第二章整式及其加减（期中知识清单）七年级数学上学期新教材华东师大版

第二章 整式及其加减　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 列代数式 1.1 用字母表示数 一般地，用字母表示数，就是用字母代表一个确定的数，或确定范围中的一批数，甚至所有的数。表示数的字母可以作为数的”替身”参与运算，建立数与数之间的关系，表达数及其运算的性质，等等。 示例：加法交换律可以表示为 ，加法结合律可以表示为 。 1.2 用字母表示数的书写规范 规则 说明 示例 乘号省略 式子中出现的乘号，通常写作”·“或省略不写 通常写作 或 数字在前 数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面 一般不写作 加括号 式子中有加减运算且后面有单位时，式子要加上括号 元 分数形式 除法运算通常写成分数形式 （）通常写作 （） 1.3 代数式 由数或表示数的字母用运算符号连接所成的式子，叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 示例：、、、、、 等都是代数式；单独一个数或一个字母（如 、）也是代数式。 1.4 列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 示例：设某数为 ，比该数的 倍大 的数为 。 2. 代数式的值 2.1 代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 示例：当 ，， 时，。 3. 整式 3.1 单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 示例： 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 。 注意： (1) 当一个单项式的系数是 或 时，“”通常省略不写，例如 和 。 (2) 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数的形式，例如 不要写成 。 3.2 多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 一个多项式含有几项，就叫做几项式，特别地，只含有一项就是单项式。多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 示例：多项式 有三项，它们是 、、，其中 是常数项，它是一个二次三项式。 注意：多项式的每一项都包括它的正负号。 3.3 整式 单项式与多项式统称为整式。 3.4 升幂排列和降幂排列 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列。把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列。 示例：多项式 按 的降幂排列是 ；按 的升幂排列是 。 注意： (1) 重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动。 (2) 含有两个或两个以上字母的多项式，通常按其中某一个字母的升幂或降幂排列。 4. 整式的加减 4.1 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。 示例：在多项式 中， 与 是同类项， 与 是同类项， 与 是同类项。 4.2 合并同类项 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变。 示例：。 注意：先合并同类项，将多项式化简，再求值，比较简便。 4.3 去括号法则 括号前面是”+“号，把括号和它前面的”+“号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是”-“号，把括号和它前面的”-“号去掉，括号里各项都改变正负号。 示例：；。 4.4 添括号法则 所添括号前面是”+“号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是”-“号，括到括号里的各项都改变正负号。 示例：。 注意：添括号与去括号的过程正好相反，添括号是否正确，不妨通过去括号检验一下。 4.5 整式的加减 去括号和合并同类项是整式加减的基础。整式加减运算的一般步骤是：先去括号，再合并同类项。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同类项与参数 两项是同类项，当且仅当它们所含字母相同、相同字母的指数都相等。据此可由同类项关系求字母参数： 与 是同类项，则 。 1.2 整体代入求值 若已知某个整体的值，可把该整体当作一个字母直接代入。如 ，则 ，于是 。 1.3 取值无关的条件 多项式化简后，若含某字母的项的系数为 ，则这个多项式的值与这个字母的取值无关。如 化简后含 的项全部抵消，故把 错抄成 结果仍不变。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求代数式的值 先化简（去括号、合并同类项），再代入数值计算；代入负数、分数时要用括号括起来。如 代入 应写成 。 2.2 合并同类项 ① 标出各组同类项；② 用加法交换律、结合律把同类项放在一起；③ 系数相加，字母和字母的指数保持不变；④ 写出化简结果。 2.3 去括号 先看括号前面的符号：括号前是”+“号，去掉括号后各项不变号；括号前是”-“号，去掉括号后各项都变号；再去括号并合并同类项。 2.4 整式加减 先去括号，再合并同类项，结果通常按某一字母的降幂（或升幂）排列。 3. 化简与运算小技巧 技巧 要点 示例 去括号变号 括号前是”-“号，括号内各项都变号 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 添括号凑整 把能凑成整十、整百的系数先相加 整体思想 把 等整体看作一个字母 添括号检验 添括号后去括号看能否还原 添括号与去括号互为逆运算 4. 常见考试模型 4.1 列代数式（文字语言翻译） 公式：把文字语言中的数量关系”翻译”成数与字母的运算式，注意”平方和”与”和的平方”等表述的先后顺序与括号。 示例：、 两数的平方和为 ；两数的和的平方为 。 4.2 化简求值 公式：先化简（去括号、合并同类项），再代入求值；负数、分数代入要加括号。 示例：求 当 ， 的值，先化简为 ，再代入得 。 4.3 同类项求参数 公式：由”相同字母的指数分别相等”列方程求参数。 示例： 与 是同类项，则 ，。 4.4 数位问题与整除判定 公式：把多位数按位拆分，如 ，再拆出可被某数整除的部分与各位数字之和，说明整除结论。 示例：，因为 能被 整除，所以当 能被 整除时， 能被 整除。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断单项式的系数与次数，漏掉省略的”1” 典例：判断：单项式 既没有系数，也没有次数。 错解：正确，因为 前面没有写数字，字母 也没有写出指数。 正解：不正确。 可以写成 ，所以它的系数是 ，次数是 （ 的指数是 ，只是省略不写）。 原因：概念理解不完整。学生误以为”没有写出来的系数、指数就不存在”，忽略了单项式 中系数 、指数 都是”省略不写”。判断单项式的系数、次数时，应先把省略的”“补出来再判断。 易错点 2：把不是同类项的项也合并 典例：判断： 是否正确。 错解：正确，系数 ，字母 、 相乘。 正解：不正确。 与 所含字母不同，不是同类项，不能合并， 已是最简形式。 原因：概念理解错误。学生把”合并同类项”当成”所有项都能合并”，忽略了合并的前提是”同类项”（所含字母相同且相同字母的指数相等）。只有同类项才能合并，非同类项之间不能合并。 易错点 3：去括号时括号前是”-“号，只给第一项变号 典例：判断： 是否正确。 错解：正确，去掉括号后第一项 变号，后面的 不变号。 正解：不正确。括号前是”-“号，去掉括号后括号里各项都改变正负号，应得 。 原因：符号处理失误。学生去括号时只注意了第一项变号，漏掉了 也要变号（变号后为 ）。去括号时，括号前是”-“号，括号内的每一项都要变号，不能只变第一项。 易错点 4：代入负数时不加括号，乘方符号出错 典例：当 时，求 的值。 错解：。 正解：。 原因：符号处理失误。学生把” 的平方”写成 ，而 表示” 的平方的相反数”等于 ； 才表示” 的平方”等于 。代入负数时，必须用括号把负数整体括起来再参与运算。 易错点 5：写多项式的项时，漏掉项前面的正负号 典例：写出多项式 的项。 错解：它的项是 、、。 正解：它的项是 、、（每一项都包括它前面的正负号）。 原因：概念理解不完整。学生把项只看作字母及其系数，漏掉了项的符号。多项式的每一项都包括它前面的正负号， 应整体作为一项，不能把负号漏掉。 易错点 6：同类项判定，漏掉”相同字母的指数相等” 典例：判断： 与 是否是同类项。 错解：是同类项，因为它们所含的字母都是 、。 正解：不是同类项。虽然所含字母相同，但 的指数分别是 和 ， 的指数分别是 和 ，相同字母的指数不都相等，所以不是同类项。 原因：概念理解不全面。学生只记住了”所含字母相同”这个条件，漏掉了”相同字母的指数都相等”。同类项必须同时满足两个条件：所含字母相同，且相同字母的指数都相等。 学科网（北京）股份有限公司 $