1 1+x+x2 按字母x的指数从大到小的顺序排列. 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列． 按字母x的指数从小到大的顺序排列. 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列． 升(降)幂排列 整式 知识要点提炼 同类项 整式的加减 所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项. 所有的常数项都是同类项.例如-3和5是同类项. 合并同类项 合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项． 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变. 知识要点提炼 合并同类项的一般步骤 整式的加减 ①找出同类项(并做标记)；(一找) ②运用加法交换律、加法结合律将多项式的同类项结合；(二移) ③利用合并同类项法则合并同类项；(三合并) ④写出合并后的结果.(四写结果) 注意：①合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中不要漏掉. ②在多项式中，只要不再有同类项，就是最后的结果，结果可能是单项式，也可能是多项式 知识要点提炼 整式的加减 去括号法则 注意：含有多重括号，必须将所有括号都去掉，主要有两种方法：①由里向外逐层去括号；②由外向里逐层去括号.但此时要注意将内层括号看成一项来处理. 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；如：+(a+b-c)=a+b-c. 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号.如：-(a+b-c)=-a-b+c. 知识要点提炼 整式的加减 添括号法则 注意：①添括号时要把需要括起来的部分看作一个整体，确保符号变化是针对这个整体中的每一项，避免遗漏或错误改变某一项的符号！ ②添括号与去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用去括号法则检验！ 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号； 所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变正负号. 如：a-b-c=+(a-b-c)=-(-a+b+c). 知识要点提炼 整式的加减 整式加减的一般步骤 (1)如果有括号，先去括号；(2)观察有无同类项； (3)利用加法的交换律和结合律，分组同类项； (4)合并同类项. 简写成：先去括号，再合并同类项. 整式化简求值的步骤 (1)化：利用整式加减的运算步骤将整式化简； (2)代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； (3)算：根据有理数的运算法则进行计算. 知识要点提炼 用代数式表示： (1)a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍； (2)a，b两数的和的平方减去它们的差的平方. 解：(1)先表示平方和和积的2倍，最后表示差，即(a2+b2)-2ab. (2)先表示两数的和与差，再表示和与差的平方，最后表示差即(a+b)2-(a-b)2. 用代数式表示数量关系时，需先分析文字描述的运算顺序，明确先算什么、后算什么，再逐步将文字转化为对应的代数式. 方法总结 重点知识巩固 如果|m-2|+(n+3)2=0，那么m2-3mn+n2的值为(        ) A.5　     B.-5　     C.21　     D.31 解：由|m-2|+(n+3)2=0，可得：m-2=0，n+3=0， 所以m=2，n=-3， 所以m2-3mn+n2=22-3×2×(-3)+(-3)2=4+18+9=31， 故选D. 当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0.利用这一性质可求出字母的值，再将其代入代数式计算出结果. 方法总结 D 重点知识巩固 解：因为(m-2)x|m|y是关于字母x、y的三次单项式， 所以|m|+1=3，所以|m|=2，所以m=±2， 因为m-2≠0，即m≠2，所以m=-2. 要确定单项式次数相关的参数，需先明确单项式次数为所有字母指数和，同时保证单项式系数不为0，据此列等式求解参数. 方法总结 若代数式(m-2)x|m|y是关于字母x、y的三次单项式，则m=　　    . -2 重点知识巩固 确定多项式的次数与项数时，先明确多项式次数为次数最高项的次数，项数为单项式的个数.再根据次数和项数的要求，分析各项系数与次数的条件，进而求解参数. 方法总结 已知关于x，y的多项式x4+(m+2)xny-xy2+3，其中n为正整数. (1)当m，n为何值时，它是五次四项式? (2)当m，n为何值时，它是四次三项式?  解：(1)因为多项式是五次四项式，所以m+2≠0，n+1=5， 所以m≠-2，n=4. (2)因为多项式是四次三项式，所以m+2=0，n为任意正整数， 所以m=-2，n为任意正整数. 重点知识巩固 解：(1)按字母x的降幂排列：-x4+3x3y-5x2y3-xy2+y4. (2)按字母y的升幂排列：-x4+3x3y-xy2-5x2y3+y4. 按某一字母的升幂或降幂排列多项式时，需先确定该字母在每一项中的次数，再根据次数从低到高(升幂)或从高到低(降幂)的顺序重新排列各项，排列过程中要注意各项的符号保持不变． 方法总结 已知多项式y4-x4+3x3y-xy2-5x2y3. (1)按字母x的降幂排列； (2)按字母y的升幂排列. 重点知识巩固 在2x2y、-2xy2、-3x2y、xy四个代数式中，找出两个同类项，并合并这两个同类项得　　        . 解：在2x2y、-2xy2、-3x2y、xy四个代数式中， 同类项是2x2y、-3x2y，合并这两个同类项得-x2y. 判断同类项需看所含字母相同，且相同字母的指数也相同；合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变. 方法总结 xy2 重点知识巩固 先根据去括号法则去掉括号，再找出同类项，按照 合并同类项法则合并同类项. 方法总结 解：(1)2(2b-3a)+3(2a-3b)=4b-6a+6a-9b=-5b. (2)4a2+2(3ab-2a2)-(7ab-1)=4a2+6ab-4a2-7ab+1=-ab+1. 先去括号，再合并同类项. (1)2(2b-3a)+3(2a-3b)； (2)4a2+2(3ab-2a2)-(7ab-1). 重点知识巩固 已知M=2a+b，N=4a-3b，则(M+N)比(M-N)多(　    ) A.8a-6b　     B.6b-8b　     C.4a+2b　     D.2a-2b 解：M+N=(2a+b)+(4a-3b)=2a+b+4a-3b=6a-2b， M-N=(2a+b)-(4a-3b)=2a+b-4a+3b=-2a+4b， 则(M+N)-(M-N)=(6a-2b)-(-2a+4b)=6a-2b+2a-4b=8a-6b. A 求两个代数式的差时，先分别求出这两个代数式， 再用减法运算，去括号后合并同类项得出结果. 方法总结 重点知识巩固 解：原式=4xy-(2x2+5xy-y2-2x2-6xy+4y2) =4xy-(-xy+3y2)=4xy+xy-3y2=5xy-3y2， 当x=1，y=-1时，原式=5×1×(-1)-3×(-1)2=-5-3=-8. 利用整式加减的运算步骤将整式化简，把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 方法总结 先化简，再求值. 4xy-[(2x2+5xy-y2)-2(x2+3xy-2y2)]，其中x=1，y=-1. 重点知识巩固 若多项式不含某次数的项，需先合并同类项，再令该次 数项的系数为0，据此求出未知参数，最后代入相关式子计算结果. 方法总结 已知关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3-x2y+y2+x2+y不含三次项，求2m+3n的值.  解：my3+nx2y+2y3-x2y+y2+x2+y=(m+2)y3+(n-1)x2y+y2+x2+y， 因为关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3-x2y+y2+x2+y不含三次项， 所以m+2=0，n-1=0，即m=-2，n=1， 所以2m+3n=2×(-2)+3×1=-1. 综合能力提升 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b). “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 尝试应用： (1)把(a-b)2看成一个整体，合并5(a-b)2+4(a-b)2-7(a-b)2=　　(a-b)2. 解：(1)5(a-b)2+4(a-b)2-7(a-b)2=(5+4-7)(a-b)2=2(a-b)2. 2 综合能力提升 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b). “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 尝试应用： (2)运用“整体思想”合并7(m+n)2-6(m+n)2+2(m+n)2. 解：(2)7(m+n)2-6(m+n)2+2(m+n)2=(7-6+2)(m+n)2=3(m+n)2. 综合能力提升 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b). “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 尝试应用： (3)已知x2-2y=-2，求-x2+2y的值. 解：(3)因为x2-2y=-2，所以-x2+2y=-(x2-2y)=-(-2)=2. 综合能力提升 运用 “整体思想” 时，可将某个式子看成一个整体，合并同类项时，把这个整体的系数相加减；在化简求值中，若已知某个式子的值，可通过变形(如添负号等)将所求式子转化为含已知式子的形式，再代入求值. 方法总结 综合能力提升 先根据错误算式求出原多项式，再用原多项式减正确式子，去括号合并同类项得正确结果. 方法总结 有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x-3，小胡同学将 2x2+5x-3抄成了2x2+5x+3，计算结果是-x2+3x-7，求此题正确的结果. 解：由题意可得，A-(2x2+5x+3)=-x2+3x-7， 则A=-x2+3x-7+2x2+5x+3=x2+8x-4， 故这道题目的正确结果是： x2+8x-4-(2x2+5x-3)=x2+8x-4-2x2-5x+3=-x2+3x-1. 综合能力提升 如图，若a-b=4，求长方形A与B的面积的差. 解：根据题意，两个长方形的面积的差为： 4(5a-2b)-3(6a-2b)=20a-8b-18a+6b=2a-2b=2(a-b) 当a-b=4时，原式=2×4=8. 答：长方形A与B的面积的差为8. 5a-2b 6a-2b 4 3 A B 先根据几何图形的公式列出代数式，再通过整式运算化简代数式，最后代入求值. 方法总结 综合能力提升 一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b. 若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 解：(1)旧数：10a+b，新数10b+a， 两数和：10a+b+10b+a=11a+11b， 因为(11a+11b)÷11=11(a+b)÷11=a+b 所以这个和能被11整除. 综合能力提升 一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b. 若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 解：(2)新数与原数的差： 10b+a-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a， 因为(9b-9a)÷9=9(b-a)÷9=b-a， (9b-9a)÷3=9(b-a)÷3=3(b-a)=3b-3a 所以这个差能被3，9整除. 综合能力提升 本题通过用字母表示数的方法，将两位数的十位数字和个位数字用a、b表示，进而表示出原数和新数，再进行和与差的运算.这种方法体现了用代数的方法解决数字问题的思路，即把数字问题转化为代数式的运算问题.在解决此类数字问题时，一般先根据数位的意义，用字母表示出各个数，然后根据题目要求进行相应的运算，最后分析运算结果的特征(如能否被某数整除等). 方法总结 综合能力提升 $